THÉORIE DES IDÉALISTES-RÉALISTES: M. UEDERWEG

Des auteurs précédents, les uns, les géomètres, acceptaient le problème et cherchaient à le résoudre, sans y réussir; les autres le détruisaient, soit en regardant les postulats comme des vérités à priori, soit en les rangeant avec les axiomes au nombre des vérités empiriques; mais aucun ne s’était avisé de remonter

( 1 ) Voir, à la fin do l’ouvrage, la traduction des principaux extraits de la dissertation de ce philosophe, tirée des Arvh. pédag. do John , vol. XVII, 1851.

rien ne s’oppose il ce qu’on érige en fait évident, ce à quoi d’autres se voient obligés de chercher une démonstration.

Dans sa Réforme de la géométrie (Paris, Mallet-Bachelier, 185C ) cet auteur part de ce principe que toute science, pour exister, a besoin de données dont il faut faire l’énumération , et qui sont la matière même de la science. Pour qu’il y ait une botanique, il faut des plantes; pour qu'il y ait une zoologie, il faut des animaux ; pour qu’il y ait une géométrie, il faut des faits géométriques. M. Bailly, nous n’en doutons pas le moins du monde, sait ce que c'est qu’un fait géométrique , mais il a oublié de nous l’apprendre. Heureusement pour nous qu’il en a cité un grand nombre ; tous les théorèmes des deux premiers livres de Legendre sont des faits qu’il est inutile de démontrer , ce qui n’cmpôche pas l’auteur d’essayer do temps en temps une démonstration. Il y a même des faits géométriques qui sont restés jusqu’ici cachés , et qui le resteront encore pendant longtemps : c’est un fait que « s’il y avait A partager l’arc CR en deux parties égales, il n’y aurait qu’à partager la corde C R qui le soustend ; pour partager en trois , le moyen est inconnu. » Je continue de citer l’auteur :

« Ces propositions préliminaires , dont on pourrait augmenter le nombre , ne sont pas autre chose qu’une simple description de faits géométriques. Ces faits sont aujourd’hui noyés dans «in amas incohérent d’expressions vagues et indéterminées. On balbutie des explications, des démonstrations et des preuves, sans savoir en quoi consiste une explication , une démonstration , une preuve ; ces mots

aux principes de la science, ou, si l’idée en avait été émise, d’en essayer une nouvelle exposition.

M. Ueberweg a tenté d’asseoir sa réformalion de la géométrie sur une théorie philosophique. Son système se fonde sur une induction première : Dans toutes les sciences comment procède-t-on? Gomment procèdet-on en astronomie , en physique , et même , ajoute-t-il autre part, en botanique, en zoologie, en physiologie?

mal définis sont employés à tort et à travers , et l’esprit le mieux disposé ne peut leur attacher de signification précise. Le géomètre croit toujours être au sein des sophistes grecs , et il parle comme s’il voulait les empêcher de l’interrompre. Il accumule alors des démonstrations et des preuves , et il ne sait ni ce que c’est qu'une démonstration, ni ce que c'est qu'une preuve. *

L’auteur a eu cette fois la bonne idée do nous dire ce qu’est une démonstration : « Une démonstration, sachez-le donc, a pour but une appréciation de rapports, on ne démontre ni les choses, ni leurs attributs, et propriétés.... Mais il n’est pas moins ridicule d’essayer de démontrer que deux points suffisent pour déterminer une ligne droite , qu’il ne le serait de vouloir démontrer que le soleil est brillant , que l’argent est blanc , l’or est jaune , etc. »

Quand on a de si lumineuses explications à donner, on a bien le droit de dire en parlant des principes , axiomes , théorèmes , démonstrations, lemmes , corollaires: « c’est avec du galimatias (sic) de cette sorte qu'on fait de la géométrie. Nous le demandons à tout homme de bon sens , quel esprit droit pourrait supporter avec calme une si creuse divagation ? Ces insupportables scholastiques ne tarderont pas sans doute il démontrer la droite elle-même, puis enfin à démontrer le point ; et quand on leur demandera ce qu’ils entendent par démontrer, ils n’en sauront absolument rien. » Nous voulons admettre que l’auteur sait, lui, ce qu’il entend par démontrer, mais en attendant l’ère féconde où, suivant les chemins tracés par M. Bailly, « l’esprit se sentira à son aiso au sein des sublimes vérités qui brilleront du plus pur éclat , y déploiera agréablement ses ailes et y prendra toute son ampleur » , cette ère où « l'on se contentera de montrer les figures , et d’en faire saisir 1rs différents attributs » , à la riche énumération de faits géométriques que M. Bailly s’est donné la peine de faire, nous préférons le galimatias de Legendre.

On part des résultats de l’expérience pour remonter aux principes , puis de ceux-ci on redescend vers les phénomènes pour les expliquer. Kepler détermine exactement la route des planètes — voilà l’expérience. La nature de leur orbite peut s’expliquer parfaitement en supposant inhérente à la matière une force particulière, l’attraction — voilà le principe. A l’aide de celui-ci, on construira tout le système solaire , et la mécanique céleste sera constituée. — En optique, le phénomène de l’interférence des rayons lumineux nous conduit à l’hypothèse des ondes; celui de la polarisation, à celle des vibrations transversales ; puis ces hypothèses serviront à expliquer tous les autres phénomènes lumineux: c’est la tâche de l’optique mathématique.

Pourquoi , dit l’auteur, n’en serait-il pas ainsi en géométrie? Cette science doit-elle faire exception?D’ailleurs, le procédé des sciences naturelles n’est-il pas conforme à la marche de l’esprit humain qui , partant du particulier, du concret, *pbrtpov «/*s s , s’élève au général, à l’abstrait , TtpÔTtpOV O'jctl t puis du général redescend vers le particulier? Pourquoi aussi quand toutes les sciences sont doubles , ont une partie expérimentale, analytique, et une partie théorique, synthétique, la géométrie n’aurait-elle que la dernière? Pourvoyons donc la géométrie d’une base expérimentale , et peutêtre les principes que nous fournira l’expérience, nous donneront la solution des difficultés qui se rencontrent au seuil de la science, telle qu’elle existe aujourd’hui.

M. Ueberweg semble regarder le choix de ces expériences comme plus ou moins arbitraire, et ne se laisser guider que parla simplicité. Quoi qu’il en soit, il s’arrête à ces quatre principes :

I. Tout corps parfaitement libre peut se mouvoir partout et dans tous les sens.

II. S’il est fixé en un endroit, aucun de ses points n’est libre de se mouvoir partout, quoiqu’il ne soit pas privé de mouvement.

III. S’il est fixé par deux endroits, aucun de ses points n’est plus susceptible de se mouvoir partout où il pouvait se mouvoir dans le second cas; et de plus, une suite continue de points reste immobile dans le corps.

IY. Enfin, s’il est fixé par trois endroits, le corps reste immobile.

De la première expérience, on déduit par idéalisation, le principe de l'homogénéité (1), continuité et infinité de l’espace.

De la seconde, l’idée du point, élément de l’espace, et de la surface, trajectoire des points mobiles dans la rotation du corps autour du point fixe.

De la troisième, l’idée de la ligne; mais, pour arriver à celle de la ligne droite, l’auteur se trouve avoir besoin de la quatrième, sans qu’on sache trop pourquoi. 11 semblait plus naturel de tirer la ligne droite de cette troisième expérience , en tant qu’elle est le lieu des points qui restent immobiles pendant la rotation ; et de la quatrième, l’idée du plan pour une raison analogue.

Ces principes obtenus analytiquement, M. Ueberweg procède à l’édification synthétique de la géométrie. Disons ici, pour ne pa3 nous appesantir sur des critiques géométriques , qu’il fait jouer un grand rôle aux infiniment petits et aux limites, malgré les dangers de con-

( 1 ) Voir ce que nous (lisons iiv. II , chap. Il sur l’homogénéité de l’espace.

sidérations de cette nature; et que, d’un autre côté, ses démonstrations sont enchaînées d’une façon obscure et laborieuse. Il est vrai qu’il pourrait se justifier en affirmant que, dans les sciences, on est souvent obligé de démontrer ce qui est clair et simple , par des raisonnements longs et difficiles. Mais si la remarque s’applique au postulatum d’Euclide, c’est là, comme le dit Mill , un opprobre pour la géométrie.

Dans la critique qui va suivre, nous fesons toujours abstraction de la théorie philosophique de l’auteur, sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre suivant , et nous nous attachons spécialement à la partie scientifique de son travail.

C’est l’induction qui a amené M. Ueberwcg à rattacher la géométrie aux sciences naturelles Voyons donc s’il est resté aussi fidèle à l’analogie qu’il le prétend.

Toute science, dit-il, a une partie expérimentale, analytique, et une partie théorique, synthétique. Mais en quoi consiste cette partie expérimentale, en astronomie, en physique, en botanique, otc.? Ce n’est pas, comme semble le croire M. Ueberweg, dans un nombre plus ou moins restreint de faits empiriques; mais essentiellement dans la description, fidèle et complète autant que possible de tous les phénomènes , qu’on cherchera ensuite à expliquer par un ou plusieurs principes généraux. La partie expérimentale de la géométrie devrait donc Être la description et l’énumération de toutes les figures que nous présente l’univers; et cette science existe en partie sous le nom de cristallographie; le botaniste, le zoologiste, décrivent eux aussi les formes des objets dont ils s’occupent, et cette partie de leur science n’en est que la partie géométrique. En un mot, la géométrie expérimentale , c’est l’étude des corps ,

abstraction faite de leur qualité, de la nature particulière de leur substance. Recherchez ce qu’il y a de commun dans les phénomènes des figures naturelles, vous obtiendrez les principes de la géométrie théorique; puis à l’aide de ces principes vous reconstruirez tout -un monde de figures idéales , des triangles , des cercles , des tétraèdres, des icosaèdres, qui servent comme de types aux triangles , cercles , tétraèdres , icosaèdres de la nature.

Cette erreur fondamentale est la source de toutes les fautes contre l’analogie que nous allons signaler.

4. M. Ueberweg regarde le choix de ses expériences comme arbitraire dans certaines limites (1), et cite, à cet effet, Kepler qui porta ses observations sur la planète Mars, tandis qu’il eût pu choisir tout aussi bien Jupiter, ou Vénus, ou Saturne. Mais c’est une erreur. Kepler veut établir cette loi : Les planètes se meuvent dans une orbite elliptique. Qu’a-t-il à faire? Une seule chose : c’est d’observer toutes les planètes connues , et de déterminer leur orbite. Qu’il commence par Mars , c’est bien; mais s’il y a choix ici , c’est dans l’ordre des expériences, et non leur nombre ou leur nature. Aussi, dès qu’on découvre une nouvelle, planète , la première chose que l’on fait, c’est de voir si elle obéit aux lois de Kepler (2).

Ce qui a causé l’erreur de M. Ueberweg , c’est qu’il n’a considéré que le cas où il y a un débat à vider entre deux théories contraires. Sans doute, quand il s’agit

( 1 ) Dans la dissertation telle qu’elle est imprimée dans les Arch. pèdag . , l’auteur le regardait comme tout-à-fait arbitraire et ne se laissait guider dans ce choix quo par la simplicité.

(2) Voir d’ailleurs à ce propos, dans le chapitre suivant, la discussion sur la généralité des lois de la nature.

de décider entre la théorie de l’émission et celle des ondulations , on a le choix libre entre les expériences qui ne peuvent s’expliquer que par l’une des deux théories. Mais, en réalité, pour que les ondulations arrivent à l’état d’hypothèse à peu près définitive , comme l’attraction , il faut considérer l'ensemble des phénomènes lumineux ( 1 ). Et voilà pourquoi dans les sciences naturelles, à côté de la science théorique, il y a la science expérimentale , qui n’est que le catalogue , le muséum des faits que la première doit coordonner ; et c’est parce que ce catalogue est indéfini, qu’une hypothèse, quelle que soit sa probabilité, reste toujours plus ou moins hypothèse , et que les phénomènes , quelque nombreux qu’ils soient, sont toujours susceptibles de plusieurs explications. Comme le disait Mil! , on peut expliquer tous les phénomènes célestes en supposant que les mouvements apparents soient les mouvements réels , quand ce ne serait que par l’explication surnaturelle qu’un génie préside à chaque monde et le conduit à toute bride dans une voie tracée d’avance par la main du Tout-Puissant. Mais cette hypothèse seule est acceptée comme vraie, qui, tout en étant simple, donne une explication complète de tous les faits connus , et même qui permet d’en découvrir , d’en

( 1 ) C’est si vrai qu’il y a de ces phénomènes qui ne s’expliquent, dans l’hypothèse des ondulations, qu’à l'aide d’hypothèses accessoires ; ainsi , par exemple , les anneaux colorés , d’après la théorie pure et simple , devraient se présenter en sens inverse , et no trouvent leur explication complète que dans la supposition venue après coup , que la réflexion fait perdre un nombre impair de demi-ondulations. C’est parce que cet ensemble est beaucoup moins connu, vu la complexité des phénomènes, que l'hypothèse des ondulations est jusqu’à présent moins bien établie que celle de l’attraction.

deviner d'autres restés inconnus, comme cela est arrivé pour la planète Neptune, ou la rotation de l’anneau de Saturne , ou bien encore pour l’hypothèse des ondulations, dans l’expérience du disque percé d’un trou central.

En est-il ainsi des expériences et des hypothèses de iM. Ueberweg? Pas le moins du monde : elles ne résument pas les faits géométriques , et bien mieux elles ne les expliquent pas avec facilité, nous ne disons pas, pour le moment, avec rigueur. Il peut choisir les expériences qu’il veut ; pourvu qu’elles lui donnent l’espace , le plan, la droite et le point, elles le conduiront au but ; et ces expériences mêmes n’ont pas ici à décider entre deux ou plusieurs suppositions également possibles; ce sont , en réalité , de nouvelles définitions ( voir surtout la IIP ) substituées aux anciennes. Aussi , en réalité , ne lui ont-elles pas servi à grand’ehose ; on avait démontré depuis longtemps que le lieu géométrique des points à égale distance de deux autres était un plan, c’est-à-dire qu’une droite pouvait s’y appuyer dans tous les sens. L’idée de la direction qu’il introduit ensuite pour expliquer les parallèles, n’est pas contenue dans ses. expériences ; la définition qu’il en donne est tout à priori; et ce qu’il y a de véritablement nouveau , la démonstration que la droite est le plus court chemin entre deux points , pouvait se déduire presque immédiatement de la IP et de la IIP expérience.

B. Comme le fait remarquer M. Ueberweg lui-même, dans toute science les principes se fortifient par leur accord avec les faits déjà observés; cela résulte même de leur caractère tout hypothétique, tout provisoire; un nouveau fait se présente-t-il qui ne s’explique pas avec la même facilité, on rejette l’hypothèse et l’on en cherche une autre L histoire des sciences n’est même que l’his-

toire des substitutions d’hypothèses nouvelles à d’autres hypothèses moins avantageuses; ainsi en astronomie, on a d’abord les cercles de Platon et d’Àristole, les épicycles de Plolémée, puis Copernic; Kepler lui-même ne lit-il pas dix-neuf hypothèses sur la nature de la trajectoire de Mars avant de rencontrer la bonne? Ainsi en physique l’horreur du vide est remplacée par la pesanteur de l’air, l’émission par les ondulations, etc. Le fait, voilà ce qui est certain ; le principe au contraire n’est admis qu’avec hésitation. M. Ueberweg, dans sa nouvelle théorie, a-t-il substitué une hypothèse à une autre hypothèse? a-t-il fondé la géométrie sur d’autres principes que ceux qui lui ont toujours servi de base? L’explication des phénomènes géométriques en est-elle devenue plus facile? Non : tout au plus pourrait-on voir dans son travail un essai curieux d’une réduction dans le nombre des axiomes ; mais pas de point de vue nouveau pour en faire apprécier l’essence. De plus, comme cela apparaîtra plus clairement quand nous aurons exposé notre théorie de la certitude des propositions scientifiques, il a confondu des faits avec des principes. Quand tout l’ensemble de la science géométrique sera construit , quand on verra l’accord de toutes les conséquences entre elles et avec les faits, en quoi la définition de la droite, du plan, du point, l'infinité de l’espace seront-elles confirmées? Ce sont là des faits aussi , et qui sont toujours les mêmes depuis que la géométrie existe.

C. Dans les sciences naturelles, les expériences qui servent à établir les principes, sont des faits qui rentrent dans le domaine de ceux que ces sciences ont mission d’expliquer. La trajectoire des planètes est ou phénomène astronomique; l’interférence et la. polarisation,

des phénomènes optiques. Il n’en est pas de même des expériences que M. Ueberweg place en tête de la géométrie. Ce ne sont pas des faits géométriques , mais des faits mécaniques; la géométrie n’aura pas à en rendre raison plus tard; les principes trouvés, on les met de côté , et l’on n’en parle plus. Le temps vient se mêler sous la forme du mouvement à l’élude de l’espace. — Pour s’en démêler, répondrait-il. — Mais là est précisément la faute contre l’analogie : les expériences mises en œuvre importent autre chose qui n’appartient pas à la science. On aurait beau dire que nulle science ne marche seule, et sans l’appui de ses sœurs; que l’astronome se sert de télescopes, appelant ainsi à son aide l’optique; que le physicien, pour ses prismes de cristal, a recours au chimiste et au géomètre; ce serait confondre le moyen avec l’objet même de la science ; autant vaudrait dire que l’astronome appelle à son aide la physiologie, parce qu’il se sert de ses yeux. Le phénomène, voilà ce que le naturaliste veut obtenir, veut connaître; les moyens qu’il emploie pour le connaître sont accessoires , et il n’a pas à s’enquérir de leurs principes. L’astronome, en tant qu’il ne fait que noter exactement les coordonnées des astres, n’a pas besoin de connaître la théorie de l’instrument qu’il emploie, ni la manière dont on a taillé les lentilles, forgé les tubes, creusé les vis.

Nous aurons encore, dans le courant de ce travail, à présenter plusieurs observations sur cette théorie, à laquelle nous attachons une grande importance, vu l'affinité étroite qui, malgré des divergences considérables, la rapproche de la nôtre. L’exposé de celle-ci est donc nécessaire pour que ces observations deviennent intelligibles.