Série impaire. — Posons

et encore

avec n pair.

L'emploi de Féquation 3o avec la même valeur de n permet la détermination des coefficients N de proche en proche. Les équations (a 2) développées suivant les puissances de 6' donnent (39) :

Dans réquation (3u) développée en 6% nous rencontrerons les intégrales

le premier terme est égal h a ; Tintégrale du second terme est, comme on sait, nulle pour 2 w < n, et égale à

(i \ u- — ^J±{^^^^ — 2) .... {2m 4-4 — n) (2^/i 4- a — n^ L4o; 24,„.„ — 2 ^^^^^ ^ i)(2m 4- 3) .... (2?/i 4- 1 4- ni "

pour 2m > n.

CHAPITIII VI. — OSCILLATIONS DANS VS ELLIPSOÏOB DB RBVOLUTION 315

I/équation (3o) donne alors pour le coefficient de ô*/' + «, (4i)

- -\ 2 (Pi-- ..«. - P2-2.) (^'^ -+- *"m.«

+ y (Pim-4.1^ — aP8m-2.2;> -*- hm,ii) {^^^ -»" "» m

Ces équations (4o) et (40 détermineront les coefficients p et N.

388. Recherche d'une seconde intégrale. Méthode de Maclanrin — L'une ou Tautre des méthodes qui viennent d'être indiquées permet donc de former de proche eu proche les termes du développement en 6* d'une intégrale U de Téquation (i3) et de la ^eur de % qui rendU : (i -— s^) finie dans tout le plan. L'intégrale ainsi obtenue donne la fonction ^K^j) Q^i définit la distribution à la rarface des ellipsoïdes.

11 reste à trouver une seconde intégrale, correspondant aux mêmes valeurs de U, pour avoir par addition l'intégrale générale. Cette seconde intégrale, de parité différente de celle qui reste finie dans tout ie plan, deviendra infinie pour s- =-- i, comme nous l'avons déjà remarqué (n"" 382).

Plusieurs méthodes peuvent être employées pour cette recherche : indiquons d'abord la méthode classique employée par M. Maclanrin. Soit yi une intégrale paire, et z l'intégrale impaire de l'équation {i8) pour la même valeur de %.

Posons

(4a) z = y {il 4- V

en appelant u une fonction impaire, qui devient infinie pour s^ = i, et V une série, également impaire, convergente dans tout le plan.

346 PROPAGATION OB l'bLBGTRIGITK

Substituons dans Téquatiou (18) il vient :

(1 — S-) ^'^, — 4* ^- -h ('11, -- 2 — ft:î -H A's^) V J ^ ^ àS^ dS ^ '

-+-2(1— *=*) -— - H- y. (i — «•^) -5 — 4« — I Faisons disparaître le terme en y^ en prenant

ce qui donne

au ^j I I I

et porté dans Téquation (39) la transforme en

(45) (i— 5*)«gJ— 4s(i s«)^-h(tL-2-0»H-eV)(i— s«)u=^».