Posons
(46) v = Ai5 4- A3S' -^ ... -+- A3,, 4. , «*"»+ » 4- ..., et rappelons-nous qu'on a
y, = do H- «»«* -H ... ^- flim «'"* H- ••puis, identifions terme à terme : il vient
6 A3 4- (% - 6 — e«) A, = aa, 20 A5 -f- ( % — 26 — e*) A3 = 4a^ 42 A, -H (% — 62 — e*) A, +- (26 — % — 26») A, — e*A, = 6a,
et en général
^ [<n, - 2 ~ 2m(2m-3)- e«] (A,,„^. ~ A,,.3) I = 0. H- 0» (A,i„3 — A,„,5) — 2ma,^ 1
Le coefficient A, reste indéterminé, car on peut ajouter la série impaire (il) sans cesser de satisfaire à l'équation différentielle, — et cela, joint à la présence do 4 coefficients consécutifs dans la relation (^^4; ', rend ce mode d'intégration peu maniable.
CnAPITIIB VI. — OSatLATlOilS DANS UN BLUP8OT0B DB RÉVOLUTION 347
Noos nous contenterons de noter que la seconde intégrale devient infinie ponr s' = i, comme la fonction u» (44).
L'intégrale dont nous avons besoin pour 8 {s^) n'est pas en effet, l'intégrale de parité différente do X» ; c'est celle qui correspond à Tonde émise, qui est la somme des deux intégrales paire et impaire multipliées par dés facteurs convenables. 11 est plus simple de la former directement.
390. — Recherche directe de l'intégrale pour Tonde émise. —Pour cela formons une intégrale de la forme générale indiquée par Laplace
Substituons dans Féquation (i 8), il vient, en supposant <p indé pendante de s,
y= I e^^?(OrfC.
(49) / [(i-«-)e«î;»— 4«oî:^-'n-2- oM-ov]ç(c)e^^rf;=o.
D*autre pari, si la fonction <p satisfait à une équation du second ordre
on a entre les mèitfes limites en intégrant par parties,
*^ a Si les limites a, b sont telles que la parenthèse s'annule, Téquatien (5o} a pour conséquence
348 PROPAGATION DB L'éLBCTBlClTÂ
qu'on peut identifier à Téquation (49) pourvu que Ton ait •
Cliercbons à satisfaire à cette équation en laissant/), q, indéijcn- (iants de s comme cela est nécessaire pour que o le soit aussi, et posant
il vient
Identifiant terme à terme, on en déduira
S = 1 - C« pS = o
I/équation (5o) en o est donc identique à Téquation (i3). Soit donc y, la première intégrale, valable dans tout le plan, (382; <»!)tenue pour l'équation (18) nous pouvons prendre
o(;) = (i~!;0/Aiï).
et dans (48)
.^3) y,is)= / - ÎO Z/i iî) e^^ rf;
si les limites a, b, sont convenablement choisies.
391 . — Portons ces valeurs dans le i)remier terme de Téquation (5 1 )
(54) Z 5 + o (pZ ^f ) = e"*' (. - î';' [f " 0* y.]
Cette expression prend la môme valeur nulle, aux deux limites a = — 1 , i = -+- 1 , quel que soit s. On peut donc adopter ces deux limites dans un premier cas, et on a (55)
Ml - îOi/. (0 e''^/; = 2 / M - ;^) [,M^) e"*'*-H y.(- î) e" *'-*] .
CBAPITBB Vf. — OSCILLATIONS DANS UN BLLIPSOTOB DB REVOLUTION 349
Cette intégrale^ de même parité que y,, et évidemment finie pour ^ — ± I , et dans tout rinlcrvalle, ne peut différer de y^ que par un hc4eur numérique :
392. — Pour avoir la seconde intégrale, supposons que nous avons pris celle des deux valeurs de dont la partie réelle est négative, et prenons pour limites a = + i, 6 = h- œ :
/^f oc
Cette intégrale diffère cert^ûnenient de i^^ car elle contient à la fois des termes pairs et impairs.
Los tenues de la formule (54) sont d'ailleurs nuls pour ï = i.
Pour ; == 4- », rappelons nous que les termes éloignés de la série y, deviennent les mêmes que ceux de GA o;, ou de SA o; sui- >'ant que y, est paire ou impaire. Il en est de môme de —^ ; les termes
qui deviennent grands sont ceux dont l'ensemble équivaut à e"" ^ .
car la partie réelle de est négative; après multiplication i)ar e r *^^ ils donnent un ensemble qui correspond à e ' ^* "" '\ Si donc on suppose s plus grand que i, et la partie réelle de négative, comme il a été dit, rensemblc de ces termes décroit indéfiniment quand ^ passe à Tinfini. L'expression (54) est donc nulle aussi à la seconde limite, et y^ satisfait bien à Téquation différentielle. Ces mêmes considérations montrent que Télément sur lequel porte Tinégrale (55) décroit comme e^^' ^* ~ ^^ et par conséquent que l'intégrale est finie pour toute valeur de s plus grande que i, et décroît exponentiellement à grande distance.
C'est cette seoonde intégrale, ([ui correspond à Tonde émissive, et à la fonction C (s^)
303.— Du développement de y^ , on tire immédiatement le dévelop-
350 PROPAGATION DB L*iLBCTIIlGHi
pement de y, suivant les puissances décroissantes de s^, en intégrant terme à terme :
Posons (57) :^ (Ç) = (i -. ;*) y (ï) ^ 2 ^^''"'^"
et rappelons-nous que
Il vient (58)8(..)=(i-..')e»'' [- -ë,f +2 9V,i" "2 "S V ^-J La signification des coefficients est évidente :
V m (m - 1) Jl« = cV/ (H- 1) etc.
L'intégration par parties aurait conduit au même résultat.
394. — Les coefficients de la série (5i) peuvent être déterminés au moyen des coefficients ,i„, et par conséquent des coefficients a« ou b^ {n"" 377-379). Mais il est plus simple de recourir à Téquation différentielle pour les déterminer comme nous allons le faire.
Posons
L'équation différentielle (i3) devient
CHAPITBB Vl. — OSCILLATIONS DANS UN BLLIPSOYOB DB IlévOLUTlON 35!
La fonction ^, lorsqu'on emploie les valeurs de 'Tl> que nous avons détermint^s, s*annuIo au premier degré pour s = i , ou ^ = o ; on peut donc la développer en série de Taylor
(61) 3i\ = zK' -i- -\ JC' -h f , JC
les 3fC.', K\ 36'', étant précisément ceux de la série (69) pour
Portant le développemeut (61) dans Téquation (60), et identifiant les coefficients des mêmes puissances de z, il vient, en fonction de^ ^', seul qui reste comme coefficient arbitraire de toute la série :
2 M'." = (jI — Av.' -h 26W/.
Cette relation générale (St)) entre 4 coefficients consécutifs montre qae pour m très grand, le rapiK)rt d'un coefficient J^"* "*" * au précédent JCV" peut s'approclier de Tune ou Tautre des deux limites
> ou H- 0.
L'étude de la série y^, montre que pour la fonction cV., avec les déterminations particulières adoptées pour les 'n>, la limite sera + 0.
La série (69) définit donc la fonction 8 dans tout le champ recollement utile, et jusque sur Tellipsoïde réduit à son axe.
En tenant compte des relations (62), les termes les plus importants de la série 69 à grande distance, sont
Ce développcmenf, excellent pour le calcul des valeurs de la fonc-
352 PROPAGàTiON DB VhjtcndOTi
tion quand est connu, ne peut être d'aucun usage pour la recherche des valeurs de 6 qui satisfont à une condition déterminée; car 6 entre à la fois dans les numérateurs 3é', Jc^\ ... et dans les dénominateurs. Tous les termes de la série (63) fournissent donc un terme indépendant de 6, etc. et la série en 6 que Ton tirerait du développement (63) serait illimitée dans les deux sens, ce qui ne se prête pas simplement
à un calcul approché des racines 6 de — , qui sont le but ultime de notre recherche.
11 faut donc donner à la fonction S (s,) une autre forme.
