CHAPITRE IV. — RjbiSTANCB D*UN CYLIffDRB. ÉLBCTRODES D1VKR8BS iOi
Ceci posé, multiplions Téquation (i i) par Jnrrfr on a :
/ ji^rdr = - kknln (e^^ -h e " ^^) / [ J(X„r)] Vrfr o o
car le coefficient de ko est nnl comme^ on Fa vu précédemment et tons les autres aussi à cause de Téquation (19). Le coefficient de An Q<V au contraire différent de o car dans l'intégrale correspondante tous les termes sont positifs ; on a donc :
-TjHKrydr
Jo
107. — Déterminons maintenant l'intégrale du dénominateur : réquation ( 1 8) est satisfaite quels que soient 'k^ et X, ; elle le sera aussi pour Xj et une quantité voisine X^ -h rfX, et par conséquent on pourra la dériver par rapport à X^ : mais
dXj Xj dr
L'équation dérivée devient alors, —^ et * étant toujours nuls
Faisant dans cette équation X, = X,, d'où J^ = J,, et supprimons l'indice, il vient
J aJVrfr=:g(f^);+a«J^(Xa),
^ tenant compte de Téquation (16)
102 PROPAGATION DE l'bLBGTRICITB
Dans le cas actuel ; le premier terme du a*" membre est nul, et on a
D'où, finalement :
iPrdr = a*[J(Xa)]2
f"./jp, .''),•/,•
/,X„(V-.'*^,e-'-»^0«'LJ(Mr
La question est maintenant résolue et V est donné par Texpiession dont nous venons de calculer les coefficients
108. — Dans les premiers problèmes (|ue nous avons étudiés nous avons supposé que le courant entrait par une électrode de forme connue sur la(|uelle le potentiel était constant, sans nous donner la distribution de la densité du courant le long de la base. Le problème actuel est donc différent puis(|ue nous nous donnons au contraire la distribution des densités de courant et ((ue nous en déduisons la distribution du potentiel sur la base en faisant z =.h dans la formule (22). Si le courant n'entre ([ue jmr une pai^tiede la base, on prendra une densité nulle sur la base là où il n'y a pas de courant.
109. Electrode de grande conductibilité. — Dans ce cas, 011 la surface de base n'est pas entièrement occupée par Télectrode, le problème de Télectrode de grande conductibilité n'est pas susceptible de solutions simples, par les fonctions de Bessel. Les conditions sur la base, z = constante, seraient alors de deux natures différentes :
r <ib V = constante
CHXPITRE IV. RÉSISTANCE d'un CYLINDRE. ÉLECTRODES DIVERSES 103
et les solutions simples ne peuvent pas satisfaire aux deux conditions à la fois.
D'une manière générale, l'emploi des solutions simples exige que toute la portion de surface le long de laquelle règuc une même condition (ici, la paroi cylindrique, et deux couronnes sur les bases) soit représentée par une seule variable. On n'arrive à traiter le problème qu'en choisissant des coordonnées qui donnent pour une variable la région où V est constant, et pour une autre celle où la dérivée est nulle.
De là résulte la difficulté beaucoup plus grande des problèmes dans lesquels la ligne de démarcation physique entre les deux conditions superficielles différentes n'est pas en même temps une ligne d'intersection de deux surfaces géométriques distinctes sous un angle fini, droit de préférence.
110. — Kirchhoff a traité ce problème particulier en adoptant sur l'électrode la môme distribution de densité que celle (|ui donnerait sur un disque plat seul dans un milieu indéfini un potentiel constant ; cet»e distribution est connue en électrostatique et Ton a :
HT.h s/b^^ r^
h étant le rayon du disque ; ce n est qu'une approximation, mais Kirehhoff a admis qu'on pourrait s'en
contenter si Télectrode était suffi- 1 " '
samment petite.
Si h est assez petit pour qu'on paisse regarder J(X„r) comme constant et égal par suite à J(X„o) à rintérieur du cercle électrode, on aura
Fig.15.
/ JK^n^')'^ydr = ZilnO) / j
^3J / /J(X„r)2>f//= J:;X„o) / j 2rdY
104 PROPAGATION DB l'ÉLBGTRIGITB
/ jJ(knr)^rdr = ^ j j 2'nrdr
I étant rintensité totale du courant.
L'expression de V sera alors
(,A) V - .-i ^ - + y (e- ----«-^-»-)JtX,>-) I
Ceci s'applique au cas où Ton fait arriver le courant dans un éiectrolyte par une électrode à la Wollaston.
111. — Toutefois on ne peut avoir une représentation exacte des phénomènes qu'assez loin de Téiectrode car il y a toujours pour les coefficients un rang n à partir duquel il faudrait prendre la formule exacte. Il reste tlans le voisinage imincdiat de Félectrode une région que Ion ne peut déterminer avec précision ; quelle est son étendue i
Les termes mal détermiurs sont ceux oii J(X„r) varie beaucoup à la surface de l'électrode. On a par exemple Jo(Àr) = o,5 pour Xr = 1,52 ; si le rayon b de Télectrode est o,i a, Jo variera de i h 0,5 dans Tétendut» de Télectrode dès la 5^ racine (^5 a= 16, 5); si le rayon b r- 0,01 a, cela n'arrivera qu'à partir de la 48* racine
112. — ■ D'autre pari l'influence de la distance à l'électrode intervient par le facteur
Si on prend l'électrode comme origine ce qui revient à changer j en (-' — /i), ce facteur se réduit au terme
CBAMTIIB IV. RésiSTANCB d'cN CYLINDRB. iLEGTRODBS DIVBRSBS 105
Or les valeurs a» — À„a varient do lu façon suivante
7»oi,
