CHAPITRE VI. — GABLK8. éTAT VARIABLE

135. — (l) Enfin, considérons le cas général où le mouvement en un point est périodique et amorti :

la ^lution sons la forme réelle est

(8; V = Ae"" '^"^ ~ ^'^ cos («,r h- p,/).

Dans ce cas. il y a plusieurs vitesses de propagation à distinguer suivant la nature du phénomène observé.

j * Si nous observons les passages du potentiel j)ar zéro, le cosinus nous donnera pour vitesse des nœuds

— r? OU ' .

Cette vitesse de propagation est en raison inverse de la capacité et proportionnelle à 0L^ c'est-à-dire à l'amortissement de la distribution en longueur ; elle est indépendante de la longueur d'onde.

2" L'amplitude Ae"" *'^ ^ •"'' se propage avec une vitesse différente de la précédente,

qui dépend de toutes les qualités du câbl<% de l'amortissement et de la longueur d'onde.

3*" L'intensité du courant est

^y/^-=/X -«*^-P«^[a,eos(a,a;+B,0-^«2 8in(«.^ + M)J,

ses nœuds et son amplitude si» propaf^ent comme ceux du potentiel. En résumé, il n'y a pas, dans l(»s cAl)les, de vitesse de propagation déterminée indépendante des circonstances ; mais on peut créer des S4'ries d'états qui se pro])agent avec une vitesse uniforme.

136. Formation d'une intégrale plus générale. — Revenons à la forme de solution simple donnée i)ar l'équation (5) ; en effaçant

128 PROPAGATIOM DB L'ÉLBCTRlClTé

l'iudicô devenu inutile cl laissant arbitraire l'origine nous pouvons la mettre sous la forme

(9) V = e r e T (A cos x/* -r B sin xc,.

Vax ajoutant une infinité de solutions simples de cette forme nous aurons une série ou une intégrale de Fourier permettant de représenter un état initial arbitraire. L(*s solutions indiquées |)ar Fourier, à propos de la chaleur, sont les plus intéressantes 1 *).

Si nous avons un fil indéfini du coté des x positifs nous pourrons dans le calcul le considérer comme indéfini dans les deux sens, en prenant à gauche un état initial résultant de celui qu^on s'est donné à droite ; en particulier si Tétat initial est représenté à droite par une fonction impain* il faudra prendre, pour — x, la même valeur initiale que pour -h x, changée de signe.

137. — Un des premiers cas étuiliés par Fourier est le suivant : à rinstant initial on établit un poteiïtiel uniforme (température de Fourier) égal à 1 , sur une portion do longueur égale à 1 à partir de Torigine; partout ailleurs lo potenti(»l est nul.

La fonction qui donne cet état initial est

(10) > rrr I <'OS X/' - (11.

La source qui entretient ce potentiel constant, étant subitement enlevée, il se produit une diffusion progressive représentée par

(11) ^ = ® /- / ® cos nx rfa.

On remarquera que, par suite de la présence de l'exponentielle , sous le signe /, la discontinuité ne se conserve pas.

138. — On doit à Laplace {Journ. Kc. Polyt. XP Cahier) une forme d'intégiale qui met en évidence Tétat initial.

(i) FoimiBR — Théorie de la chaleur, Ch. ix n®» 347, 348.

CHAPmiE VI. — CABLIS. ^TAT VARIABLE 129

Partons de Tintégrale connue

e- î* dq =. V^t:.

Cette intégrale étant prise de — » à -h » nous pourrons remplacer q par ^ + *?, 'c étant une constante, sans changer la valeur de rintégrale