D'autre part, posons
et cherchons l'expression
iK . ■
CHAPITIIB III. — iVÀLUÀTlOIf ÀPPROXIMÀTIVK DBS B^STANCBS 85
on a :
Par conséquent, en posant «j* — V = m, on a
(II
àx dy by àz àzj
Mais la formule de Green donne :
I / \àa) àX àtj dtj bZ àS J J dn
La surface limite n'intervient dans aucune de ces intégrales de surface puisque — et - sont nuls en tous ses points ; on n*a à s'occuper que des électrodes et des surfaces de discontinuités.
93. — Si ^ est seul discontinu sur une surface, on prendra la dit
deuxième intégrale, où — étant continu, il n*y aura pas de difficultés : suppo sons qu^on s'impose aux électrodes les conditions
4;.=Vt '^, = V,
86 PMOPAOATION Dl L*iLKCTRlClTi
u est nul sur les électrodes et Vintégrale de surface disparait : on aura alors
Comme la dernière intégrale est toujours positive, il vient
/ A. {^)d^ > I , (V)rfT,
et en prenant pour 11 Fexpression
(,3) IV = — - A^i.-i«)'
*/[(S)"-(:iM2-)>
on aura une solution par défaut, au moyen de la seule fonction ^.
04. — Supposons que Ton ait trouvé une autre forme de solution
approchée telle que -^ soit continu, mais ^ discontinu à travers une
certaine surface.
Nous prendrons alors la première intégrale de surface de Texpression (12). Imposons-nous la condition
dS
aux deux électrodos.
L'intégrale de surface disparait encore et Ton aura comme précédemment
/ Ai (^)d'. > \ (Vjrf^.
CBAPIIHB III. — jfcVALUATION APPROXIMÀTIVB DBS RitUTÀNGIS 87
et Vexpression
noas donne au moyen de la seule fonction ^, une solution par excès. On aura une limite supérieure de Terreur commise, en prenant la différence R' — R'.
05. Application. — Fil cylindrique aboutissant dans un espace conducteur indéfini limité par un plan perpendiculaire au fil.
L'étude de ce cas est importante pour la construction de Tétalon de résistance constitué par du mercure contenu dans un tube de verre cylindrique aboutissant à un rase de grandes dimensions où plonge une électrode placée très loin et de résistance négligeable. Ce qui importe, c'est de connaître la perturbation à Textrémité du tube.
Si le diamètre du tube est très petit par rapi)ort à sa longueur et
anx dimensions du vase, la correction ii faire pourra être petite. La correction à faire à la longueur sera de Tordre du diamètre du tube : li celui-ci est égal au j^ delà longueur et si Ton calcule la correction
an - on aura la résistance au - '— .
lO lOOOO
FigIO
I 96. Calcul par déiaut. — Nous prendrons Taxe des x dans le sens du tube; considérons d'abord le cas où •!/ est continu, mais 8a dérivée discontinue; dans Tcs|)ace (i) nous prendrons
88 PROPAGATION Dl L'ÂLKCTRICtré
Dans Tespace (a), il faut que 4* soit uniforme sur le plan x = à rintérieur du cercle de rayon a. Pour cela, en nous reportant au problème électrostatique nous supposerons une densité fictive «r à Vintérieur de ce cercle, telle qu'elle donne un potentiel uniforme ponr r < a ; nous prendrons alors :
la valeur de <j étant telle qu'à Tintérieur du cercle Tintégrale soit égale à l'unité. Dans ces conditions ^ est bien continu et Ton peut appliquer la formule 1 3 ; on a :
car à l'infini Tintégralc double est négligeable. D'autre part il faut calculer :
A.Wrf
qui, d'après la formule de (î
reen.
se ramène à
étendue aux électrodes et à 1
la surface de discontinuité.
Sur la première électrode
et
CHÀPITAK 111. — EVALUATION APPROXIMATIVE DES IlisiSTANCBS 89
Sur la surface de discontinuité
à rintérienr du cercle de a,
dn
à Textérieur ; l'int^rale est nulle.
Occupons-nous enfin de Télectrode située à Tinfini, «j; = A ; si on prend pour cette électrode une sphère de très grand rayon o, il est
facile de voir, d'après l'analogie électrostatique, que -^ est constant et égal à ^ ^ ; l'intégrale est donc :
Finalement on a pour la résistance cherchée R :
Cette inégalité est vraie qael que soit A, donc aussi quand A est tel que la fraction soit maximum ; or cela a lieu pour
A ira A=-4
et le maximum de la fraction est
de sorte qu'on a :
, ra
