CHAPITRE VIII
CHAMP ÉLECTROSTATIQUE PARTICULIER
161. -- n est intéressant de traiter rigoureusement quelques problèmes particuliers. Prenons d'abord pour circuit un cylindre circulaire d'épaisseur uniforme très petite et supposons la pile E localisée le long d'une génératrice.
Soit P sa projection sur une section droite ; choisissons ce point poor origine des coordonnées.
Dans le cylindre, à Fétat permanent, on a
,. Es
« étant lare compté sur la section droite à partir du point P' opposé àP fig. 22).
Soit M le point qui correspond Fig. 22
à la valeur s de Tare et 6 l'angle du rayon vecteur PM avec Taxe des x ; la condition 1 1 j devient
162.— Occupons nous maintenant de l'espace isolant intérieur. Le potentiel ¥« doit être continu dans tout l'intérieur ; satisfaire à l'équation de Laplace,
«t prendre la valeur ;aj, le long de la circonférence.
152 PROPAGATION DB L*£LBCTRICITÉ
La solution rendue évidente par le choix des coordonnées est
,, EO E , y (3. ^^0- ---arctgj^-^:^
Les surfaces équipotentielles sont donc les plans qui passent par la génératrice P. Au point M la densité superficielle \l est reliée à la force électrique normale /"par la formule connue
Calculons f : c*est la projection, sur le rayon, de la dérivée du potentiel suivant la normale, cette normale étant ici MF. On a par suite
«>V __ <VN' cV) E / I V E
un «>0 c^n ~ - y PM / ~" i'TrR cos
La force /est aloi-s on a par suite
La densité est nulle au point P' où nous avons supposé le potentiel nul ; elle croit jusqu au voisinage de la pile, = - , où elle devient infiniment grande.
163. — A l'extérieur du cylindre, le potentiel doit satisfaire à une condition de plus ; il doit être nul à Tinfini. Pour avoir les surfaces de niveau rappelons-nous la propriété suivante :
Quand on a un système de surfaces de niveau, une transformation par rayons- vecteurs réciproques par rapport à un centre quelconque duiiiu» un autre système de surfaces de niveau.
Ici. faisons la transformation dans le plan de la section ; en prenant pour centre le centre du cercle et pour puissance le carré du rayon : de sorte que le cercle lui-même n'est pas modifié. Les cordes
CflAPITRB VIII. — GHAyp ^LBGTROSTATIQUI PARTIGOLIBR 453
intérieures seront transformés en la partie extérieure de leurs cercles correspondants. Les surfaces de niveau extérieures sont donc des portions do cylindres circulaires passant par P et et coupant le circuit sous le même angle que les plans de niveau intérieurs qu'ils rontinuent.
Ucmarquons que la condition tiuoQcée au début V nul à Finfini f^t hien satisfaite, puisque le plau de i)otentiel o qui est PP' passe par le centre.
I/expression de \\ est
V K , H// \,— - arctg ô ."
Fig23
U distribution linéaire du potentiel le lon^ du circuit n'a pas pour •'un*iëquence une distribution linéaire dos densités ; au contraire elle fniraine nécessairement lexislcncc de densités très grandes au voisinage delà pile, conformément aux indications générales du chapitre précédent. Dans ce cas très simple, malgré la symétrie parfaite d'un circuit circulaire, la capacité par unité d'arc s, n'a pas do sens dans 1 état permanent.
La figure 23 est très différente de celle que contiennent tous les traités à propos du théorème de Poynting.
164- — Occupons-nous maintenant de Tétat variable^ et formons d'abord l'équation du circuit, avec l'angle au centre a comme variable.
R étant le rayon moyen ; l'intensité du courant est
' "" R d'à ' Considérons le petit élément do longueur Rc/a ; ce qui s'accumule dans cette portion du cylindre est l'excès de ce qui entre, sur ce qui ssort :
I i) (ke f>Vi
154 PROPAGATION DE L*BLBGTRICITi
Cette quantité d'électricité sert à accroître la densité sur les deux faces : or sur la face inU^rieui-e In densité est, en supposant l'épaisseur e négligeable
1 /^o\^/J^Vov
4r \ Z\n I ^ ir. d7' fr = R.
la normale n étant dirigée vers le centre.
A l'extérieur
ir, \ an I ^ 4^ <^»' 'r = R.
Nous aurons donc
en désignant par V^ et V^ les potentiels intérieur et extérieur.
165. — La condition à laquelle le potentiel du champ intérieur^ et celui du champ extérieur doivent satisfaire à la surface du circuit étant la môme
Vo = V. = V, (r = R),
Vj s'obtient par inversion de V„ comme dans Tétat permanent, et Ton a
^ àr lr={\ \ àV Jr = K
Les équations sont donc finalement pour l'intérieur
et à la surface r = B
Vo = \\
R* da2 — 2;t l'tbr
CHAPITRB VIII. — CHAMP ILBGTII08TATIQUK PARTIOULIIR 155
166. — Rappelons maintenant une transformation connue ; on coDsidère deux fonctions a et ^ de Jt? et ^ qui fournissent un système de c<K)rflonnées orthogonales et isothermes : c'est à dire telles que
l'nn ait
et qu'en outre 2 et ^ soient orthogonales.
Alors si on prend « et p comme variaWes au lieu de x et y, l'équation (4) devient
DaDs le cas actuel il est facile de voir que Tangle au centre 2 et la quantité ? = log r forment précisément un système orthogonal et isotherme : on a donc dans tout l'isolant
Mettons aussi en évidence dans (5) la dérivée par rapport à log r ; noDs aurons
R* àx' 27: dM R d Ibg rfr ^ R
on peut écrire encore cette équation
da* 2r.h'e àt \«>log r/ Prenons pour V^ une expres^^ion de la forme
Vo-/(«,logr-i7:^/).
C est une fonction de 2 et de log r; t y internent aussi, mais il
156 FTOPAGATIOIC RB L'^LICTIIlCITé
Q*iotervient pas dans réqaation (5) de sorte que si la fonctioc /*('» log r) satisfait à 6, il en est de même de la fonction (91. Nous aurons
dlogr dîj en posant
?, =logr — 2r ^t
et ensuite
fit dlogr ~" dài* 'àï R fi'^r'
En portant cette valeur dans Téquation (8) on obtient Téquation
(6) ; tout se réduit donc à satisfaire à cette dernière équation : il
suffira de prendre une solution déjà connue et de remplacer log r
par
, 2Tzkê ^
logr--g-.f.
