OG'.-G

Q2 3fg(m-1)

;) ! (m — ;)) ! ^ ' (m — i) fi"' je,'.

412. Ellipsoïdes allongés. — Pour les ellipsoïdes allongés, obtient facilement, au moyen de la formule (8i), Téquation

^ ' ;^« At u*

+ ^ ^ ?^ ôW, -H ?^ -h ^ ?^'

-+. ^ (— ,7('/' ^ 3e^if> -f- 2e'.v/)

log

Jm

et ensuite par la formule 84 (p. 362)

Posant

Jm -f-

log

OÙ /, désigne une quantité très petite avec £, l'équation aux pério

CHAPITRI YI. OSCILLATIONS DANS UN BLL1P80Ï0B DB RÉVOLUTION 360

propres est

'2 4 La 12 12 3 * J

Nous la discuterons plus loin (n"" 425).

413. — Développement suivant les puissances de e. — Pour la recherche des vibrations propres des divers ellipsoïdes, il 'oiporle d'obtenir le développement des équations (74) et {75) suivant les puissances croissantes de 0. Voulant aboutir au calcul numérique, nous développerons avec quelque détail les formules nécessaires, malgré leur longueur.

Nous avons déjà posé (n° 386)

y =Yo-f-e%-^0% +

et nous connaissons les développements des Y en si ; nous en déduisons facilement ceux des

et nous écrivons

(89) 3é (5,) = Ho (50 H- e«H, (s,) -H e*H, (s,) -+-

Rbmarquk. — Le mode de calcul de N„ N^,... de proche en proche, Indiqué au n® 381 , a le grand avantage de montrer que Yq, Yj, Y^, . . . sont des polynômes de degrés n — 1, n-f- 1, n-h3,... ; IIq, H,,!!^,... sont donc des polynômes de degrés n-f-i,n-h3,nH-5,.., dont les dérivées {n -h 2)* (n -+- 4)*, (n -^ 6y sont respectivement nulles, quel que soit s. Les développements qui suivent s'arrêtent donc en s, quand on ne prend qu'un nombre limité de termes en 6. Il serait intéressant de mettre ce caractère en évidence directement et d'une manière simple sur les formules générales (34) ou (37) qui définissent les U.

414.— Indiquons par des accents les dérivées des H (si), par rapport à 5,, et rappelons par l'indice — 5, à la parenthèse, que dans les formules finales, il faudra changer s^ en — s^ ; il vient après

370 PROPAGATION DR L*éLECTRlClTi

quelques transformations :

^'»rt(m— i)(m— 2)ig"--'>

o.(ii^(...) + '?iî!î^-'Jii;...-.)

m(fn — i)(m — ^)(ffi — 3 ) ., ,,

o«(ii^(.")+'^('^=J)h.C"-^)

mfm — i) ... ( / » — 3)

En 8*arrùtant au terme en 6* on a

OG',„i — G'm=-

- - ?n{fn — i) (m — 2; U^

(m \ 1) W(w OiiC'" —

??i (m — {m — 2) (ni — :^ ) .,(»

aUFITRB Yl. — OSCILLATIONS DANS UN ELLIPSOÏDE DE REVOLUTION 371

415. — Ces formules permettent d'ordoimer Féquation (85) suivant les puissances de 0. Quel que soit le numéro d'ordre ?i de la vibration, et la valeur de % correspondante, tous ces développements en sont des séries. La discussion du nombre des racines qui correspondent aux vibrations de rang n. et de leur (caractère, est inabordable.

On ne connaît déjà pas pour la sphère les propriétés générales do ces racines, en particulier la distribution des racines de rang n par rapport à toutes celles de rang moindre. Tout ce qu'on sait, par les propriétés des équations algébriques de degré impair, c'est qu'une au moins des racines de rang impair est réelle, et (|ue la vibration correspondante est exponentielle pure, sans oscillations.

Par analogie avec les propriétés de la sphère, nous admettrons que le nombre des racines ô qui correspond au 7i' nombre ÏV, à

celui qui commence i)ar 7i(n -h i), est égal à n, et (jue ces racines

ont en général une partie réelle négative et une partie imaginaire. Lorsque les ont un module assez petit, il suffira de prendre les

premiers termes de la série en ; nous nous arrêterons à 0*, ce qui

donne : (91)

r-*. (- H.' + 0» (- h; + Ho) + 0* (- 11/ + H,)) "1 + log*'-±-L ,

*'- ' |- '-^ (-Ho'"-t-o^(-ii/H-H;)+o*(-iV"+ir,))J

+,r+H,'+0«H/H-0Mi;'-i(-H/+6'-'(-lI/+H,\ + 0*(— H/+U,:)]

+i' , [ H," H- 6» (- H/' 4- 3ii;) + 20^'ii„ + 0' (- n;' 4- 3h;)] +

Pour les vibrations propres d« la sphtTc, le facteur a, qui joue k rôle de - dans l'exposant, est fini ; par conséquent pour les

„* i . .-«Wi- -'•-•*-"

LA MéCANIQUB

ellipsoïdes très peu différenls de la sphère, pour lesquels /"est très petit, est aussi très petit. Cette équation, en y faisant — nul pour la valeur très grande do s^ qui caractérise lellipsoïde quasi-spliériquo, permettra de calculer ses vibrations propres. On devra (railleurs employer au calcul des II les formules de récurrence complètes (3G) n° 386 ; la remarque du n" 413 montre que ce calcul se limite de lui-même.

Mais ce ne sont pas ces ellipsoïdes qui attireront princii)aloment notre attention.

llKMAugiE. — On peut aussi développer 3^ (î) e^^'*"^^' dans Tinté^ralo Gt) suivant les puissances de 6, avant d'intégrer; on obtient a!urs les mêmes développements, ordonnés suivant les puissances de 0.

416 Ellipsoïdes très allongés. — Pour les ellipsoïdes très allonges .«, est à peine supérieur à i, et eu posant dans réquation pi'écédente

Si — 1 = Ê,

et en conservant seulement les termes les plus importants on obtient

^ (II, 4- 0-^ H, H- 0* II,) ^ - (h; -+- e^ h; -^ e* n; ,

,,P. . ' 4- i (llo 4- 0^ H, -i- 0^ H,) 4- ■ dlo' -i- 0-^ Ii; 4- OMI,')

^•i(4-iV-t-oMi/-+-oMi;)- [— iv-+-o^^- lI;^-lIJ-^o^(-lI/- ^. :j [ii;'-i-o^ (3ii; -H,-, -4- ^03 n^ ^0' (- ii/" -^ 311/..] ,ji)i — 1

-i -H , i./Hj,„., — (i,„) -f- ...

Dans l«*s (i, et los 11, s, doit être remplacé par— (1 -h £j, (n* 400) tous les II ayant 's^ — i on facteur sont nuls pour s^ ^= i : ils sont

CBAPirnX ▼!. — OSCILLATIONS DAWS UN BLLIPSOÏOK DB liAvOLUllON 373

donc petits de Tordre de s, et le premier terme est en réalité, comme le second, un terme en s — *, et le compense exactement.

Dans les lignes q^ui suivent la seconde, on remplace s^ par i, et on peut par conséquent effacer les H, qui sont alors nuls, mais non leurs dérivées.

Il reste ainsi (92)

- 1 [H,-' H- e« (H/ - 3Ho') -^ e* (H,"' - 3H/)]

Telle est Téquation développée suivant les puissances de qui *>nnera les valeurs de — en fonction de rellipticité e. C'est bien c«lle que l'on obtiendrait directement en remplaçant dans Téquation dnn*412les J6 par leurs développements en 6*.