Deux cas peuvent se présenter

i** Le rapport -'" * y^^f^ ^,,,- quand m aufpnente indéfiniment ; alors le premier et le dernier tenue de droite tlans Tcquatii»n (10) tendent vers zén>, cpiand m croit indéfiniment et on a

Lim. -•-'--- = 1.

La série est alors siiix^nent divergente i)our 5^ supérieur à 1 ; elle lest aussi [)Our vN- -- 1 . comme on s'en assure en constatant que l'expression m ( '^*"- 1 ) est inférieure ù 1 .

thi a en efft»t comme valeur approchée

CHAPrTil n. — OSCILLATIONS DANS UN ILLIPSOTOB DB RivOLUTIGîf 337

d'où

Lira, m /-^«^ - i) =Lim. ~- = o.

Celte première série devenant divergente sur 1 axe, quel que soit % ne peut donc être de nul usage pour la fonction ^ relative aux ellipsoïdes complets.

ï* Le rapport -i^-iJ tend vers zéro quand m augmente indéfifix^ ment. S'il en est ainsi, le second membre de Féquation (20) tend vers zéro; on a par conséquent à la limite

Lim. -?i^ ''

La série est alors convergente dans tout Tespace, pour toute valeur réelle ou imaginaire de s, et converge au loin, comme Cosh, (0^).

Cest cette série qui convient seule pour former la fonction % d'un ellipsoïde complet, lorsque celle-ci est paire.

379. Série impaire. — Posons de môme (îi) y = ftj « 4- 63 5» -H 6.. s^ -h... -h «»,^ j s^'"- *

et substituons dans Téquation (18) il vient

Cette relation de récurrence conduit aux mêmes conséquences que la précédente.

Lorsque le rapport ,^'"'^' reste fini, sa limite est 1 , et la série est

Im — 1

divergente pour «• = 1 ; elle ne nous est d'aucune utilité. Lorsque le rapport .^'"^ ' tend vers zéro, pour m indéfiniment

croissant, la limite est ; c et la série est convergente pour

' am [2m -4-1) o r

toute valeur de s, et au loin comme Stnh (ds).

C'est celle qui convient pour former les fonctions H) impaires d'un

ellipsoïde complet.

338 PROPAGATION DB L'étlCTRlClTÉ