Nous avons donc à faire les moyennes suivantes
,, / log r. 9 rrrfr 1 f",^, . „, b* — a»l
i88 PROPAGATION DB L'iLBCTRIGITE
En faisant la substitution dans f 13; on trouve
Ih'^
(b^~-â^Y ïofe' /. + (//^^TTï^* ^^- 7;
— 2 lOg
Tous les termes sont négatifs, sauf les deux premiers peu importants, et la forre êlectromotrice est toujours négative : les termes de la a" ligne caract<'risent Tinduction entre les deux parties d'un mt^mo fil ; celui de la troisième ligne seul provient de Tinduction du fil d'aller sur le fil i\(' retour ; il pourra d'ailleurs être le principal.
207. — Il est rare que dans la constructio^ des cables on laisse un trou central ; on peut donc faire a = o et écrire la force électi'omotrice E sous la forme
^--:![^iog^4.4
Le terme ^ ne dépend que de ^, • c'est lui qui indique Timportance de l'épaisseur de la couronne de retour.
Les deux t^ibleaux suivants nous donnent la valeur des deux termes.
i.aî
orr,
alog-
Si répaisseur de l'isolant est très petite ; c'est le terme SE qui a seul de Timportance.
CRAPITM Ul. -— QUBLQUI8 APPLICATIONS 180
Si Ton veut donner de rimportance à Tinduction mutuelle entre les deux conducteurs, il faut que la couronne extérieure soit mince <'t l'isolant épais ; dans le cas contraire, c'est la soif induction de la couronne de retour cpii remporte.
La force clectromotrice ainsi obtenue, ot par suite le coefficient de self-induction du a\ble par unité de longueur dépend de la distribution supposée uniforme de la densité de courant.
208 Deux iils parallèles. Approximation. — Occui)ons-nous maintenant d'un cas important pur ses applications : deux fils parallèles placés très loin Tun de l'autre parcourus par des courants uniformes d'aller et de retour. Lo potentiel vecteur F résulte du courant de densité J dans le preniier fil et du courant de densité / dans le deuxième ; en ajoutant en chaque point les deux valeurs correspondanU^s. nous supposons d'abord qu(» la valeur de ¥ due au premier fil est uniforme dans toute l'étendue du second et inversement. Cette approximation est celle que nous avons faite en admettant que la distance; des deux fils est un grand multiple du diamètre de chacun d'eux.
Le potentiel vecteur qui provient du premier fil est, h l'intérieur de ce m,
et à l'extérieur i6 F = B — airi^vloglJ,
en tenant compte des conditions de continuité. On a de même pour le second fil, à l'extérieur,
et à l'intérieur 18 F = B — Tzf r'' — b").
209. — Soit D, la distance des centres des deux fils; en traitant comme uniforme dans chaque fil le potentiel dû à l'autre, nous avons alors:
190 PROPAGATION DK L*£LBCTR1C1T£
intérieur du premier fil :
F -h F'„ = B -H B' — 2 ^M'J' log y — i:/. r* — h'), luléricur du second fil :
F„ -f- F = B -h B' — 2T.h^i log J — ^•' ./=* - h'' . Espace extérieur aux deux fils :
F -h F' == B 4- B' — 'XT.b'j log '^ — irM^f log ^^r
Les conditions de continuité sont satisfaites à la surface des deux fils; restent les conditions à rinfini. A très grande distance, r, et i-' deviennent identiques, et pour que F -h F' y devienne nul, il faut ({lie Ton ait
^ B -h B' + 2ir6V log b 4- 2 -h'^'j' log b' =0
•^^ \ 2r.b*f-\- HT.b'*f= 0.
La seconde de ces équations montre que les intensités totales tt^V? et tM^J dans les deux fils doivent être égales et opposées ; c'est ce que nous exprimons en disant que le second fil sert de fd de retour au courant 1 du premier fil, Mettant ce courant total en évidence, il vient alors
et enfin
B^lV=:-.2llogJ;,
^F^F„==-i(;;;-i)-2iiogJ
(20^ F^F' = -2lIogj;,
'F„H.F' = 4-l(^--i)-4-2llogg
àrintérieur du i" fil, entre les deux, et à Tintérieur du 2* fil.
Ces expressions supposent une répartition uniforme du courant dans chacun des fils.
210. — Si on supi)0se que les deux fils se réjoignent à grande distimce, on peul clieiThcr la force électromotriee produite par unité lie longueur de rcnsemble dc8 deux fils jjarallèlcs,
CHAPITM III. — QITBLQL'BS APPLICATIONS 191
CVst iwur h» premier fil fiuur le second
I*ii différence de ces deux expressions donne la force rleclroinotrice lolale, bien entendu après nvôir fait la moyenne dans chaque fil comme précédemment, ce qui n'esl pasabsurd»» dans le «as actuel : eu effol le terme ' est conq)ris entre o et i, lJin«lis (pic le terme
l"g ^ • très gnmd dès que les fils sont assez éloignés, est pré[)ond«'rant. On trouve alors
MoV. v:. = -
* 6- À el iKir suite la force cle«'tronu)lrice totide est
<- -:;![. -H. log»:].
Telle est la formule classique de la force éleclroinotrice de self in- •ludion pjir unité de longueur dans renscinble do deux fils parrallèles d'aller, el de retour. Cette self induction décroit, quand la distance 1) diminue: et, si la formule étail encore théoriquement valable dans Cl? cas. on en déduirait, que, lors(pie les fils égaux {b .-■■ b' sont en «"•ntact D -— b -+- 6' , leur coefficient de self induction aurait |)Our valeur minimum, i -h 2 log 4 ^^ 3,77. Mais une telle extension de la formule est tout à fait incompatible avec son origine approximalivr; la réaction d'un des fils sur l'autre nesl sensiblement uniforme dans toute la section (|ue si les deux fils sont très éloignés Fun de i'aiilrr.
CIJAPITHK IV
FILS PARALLIXES
211. Le problôine dos fils parallèles, que nous avons traité seulement d'une manièn» approchée, en supposant très grande la distance qui les sépan», jKMit être traité d'une manière rigoureuse, pour toute disUmce, môme petite, comme nous allons le voir. Seul, le cas du contact des <leux fils restera encore (»xclu. Considérons dans le plan
un système de coordonnées orthogo- ^B \^-^ nales X et a, (fig. 3;) et posons
àW
dlV
Tig. 37 et le long d*uue ligne X = ctc
Le long d'une ligne |jl = cte on a
dii = h, ds-^,^.
212. — Formons dans ce nouveau système de coordonnées l'équation aux dérivées partielles qui correspond à
cVF
.--: - iv\
CHAPITBI IV. — » P1L8 PABALL^LBa 193
Partons, pour cela, de la signilication physique de réquatiou électrostatique analogue
a le flux de force qui sort d'un contour est égal au produit par 4^ de la masse électrique intérieure au contour » et formons l'expression de ce flux de force pour un contour rectangulaire > , ^ -4- rfX, fi, Il -h dii, h\ force a pour composante normale à A B,
et le flux de force qui entre par AB est
^ \ às,^J h, <U
L'excès du flux qui sort par CD, sur celui qui entre par AB, est
De mèmei pour les côtés AC, BD, Texcès sortant est
<^)uant à la masse électrique interne, elle est égale au produit de la densité e par la surface ds-^ dsii = -r-T^ '
L équation des flux est donc, eu coordonnées orthogonales quelconques,
On a donc enfin
194 PROPAOATlOif DB L^BLBGTRICITB
213. — Lorsque les coordonnées orthogonales >», {*, sont isothermes,
on en déduit, en rcmplavant V i^ir X, et par |i, dans Téqualion pro cédenie
Les deux quantités /i,, h^, sont partout égales ; les coordonnées X, |i, divisent le plan en petits («arrés, inégaux d'ailleurs ; les courbes d'égale dimension des carrés sont les courbes h^ -- etc. L'éf[uation prend alors la forme plus simple
214. Fil unique. Coordonnées polaires. — Comme premier exemple, examinons comment, pour un seul fil cylindrique circulaire, on peut déterminer la distribution des forces électromotrices dues îi une variation du courant, distribué d'une manière arbitraire dans la section. Prenons pour coordonnées, les coordonnées polaires
a, p = log r,
({ui constituent un système de coordonnées orthogonales et isothermes.
L'équation
AF == ~ 4^y
devient
./ est une fondion de o et de a, que nous supposons développée en série de la forme
S et C étant des fonctions de c.
