CHAPITRE V. QUKLQUBS PROPRIÉTÉS OK LA POMCTIO.M J^ DB BKSSBL i

r étant encore uno fonction de .r, el comparons ii et z pour les mêmes valeurs de x. On a

el en intégrant entre des limites quelconqu(»8 a et 'fJ

\ z *-' — w " I 4- 1 '? — 'i)nzdx = o.

120. — CJonsidérons le cas particulier où o = a, c'est à dire où Ton prend deux intégrales différentes de la même équation (5). Supposons qu'il existe sur ox {]ï\g. i6) deux points a et ? qui soient deux racines consécutives d'une des intégrales u, Téquation (71 se réduit à

Si nous sommes sûrs que u n*est pas infini dans Tintervulle a^, —

a des signes différents en ces deux points, car u a passé nécessairement par un maximum ou un minimum entre les deux.

L'équation exprime que la quantité j *-^ a le même signe en 3 [ et ^ ; comme — a changé de signe, ^ en a changé aussi et, à moins

^ oX

i que J ne soit nul pour a et ^, auquel cas cetti' fonction serait idenifqiie à t/, 7 aura une racine entre s et ^. On montrtTait do mémo [faHy a une racine de u entre deux racines de - .

Ainsi s'il y a une intégrale qui possède une succession do racines

|ii6]ictes, toutes les autres auront aussi une suite de racinos intor-

[ttlées entre celles de la première int«'*^'rale.

121. — Considérons le cas où p et 7 sont différents. Supposons

PROPAGATION DR L'^LIdlIlCITi

qu'on puisse trouver une fonction v telle que, dans Tintervalle ( deux racines consécutives de u, (p — <t) ne soit jamais positif,

Nous aurons cette fois

4wi

Supposons que dans cet intervalle (ap), où u ganle toujours

même signe, -h i>ar exempi z ne s'annule pas non plus soit par exemple toujours p< silif. On a alors

Fig.16 d'autre part, on a

(Sl<»-

La somme des deux premiers termes de Tt^quation (8) est donc né gative; comme tous les termes de l'intégrale sont aussi négatifi Téquation (8) ne peut pas ôtrc satisfaite : il en résulte que z ne peof pas être positif dans tout l'intervalle ap. Il no peut pas être non plui négatif dans tout cet intervalle pour la môme raison ; il doit par suite changer de signe entre a et ^. Donc si Ton connaît une équatioft auxiliaire (6), telle qu*on ait p — a «; o dans tout un intervaUe compris entre deux racines consécutives (!<» ?/, il y a une racine de z aX moins entre les deux racines de u.

Inversement, si on a une équation auxiliaire telle qu'on ai (p — ») > dans tout un intervalle entre deux racines de s, il y * une racine de u au moins entre les deux racines de z.

122. — En particulier, si on connaît pour p une limite finie et pC