CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS UN KLLIPSOTOB DR RÉVOLUTION

et les imi'lies réelles des expressions i4 et i5 deviennent (II)

M' i (E, 36, — 8, 3é,) CCS J

fyj\ — *,« /«,* — I / 4- (g, jFe^ + gj jêi) sin

ûe f \ L

■(8,36'j-t-8,36',)eJ r

( L+(8i3«'.H-8,3«',)eJ À

ou, en séparant la partie réelle de la partie imaginaire

409. — Lorsque 0, est connu, on peut employer utilement dans ces formules la première forme d'intégrale B(s,), (formule 69, p. 35o; ou formule 63, p. 35 1). Prenons cette dernière, pour avoir Tallure à grande distance, et posons

^' =-z 1 ; U -^ U, -4- lU, ;

il vient (III)

{(0,^-0,^)sinO,..-.o,e.cosO,..][ -^^^^|^.^..J

ejj''^)sine2.ç, — 20iOiCosO;i«, Il I

ej,2)cos02.Vi -h îOiOiSinOi^, Il

e,%j -f- Qa%j

366 PROPAGATION DK f/ÉLBCTRIGlTlÊ

Rappelons que rcxponeutielle qui apparaitdans M,, Ej, £3, est en

réalité e ^*v* ^ 7/ et que les expressions ne sont valables à chaque instant t que jusqu'à la distance définie par s^ = y , si Torigine du temps coïncide avec la fin de Taction des sources étrangères qui ont servi à provoquer les vibrations propres de l'ellipsoïde. Pendant cette action le champ dû à Tellipsoïde n'est plus exclusivement émissif ; il est au moins en partie absorbant, ce qui correspond à des valeurs négatives de 8,, et il faut y ajouter le champ des sources, à distance finie ou non ; nous ne nous en occuperons {)as. Nous n'examinerons pas non plus le mode de propagation du front de Tonde dans le cas d'une discontinuité.

Les formules que nous venons d'écrire donnent, avec une approximation suffisante, le champ pour de grandes valeurs de s^. On peut s'en servir pour l'étude des ellipsoïdes peu différents de la sphère.

410. Vibrations propres de l'ellipsoïde. — La composante de la force électrique tangente à un ellipsoïde s^ = a, est la force électrique Ej dont nous avons donné l'expression (i5) (n'' 407). Dans l'ellipsoïde infiniment conducteur vibrant librement, cette force tangente doit être nulle. Les vibrations propres de rang n correspondant à chaque valeur de 'ïio (n'' 382) sont donc données par l'équation correspondante

L'amortissement et la période sont définis par la partie réelle et la partie imaginaire de chacune des racines de cette équation. Pour 6 complexe, cette équation équivaut bien aux deux équations

auxquelles conduit la forme développée de E, écrite au n* 408.

La recherche, que nous nous proposons, de l'amortissement et de la période [)roprc des ellipsoïdes a toujours une solution, pour tous les ellipsoïdes ; mias la recherche inverse, des ellipsoïdes ayant un

GHAPini n. — OSClLLàTIONS DANS Ult ELLIPSOTDB DB RévOLUTIOM 367

amortisscmcul cl une période donnés serait généralement impossible; il faudrait, en effet, se donnant 0, trouver une racine refeZ/e I, == ar, de réquation - = o, ce qui n'est évidemment possible que I par exception. Pour rendre le problème moins exceptionnel, il faudrait se donner seulement Tamortissement 0^ ou la période 6,, et chercher Fellipsoîde. Par exemple, pour de faibles amortissements éxmnés O^, d'après ce que nous verrons plus loin (n"" 426) qu'on pourra en général trouver des ellipsoïdes de périodes variées, d'autant plus nombreux probablement que Tamortissement donné est moindre. Pour des périodes données par 6^ ({lar la longueur d'onde), pas trop différentes de 6, = — pour la vibration de rang n, on pourra aussi en général trouver des ellipsoïdes et des amortissements icorrespondants ; mais je ne sais si tO^ peut être indifféremment supérieur ou inférieur à — .

411. — Sans insister davantage sur ces indications générales procédons au développement de l'équation qui donne les vibrations propres :

En dérivant Féquation (78) et en groupant les termes, on obtient le développement suivant (85)

[(77TTF -*■ ij;^] ^«

^ [i*,(«G, -G,) -^ [8,^ - 1) feO', G',)J iogj^. -i- 4*1 [OG, - G3] 4- . (s,^ - 1) (0 G', - G'3)

(m— i)(.vi^— 1) [{s, H- 1)"—^ — (s, — i)"~'] j

(s. -h lY'-i—js, — iV- ' i

-;- (eG'„. - G'„.) (sr-i) (s, '\- iV-^^-^h, - lY"-'

PROPAGATION DK L'i^LRGTRICITé

G' désigne la dérivée -^ et on a