Posons

11) A3 = Ae 7 ,

h étant un nombre réel ou imaginaire. I/équation (ju) devient

Eq écrivant cette équation sous la forme

on voit qu'on peut obtenir des solutions simples, telles que A soit le produit de deux fonctions, Tune de 5^ seulement, lautre de s^ seulement :

M A = 8„ (50 :Hi„ (*,),

qui satisfont toutes deux à la m^mo équation différentielle

ou

où n»,, est une constante arbitraire.

Lorsque U^ représente 8„, 5 est égal a «, , et est plus grand que i . Lorsque U, représente 3^«, s est égal à «g, compris entre — 1 et 1»

La fonction %n («1)) est consUmle sur cha([uo ellipsoïde s^ = de, mais varie de Tun à Tautro. Dans un espace indéfini extérieur à l'ellipsoïde, elle doit évidemment s'annuler pour les très grandes

valeurs de «, à peu près comme , car s, joue à peu près le

même rôle que r dans les problèmes sphériques.

332 FROPAGATION OK l'ÉLKCTHICITÉ

La fonction Ji'^, (s^) est constante sur cha(|ue liYp«^rlxjloîil»\ et définit la distribution éle('tn<|ue à chaque instant sur Tellipsoîde elle joue le rôle des fonctions de Lejjendre dans le problème sph«Tii]ue. Comme Tellipsoîdc! est complet, et que Taxe i)olaire n'est [las une lif;ne de discontinuiU», il faut évidemment que la force magnétique but

Ae r I r>n(s,]M)n(s,)

eûr

r|ui est i)er()endiculaire au rayon p, soit nulle sur Taxe polaire, au moins de Tordre de v^^i — s/, et par conséquent (jne X (5,) y soit nul au moins comme 1 — s^K

Crtte cirronslance détermine la constante 11v, pour chaque valeur de 0.

On n ensuite

0^, ,,..,.»■-(•'.)• •'^^'■We -f-

373. Comparaison avec le problème sphérique. — Insistons un i)eu sur la comparaison avec la sphère, et montrons les analogies et les différences.

( Comparons l'expression

h cvlle ([ue nous avons obtenue pour la sphère

M -. e-«"' (v r:^|x^ "f '•) Rnr«

pour des vibrations analogues ; s^, (|ui esl le cosinus de Tangle de Tasymplote nvin* Taxe de révolution, corresi>ond à in ; s» /"correspond hr.

lAMiuation en I* (n® 3bB)

|(' -r^'^*.l,''|----''(''-^OP"(î^)

CHAPITRB VJ. — OSCILLATIONS DANS UN KLLIPSOIDB DK REVOLUTION 333

donne en dérivant

^:^ L «vi J ï — i^* <>!Jt

et la fonction qui correspond à JH'> .vJ est i — |i=*) * ". Elle en dîHère surtout parce qu'on sait à l'avance, pour 1*„. la valeur \n (« 4- 1)1 qu'il faut donner à H „, et parce que 0- n'<'ntre pas dans ItMiualion en P, pour la sphère.

L'c<iuation en 11^ .n'^ 353

devient pour r" * 4l„

j et r est la fonction \Ur" ■ ' (|ui corn»spoud à V> (.^, .

374. — On pourrait se figurer, par analogie avec d'autres queslions qu'une solution sinqde pour l'ellipsoïde, doit toujours devenir très p<»u différente à grande disUince de la solution sinq)le de môme rang pour une sphère; en un mot, que la forme «le la source doit toujours devenir indifférente à grande distance. Cette conclusion ocrait trop rapide.

L'équation en F. tend bien, pour s^ très grand vers la même forme "Ppîucntc que l'équation en U/" ■ ' : car elle ne contient pas 0=^ eu Wdence; mais on ne sait pas à l'avance quelle est la valeur de R. en fonction du rang de la solution, ('/est seulement si la constante 11. <*lait rigoureusement ou approximativement égaleà n (// -f- i , n étant un entier; que la solution pour rellii)soïde tendrait vers crlle relative à Ja sphère, aux grandes distances.

Or Téquation en K, qui conlieni 0- et H' montre que la loi de distribution en latitude, h toute dislance, aussi bien grande (|ue petite, reste profondément différente, en général, de celle due à une sphère.

Il est facile d'en saisir la raison en se re)[)ortant à l'interpriMation pliysique des équations. Nous avons vu en effet, dans le cas le plus

334 PMOPAQATIÛN DE t'iLICTRIClTÉ

simple, qu'un doublet ne peut être équivalent qu'à une sphèro, lorsqu'il est oscillant avec amortissement convenable, ou à une surface à deux nappes, lorsqu'il est amorti pur, (n^* 325*320); il ne peut donc jamais être équivalent à un ellipsoïde. Ainsi, déjà dans sa forme vibratoire la plus simple, où il u*y a que deux zones de signe opposé séparées par une seule ligne neutre, Téquateur, un ellipsoïde ne peut pas être remplacé par un seul doublet central ; les sources équivalentes pour l'extérieur sont, ou des doublets distribués d'un foyer à l'autre le long de l'axe, ou un ensemble de sources centrales de tous les degrés de complication ; et cx)mme ces sources de degré élevé contiennent toutes des termes en -, la complexité de la distribution en latitudo persiste à toute distance.

375. Valeurs limites de %* — Pour déterminer le cas limite, revenons au point de vue mathématique. Les coordonnées elliptiques

reviennent aux coordonnées sphériques lorsque f devient nul, ^, s»

et *,/* restant finis. Dans ce cas l'équation i3 prend en effet la forme des équations i6 ou 17 suivant qu'il s'agit de s^ ou de «,/*; la constante 'H) doit donc être égale dans ce cas à w (;i -+- i) pour le /t" état vibratoire, lorsque l'espace extérieur à la sphère est complètement libre, et comprend par couséiiuent les deux parties de l'axe polaire. Dans ce cas la valeur limite de %„ pour 6" nul, est donc n{n -{- 1) ; c'est le premier terme du développement de X suivant les puissances croissantes de 6.

Dans le cas où resi)ace libre autour do la sphère est limité par des cûnes entourant l'un ou l'autre des demi-axes polaires, soit d'un milieu conducteur, soit d'un milieu diélectrique différent de celui qui occupe la zone équaloriale, ce ne sont plus les fonctions Pn de rang entier qu'il faudrait employer; dans les équations relatives aux coordonnées sphériques, les n ne seraient plus entiers ; il faudrait en déterminer les valeurs par les conditions de continuité à la surface des cônes; la suite des nombres n serait donc fonction des latitudes X,. X^ de ces deux cônes. Il en serait de mémo dans les problèmes elliptiques correspondants où les surfaces limites sont les hyperboloîdes

CHAPITBI VI. OSGlfiLATlOffS DAK8 UN SLLIPSOÏOB DB REVOLUTION 335

a>^nt ees mêmes oAnoa pour rànes asymptotes ; et lo premier terme (la développement des 'ïl>ii en puissances positives do est encore le produit n(n -t- i) déterminé par le problème spliérique eu fonction des deux latitudes limites X^ X,.

376. IUob«rob« de la fonction KM- Méthode de 11. Maolaiula. — U faut donc avant tout former la fonction ^"> (t^). Nous suivrons pour cela, à quelques différences de notntion près, la même marche que M. Maclaurin, qui 8*est livre à une étude approfondie de cette équation et de celles plus compliquées qui se présentent, lorsque razimuthdu plan méridien intervient (*).

Nous avons vu que la fonction cV. doit s*annulor comme (i — »,*i sur Taxe polaire ; prenons donc» avec M. Maclaurip, la fonction cV. sons la forme

réqnation i3 devient

(is, (i — 5») ?^ 4, '^'/ H- V t— 2 -f- 11, — 0-* 4- r-s') =^ o,

Nous pouvons prendre comme intégrales de cette équation soit une série déveloj[^pée suivant les puissances [mres de Sy soit une série développée suivant les puissances impaires.