Au moyen de cette valeur de N,, exacte, nouspouvons
calculer les termes en 0> dans a^ ^sp-ai le terme en 6^ dans
a,p. Posant
ïb = 2p. (ap —0-4- N,e« -f. N,e*
nous pouvons calculer le terme en 6* de fl,p + „ a,^ + 4 au moyen de N4 seul. Ecrivant que a,^^.^ commence par un terme en 9«. nous déterminerons q^.
Au moyen de ce N^, nous déterminerons tous les termes en 6* des aj... a,j,»,, et tous les termes enô' den^^, a,^ +. ^,.. Dans les termes en 6« deflj^+e... entre en outre Ng, dont nous déterminerons la valeur en écrivant que a,^ 4. , commence par un terme en 0*.
D'une manière générale, le coefficient N,^ de 6** dans % sera déterminé en écrivant que a^^ ^ ,^ commence par un terme en 6*^ + *.
La détermination se fait de même en parlant de % =(2/» + 1) ap, pour la série impaire (ai), (aa) (n^ 379).
382. — Voici les premières racines, telles que les a calculées M. Maclaurin en suivant une marche différente de la précédente. i*> Série paire :
(a4) {U^=ia-i-le»-h '""^^ '^^ •
3o-h a'* Série impaire
W' = 3o+?5 6« + -il^^e^ 39 7. J*. ij*
(a5) ^ U- = ao + 4? 6^ 4- -^4^, ô* + . ..
Les racines U qui correspondent à la série paire étant différentes de celles qui correspondent & la série Impaire, nous avons donc pour
340 PROPAGATION DE l'bLBCTRICITB
chaque valenr de %, ainsi déterminée, une intégrale de réquation 18, finie dans tout le plan ; nous rappellerons y^ .
Pour avoir l'intégrale générale de Téquation 18, relative à cette valeur de %, il faut en trouver une autre, de parité différente, et qui deviendra infinie pour «* = 1 .
383. Equâtionfi entre % et 0^ -— Au lieu de procéder de proche en proche, on peut former directement Téquation qui détermine % comme je vais le montrer.
Considérons réquation i3:
et l'équation
(27) an-. n (n + i)
L'intégrale U développée en série paire ou impaire a été formée n°* 377-379, et les équations (19) et (22) donnent les coefficients successifs.
L'intégrale V est connue :
Pn étant la fonction de Legendre de rang n.
Multiplions la première équation par V, la seconde i^ar U, formons la différence et intégrons entre — 1 et -t- 1, il vient
uv
Lorsque n est entier, V est nul pour s = ± 1, et — est fini. Si donc nous voulons qu'il en soit de même de U, le premier membre est nul, et l'on doit avoir
(29) û« / VXnds - [Il - n(n -h 1)] / -^^ ds = 0,
quel que soit le nombre entier n.
