CHAPITRB III. -^ CHAMP D*UN ÉLÉIIBNT DE COURANT

OU encore ' pp àzydp/* * pàzvdpj' ^ pdpVdpJ

Sous cette forme, on voit que la force électrique est tangente, dans le plan méridien, à la courbe dont l'équation est

(lU) P ^ ^ constante.

Posons avec Hertz

Les méridiennes Q = cte., sont des lignes de force, et le flux de force électrique à travers un parallèle de rayon o

2r.pE^dp

est d'après la valeur de E3 égal à 27r (Q — Q^,) en appelant Q^ la valeur de Q sur l'axe, au niveau du parallèle étudié.

314. — Il suffit donc de considérer Téquation (I), bien connue en acoustique.

Une intégrale, fonction de r et de / seulement, finie dans tout l'espace, sauf à Torigine, est

en posant

On obtient évidemment les intégrales fonction de r et de -2-, ainsi que de t, en dérivant un nombre quelconque de fois par rapport à z

278 PROPAGATION DB L'ÉUECTRICITé

et h i une lonction formée comme li^, avec d'autres fonctions arbitraires ^, Ç, des mêmes variables.

fin n - ^"-^^ \ ^n.AO!t-r) . ( U;>a^/-f-^) 1

L'addition d'un nombre quelconque de termes de ce genre permet évidemment de représenter une source de révolution, placée à Torigine, d'un degré de complexité quelconque.

315. — Toutes les fonctions ^ correspondent à une propagation de la source vers Tespaco infini, à une émission par conséciuent; les fonctions cj, au contraire correspondent à une propagation vers la source, avec absorption à l'origine des coordonnées, et émission, datant d'ailleurs d'une époque infiniment reculée, par une surface sphérique source, de rayon infiniment grand.

Séparant les deux problèmes de l'émission et de l'absorption, nous ne nous occuperons que de l'émission à l'origine, et nous ne conserverons que les foncticms î?.

316. — Tenant compte dons les équations II de l'équation I, on peut les écrire

W 1^1 - - -^;,: ^ ^-1 - — ^-^^^ . ^3 - — ^-2 ^- — STT •

I^a force induite se compose donc d'une force électrique axiale,

1 dH\

parallèle à Télément de courant source, égale à -Vj~, et d'une

force dérivée de la fonction «le force •

Si l'on prend pour II, la fonction (i3) émissive, on a, en indiquant par un accent la dérivée de J par rapport à toute la variable \ït — r.

(IV) avec

i>II Z jil (f^\

àz '" r \r' '^ r)

ITRB III. — CHAMP d'un ÉLé\ll£!<tT DB COURANT 279

et

bxbz r r

^ j àijbz r r \ H r=* r J

317. — Or, à distance suffisamment i)etile de Torigine, les termes en -^ deviennent prédominants, et les trois composantes de la force se réduisent sensiblement à

ou

da?d*: \r/ dyd:r \r/' 02:* \r/

diji

D'ailleurs à distance suffisamment petite de J (i>'^ — r) ne différera pas d'une manière appréciable de (f (iït).

Ces expressions de la force électrique près de Torigine sont donc les naêmes que celles de la force électrostatique due à un doublet de moment H- J (iït) = u'* 8 (a't) dirigé suivant Taxe des z du côté positif.

Les expressions complètes IV, V, sont donc bien celles qui corresi)ondent à un doublet de moment variable

suivant Ojt, à l'origine, et à l'élément de courant

entre les deux pôles du doublet.

Nous pouvons considérer le terme IV), comme la force induite de Xeumann, se propageant avec la vitesse u', au lieu d'agir instantanément à toute distance ; et les termes (V) comme la force électrostatique également douce de propagation avec la même vitesse, au lieu d*être instantanée.

280 PROPAGATION DE l'ÉLKCTRICITÉ

318. — La force totale peut être décomposée en deux, de diverse^ manières. Considérons-la comme formée d'une force radiale ^•^ d'une force parallèle au doublet. Dans ce cas la force radiale es? *

[y^^r et la force parallèle au doublet est

Fi(j.42

La force parallèle au doublet est la môme

sur toute l'étendue de la sphère r, car elle ne dépend que de r et

de /. La force radiale, proportionnelle à " , est nulle à Téquatcur,

maximum aux ixMes, et varie dans l'intervalle comme le sinus de

la latitude X. Aux deux pôles la force totale est la même

319. — On peut aussi faire la décomposition en une force longitudinale, et une force transversale c'est-à-dire une force suivant le rayon et l'autre normale au rayon; ces forces sont

Ei'

Firr.4-3

celle-ci comptée positivement dans le sens des latitudes positives a. Sous cette forme, on voit que, h grande distance, il ne reste que la force transverse

nulle aux pôles, maximum à Téquateur, et dans l'intervalle, proi>ortionnelle au cosinus de la latitude.