CHAPITRE V
QUELQUES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION Jo DE BESSEL (»)
116. — L'équation à laquelle satisfont les fonctions J^ de Bessel
peut ùtro satisfaite par une série ordonnée suivant les puissances positives paires de x
(a) J = Ao -+- A^.r» -h Aj.r* -h ... -+- A^r-" -h ...
Pour en calculer les coefficients, formons les deux dérivées — , = 2\^x -h ... -h 27iAn-r*"~' -+- (an -h a)A„^ ,a?*" + * -+-... *]^ça=2Aj-h...-+-2«(2n— i)A„.r=^»--2-h(2n-+-2)(2n-hi)A„^.ja7««-f-...
et portons les dans Téquation (i).
En égalant les termes de degré n, on a la relation entre les coefficients consécutifs :
(1) Pour une étude d^ensemble des fondions de Bessel, voir : Grat ard Mattews. — Trratvse on Betsel Funclions (MacmiUan). Riemahr-Webeii. — Partielle Diffère ntiaUGleichungen, 4* édlt. (Wiêweg) 1900, en particulier t. 1, ch. tiii et t. II» ch. it.
CHAPITRB V. QIIILQOBS PROPRIÉTÉS DB LA FONCTION J^ DB IIK88BL i09
d'où
Ces termes ont dos signes alternés ; leurs dénominateurs croissent vil*' et la convergence est rapide, ce qui permet d'employer la série commotlf^ment quand x n'est \ms trop ^rand.
\^ est arbitraire, nous le prendrons égal à i et nous aurons
J„ n*est pas l'intégrale générale puisque, môme en prenant A^Jq, il n*y a qu'une constante arbitraire, et que Téquation est du deuxième ordre.
117. — Cette intégrale particulière Jq est, pour nous, la plus importante. Cherclions les racines de Téqualion J,, = o, en admettant qu'il y en ait. Nous savons à Tavance que s'il y a dos racines :
a ! elles seront paires ;
h) il n'y on aura pas qui soient imaginaires pures ; car, pour de telles valeurs, tous les termes de la série sont positifs ;
c)iiny a pas non plus de racines imaginaires complexes; en effet, S(3it une telle racine
A, = a + pi.
Comme les coefficients do tous les termes sont réels,
no PROPAGATION DB LBLKCTHiaTK
serait ausvsi une racine et en substituant À,r et X^/* dans J, on aurait (les résultats de la forme
de sorte que r = i sera racine de J, et de J,.
D'autre [part, nous avons obtenu (n^ 106) l'équation suivante (éq. 18) où a. X^, X, sont arbitraires,
i^renons a — i, J, et J^ sont nuls à cette limite; la première parenthèse est nulle aux deux limites.
En outre, de
on tire
on a aussi
Il rcsierail donc
x,^-x,* = 4api; J,J, = IP -t- v^
4ap2 / r{\]'-h\')dr = o.
Celte intégrale ne peut être nulle, donc il n'y a pas de racines imaginaires conjuguées.
Les racines sont donc toutes réelles.
On arrivr, de la même façon, aux mêmes conclusions pour les dérivées d'ordre quelconque de J.
d) 11 n'y a pas de racines doubles ; en effet, s'il y en avait une, X,,
CBA.P1TRB V. QUBLQUBS PROPRIBTBS DE LA FUNCTION J^ DE BBSSKL 1 1 i
elle serait a)iiiiDune à J et à sa dérivée ; ; or ou a (^q. 20, 11' 107)
['mi*<'-=[î;:h|)'-"^''|'i'-.-»1]°
Eq faisant /• = a = i, J et - s'aimuleruicnt ; le secoiul membre
dr
serait nul et on devrait avoir
ir\K^ir)\'dr = o
ce qui est impossible ; il n'y a pas de racines doubles. Il en est de mAme pour toutes les dérivées de J.
lis. — Enfin il reste à montrer qu'il y a bien des racines : nous ferons la transformation suivante destinée à faire disparaître la dérivrc — du premier membre de Téquation différentielle :
du /- dJ , l -
En substituant dans Téquation (1), multipliée par v'J^» on trouve Rappelons en passant que toutes los équations linéaires du secoud
ii2 PROPAGATION DE L*éLBCTRlGlTé
ordre peuvent être débarrassées de la dérivée première de la foDCtioii ; si Ton a
Po^ Pi» Pi ^tûïit ^^^ fonctions quelconques de x ; en posant
- CP- dx u = ye J *Po
réciualion se ramène h
«>'î' . 4PoP:j — '^Pi^P^ — Pi' -^ îPiPo' ., ^
*yr' 4Po-
Si X représente le temps et i/ le déplacement, ce h'pe d'équation peut s*appliquer à un ^rand nombre de problèmes ph^-siqucs dans lesquels on étudie le mouvement de corps matériels ou électrisés pour lesquels la masse p^, la résistance du milieu p^ et la réaction élastique /)j ne sont fonctions que du temps.
119. — Nous allons montrer en suivant la marche indiquée par M. Kneser, (|ue l'équation
dans laquelle p est toujours positif, a toutes ses intégrales oscillantes 1^).
Considérons Téquatiou auxiliaire :
v') KifisKB. — Math. Anrt., t. XLII, 1891. Voir aussi un ancien Mémoire de Stcem. — Jourii, Liouv.^ t. 1, i83fi.
