CIIAPITIIK IV KIRCHHOFF. — CLAUSIUS

S6 — Kirchhoff ne s'est pas attaqué dès le débat aux principes mêmes de la théorie d'Ohm ; il a commencé par en faire des applications : distribution du courant électrique dans un plan (*), théorie et expériences ; répartition du courant entre des circuits linéaires quelconques (*); application des résultats précédents à des circuits dont certaines parties ne sont pas linéaires. (')

C'est dans ces Mémoires que se trouvent ce qu'on a appelé depuis, dans la théorie des courants dérivés, les deux lemmes de Kirchhoff ; (lans le dernier, est établie Téquation de Laplace, pour l'intérieur du corps,

lu = et les équations de surface

poar la tension (Spannung) u d'Ohm. On y trouve aussi les résultats vivants : la solution est unique ; la résistance d'un corps étendu en

f'iUeber den Durchgang eines electrischen Stromes dorch elne Ebene, insbeioDdere darch eine KreisfOrmige. — P.A , LXIV, i8/«5.

.^achtrag zu dem vorigen Aafsatze. — P.i4.,LXVII, 1846.

^} Ueber die AaflÔsang der gleichungen, auf Welche man bel der Untersuebnog der linearen verthellang galvanischer StrOrae gefQhrt wird. — P. A., tXXII. ia47.

(*) Ueber die Anwendbarkeit der Formeln ffir dio IntcnsitAten der galvaiMcben Strôme in einem Système linearcr Leiler auf Système, die rum Theil tosniehi linearen Leitera bestehen. » P. A., LXXV, 1848.

50 PROPAGATION DB L'^LKCTRIGITé

volume, avec deux petites électrodes fixes, est tiéterminée ; la quantité de chaleur définie par la I(»i de Joule est minimum avec la répartition d'Ohm.

57. — C*est seulement après s'être familiarisé par ces premiers travaux avec la théorie d'Ohm, que Kirrhhoff s'attaque aux princiiws, et mot en lumière la relation précise entre Télectrostatique et les principes d'Ohm, relation entrevue d'une manière un peu confuse et intermittente par ce tlernier. Analysons en détail ce mémoire (*), court mais fondamental. Les hypothèses d'Ohm ne sont pas toutes comi>atihles avec ce que nous apprend Télectrostatique ; en parliculier celleci, que, dans l'équilihre, l'électricité est répartie avec une densité uniforme dans tout le volume du conducteur. Or il n'est pas douteux que l'équilihre doit apparaître comme un cas limite dans la tliéorie des courants; Kirchhoff se propose de montrer comment les formules d'Ohm se déduisent des lois d'attraction et de répulsion électrostatiques, à l'aide d'hypothèses tout à fait naturelles.

Dans un conducteur en écpiilihre, la force électrique est nulle à l'intérieur; le potentiel est uniforme, (»l l'électricitc est réi)artie uniquement à la surface. Lorsqu'on met en contact deux (*onducteurs différents antérieurement neutres, l'un devient positif, l'autre négatif ; dans chacun d'eux le potentiel de toute l'électricité lihre est uni. forme ; mais il diffère de l'un à l'autre « car le calcul apprend que s'il avait la même valeur dans les deux conducteurs, rélectricité lihro serait nulle en tout point, puisque l'éhTtricité libre totale est nulle. Quant à la différence des deux valeurs du potentiel dans les deux conducteurs, elle pourrait dépendre de leur nature et de leur forme ; je fais l'hypothèse qu'elle est indépendante de cette dernière, et que cette différence de potentiel est la f.'randeur qui mesure la tension des deux corps ».

58. — Avant de suivre avec Kircldioff les conséquences de cette hypothèse, examinons-la en elle-mémo. C'est encore d'électricité en

(>) Uebor die Ableitung der Ohm schon Cicsotzc, wolchc sich an die Théorie der Elcctrostutik anschlicssl. — /'. A., LXXVllI, 18^9.

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rep<)S qu'il s'agit ; et les principes d'éleclrosliitiquo sont insuffisants; les lois (le Coulomb ne distinguent ni œuducteur ni isolant ; à fortiori ne distinguent-elles pas un métal] <l'un autre; un conducteur hétérogène n'est, à leur égard, qu'un conducteur unique. Depuis cinquante ans que Volta a découvert cette influence de rhétérogénéitc des conducteurs, la confusion règne encore, en 1849, tlans IVsprit de nombre de physiciens qui croient que les lois de Coulomb suffisent à Texplication des phénomènes électrostatî(]ues entre conducteurs dans le >'ide; c'est qu'ils ne s^aperçoivent pas qu'en dehors des lois d'action entre charges électriques, formulées mathématiquement dans les lois de Coulomb, on est consUimment obligé d'invoquer les lois d'action «le la matière sur l'électricité, et réciproquement, mais que celles-ci n'ont pas de formule mathématique. Telles sont: la définition du conducteur homogène, dont la matière n'e-xerce aucune action sur l'élec- Iricité dans son intérieur; la définition de l'isolant, qu'on traite comme impénétrable à l'électricité lorsqu'il entoure un conducteur, bien qu'on sache que l'isolant peut être chargé lui-même, ce qui n'est pas très cohérent. Dans l'énoncé mathématique, la matière a disparu : pour l'intérieur du conducteur, la force électrique est nulle; pour sa surface, la force électri(|ue est normale ; et «'ctte dernière éqnaUon n'est plus une équation d'équilibre complète, puisqu'on ne s'explique en rien sur le jeu de forces, dues à l'isolant ou au conducteur qui contrebalance la force normale due à l'électricité. De même, à la surface de séparation des deux conducteurs, une différence de potentiel finie, c'est-à-dire une force électrique normale iolinie dans une couche infiniment mince, est inadmissible, si l'on ne hit appel qu'aux seules forces de Coulomb, au même titre que dans l'intérieur d'un conducteur, puisque le passage de l'électricité à tra-^ vers la surface se fait d'ailleurs sans obstacle. Invoquer la différence 'le nature des deux conducteurs, c'est précisément faire intervenir aussi la matière ; peut-être n'est-il pas inutile de l'énoncer formellement : A la surface do séparation de deux conducteurs, l'équilibre électrique «lépcnd des actions d'origine électrique exercées suivant la loi de Coulomb et d'actions exercées par la matière sur l'électricité dans un domaine excessivement petit. Jamais Kirchhoff ne pousse

aussi loin son analyse, et à fortiori ne s'occupe do ces lois iractiun mutu(4le de rélectricité et de la matière^ qui pourtant sont encore de la physi<|ue, et, par exemple, ont un rôle évident dans la production des étincelles. Suivi en cela par un grand nombre de mathématiciens modernes, Kirchhoff est satisfait lorsque l'hypothèse a pris une forme analytique, qui permet d'écrire les équations du problème. Ce sont H. von Helmholtz et Lord Kelvin qui ont recherché le contenu de ce fait d'une différence de potentiel au contact, et ont fait pressentir tout ce que Tétudc expérimentale ap[)rofondie du phénomène peut fournir de donncHîs sur les propriétés moléculaires de la matière.

59- — Revenons au mémoire de Kirchhoff : Dans une chaîne de plusieurs conducteurs, dont les deux extrêmes sontde même nature, il peut arriver que le potentiel du dernier soit égal à celui du premier, lorsque

Vu =0'

dans ce cas on peut réunir les deux extrêmes, Téquilibre subsiste puisqu'ils sont à lavanco'au même potentiel.

Mais si la condition d'équilibre n'est pas remplie, qu'arrivera-t-il au moment de la fermeture du circuit f « Kn un clin d'œil, il s'établira dans le système une distribution déterminée d'électricité. Ne nous inquiétons pas tle savoir si elle sera superficielle ou en volume. Soit u le potentiel de cette distribution sur un point du conducteur; u n'est pas une constiinte, c'est une fonction «les coordonnées du point; en conséquence, les forces qu'exerce rélectricité libre sur rélectricité en un point intérieur au conducteur ne sont ()as nulles. Soit R leur résultante ; s'il n'y a pas d'électrité libre au point considéré, R décompose le fluide neutre, entraine rélectricité positive dans sa propre flirection, et renvoie rélectricité négative à l'opposé ». Les masses positive et négative ainsi mises en mouvement sont égales, ainsi que leurs vilesse^; il en passe une quantité A- R par seconde et par centimètre cariv, et le courant en transporte nécessairement des quantités égales en sens opposés.

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Enfin a la différence des valeurs du potentiel de toute l'électricité libre, pour deux points infiniment voisins de part et d'autre d'une surface de contact est, par liypotliè&e, la même pendant le passage du courant que dans l'équilibre. >

Cela fournit immédiatenienl les lois d'Olmi : le potentiel

joae le rôle attribué par Ohm à la tension u. Entrons à ce sujet dans quelques détails. La force H a pour composantes

dV __i>V dy.

Appelons densité du courant, le rapport de l'intensité qui traverse normalement un petit élément de surface à la surface de l'élément. Soient >pij,i3, les densités à travers trois éléments normaux aux axes de coordonnées.

L'b)7)othèse que le courant a la nn^me direction que la force se traduit par les équations.

60. Répartition de Vélectricité. — Considérons maintenant un parallélépipède et écrivons que ce qui entre par l'ensemble de trois faces sort par les trois autres ; considérons les deux faces normales à 0^ situées à la distance dx (fig. 3). A travers la première, la dennté du courant est^j, à travers Tautre, elle est :

54 PROPAGATION DE l'ÉLBCTRICITÉ

L'excès do ce qui entre sur ce qui sort est :

— - dx du dz . = k,* :, dx du dz ,

Pour rensemble de toutes les faces, Texccs est donc : et dans le régime permanent on doit avoir :

Mais on sait que :