CHAPITRE IV. — FILS PARALLÈLES

Clierchou8 une solution de la forme

il et (j étant aussi des fonctions de o ; on a

(il) - , = ^ — n* li„ sin ?n — n^ G„ cos nx)

Dérivant (lo) par rapport à p, puis substituant dans l'équation (8), et identifiant les facteure de sin m dans les deux mondires, nous aorons pour déterminer !!„

l'ne équation semblable donnerait (i.

L'équation 112) sans second membre a pour intégrale

H, = Ae -f- Be "^

et avec le second membre

If„ = Ae"P -h Be- "^ + *-^W •'"'{- -itS-e-"-' ) <l?

ce qui donne la solution complète du problème.

215. Coordonnées Bipolaires. — Comme second exemple, re- Tenons au cas de deux fils circulaires parallèles. Les coordonnées orthogonales isothermes convenables sont alors le logarithme du

196 PROPAOATION Dl L'éLBGTRICITi

rapport des distances d'un point h deux points fixes, Oi 0. et ïi sous lequel on voit la distance D de ces deux points.

, .,x \ P = logr, — logr,

( a = Wj — tOjj.

Les courbes a = cte sont, comme on sait, des circonfén passant par les points Oj, 0, ; et les courbes p = cte, des cir férences qui entourent ces points.

Des calculs faciles donnent, pour équations de ces deux système circonférences

(,4) ^.^.(y Çeota)' = ^^^

et.

en désignant les sinus et cosinus hyperboliques par

(i6j Sho=^(e^-e" P j' Cho=:i (e? ^ e"" ?)•

216. — l'm» circonférence pi, collo qui limite le premier fil excmpli», a donc |K)ur rayon

ii.=

2 Shoj

et sou

contre

est défini

imr

li8)

Xj =

DChp, = 2 Shp,

La distance des centres :i). n'est donc pas égale à D :

Si par exemple la distance D est égale au double du diamètre deux fils, siip|M>sés égaux, la distance j^ do leurs centres l'sl 1,1 1

CHAPITRB IV. — FILS PARÀLLkLBS 197

Si z^ et p, sont négatifs, les deux circonférences entourent toutes deux le point Oj ; cela correspond à un fil cylindrique, entouré d'un lube conducteur excentrique. Ce n'est pas le cas dont nous nous (xi^uperons.

Si 5, ost négatif et p, positif, la circonféronco p^ entoure le point 0,, j la circonférence p, entoure le point 0,, ce qui correspond bien aux

l fils conducteurs séparés.