SCIENCES ABSTRAITES

Quelle est la part de rexpérience dans la formation de ces notions ? C'est ce dont disputent les philosophes. Mais quelle qu'en soit l'origine, elles sont actuellement construites par l'esprit, délimitées par lui de sorte que tout le calcul consiste dans une suite de combinaisons pour retrouver les définitions préalablement posées. C'est donc bien une logique, mais une logique spéciale qui nous donne les moyens de retrouver au milieu de transformations multiples les définitions des nombres et des grandeurs.

La démonstration mathématique est une suite de déductions, c'est-à-dire une liaison de propositions telles que les unes étant posées les autres en découlent d'elles-mêmes. Mais au sein d'un principe fécond l'esprit n'aperçoit pas d'emblée tout le système des conséquences qu'il implique. C'est une tâche compliquée et qui demande un délicat travail d'analyse, que de démêler chacune de ces conséquences et ses liens multiples avec chaque autre et avec le principe commun. Quelque tactique qu'on emploie, le travail d'analyse n'est achevé que lorsque le système tout entier se trouve tracé, l'ordre et l'enchaînement des propositions disposé de telle sorte que l'on puisse passer de l'une à l'autre sans heurt, par une marche continue, comme allant du même au même. C'est ce que l'on exprime en disant que la démonstration mathématique est une méthode de substitutions. Elle substitue l'équivalent à l'équivalent, et c'est pourquoi le passage s'effectue toujours à l'aide du signe = .

S'il arrive que, quelque voie que I'oh tente, on ne parvienne pas à établir entre deux propositions dont l'une soit le principe de l'autre, une série ininterrompue d'intermédiaires, on tente alors une démonstration indirecte ou par r absurde. Renonçant à établir la véracité de la proposition à démontrer, on se contente d'établir la fausseté de la proposition contradictoire à celle qui doit être démontrée. La démonstration par l'absurde a tout autant de force que la démonstration directe : son inconvénient est d'éclairer moins l'esprit.

DEDUCTION A. PRIORI 22g

Les méthodes de la résolution des problèmes sont les mêmes que celles de la démonstration des théorèmes. Seulement il y a ici un ou plusieurs des termes à rejoindre entre eux que Ton ne connaît pas d'avance, et qu'il s'agit d'abord de déterminer. La première recherche à faire est de s'assurer que Ton possède bien toutes les données requises pour déterminer les termes inconnus.

A toutes les sciences qui ont pour objet des grandeurs on peut appliquer les procédés généraux de la mathématique abstraite, les lois du calcul. La plus simple de ces sciences est la science de l'espace, la géométrie. La géométrie n'est plus seulement une logique. Le géomètre ne part pas d'une certaine notion qu'il essaie de retrouver au milieu des combinaisons les plus complexes ; il ne lui suffit pas de suivre le jeu des formules numériques. Il les applique à une réalité concrète sur la nature de laquelle des philosophes discutent à vrai dire, mais à une réalité : les solides, les surfaces, les lignes, les points. Dans la démonstration géométrique les procédés logiques servent à lier les vérités établies. Mais il s'agit d'établir ces vérités. Parmi ces vérités les unes sont immédiatement saisies, ou, comme on dit, évidentes par elles-mêmes, les autres réductibles à celles-ci.

Les philosophes se posent la question de savoir si les propositions géométriques sont ou non a priori. Ce sont bien en effet en un sens des expériences que les propositions géométriques, car l'égalité de deux figures se prouve par exemple par la superposition de ces figures. Ce sont bien aussi des expériences que les relations de propositions entre elles, car c'est par une construction que l'on montre comment une figure est possible. Mais ce sont, semblet-il, des expériences posées une fois pour toutes, à simple inspection, et qui n'ont plus besoin de vérification. Il suffit de voir pour croire, et il semble que nous réalisions en géométrie le rêve de l'homme : savoir les choses sans avoir besoin des tâtonnements de l'expérience, par une. déduction a priori. Les philosophes sont encore divisés sur cette

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question, et ils se demandent si nous ne prenons pas pour une certitude a priori une certitude indéfiniment vérifiée: car nous constatons continuellementla vérité des propositions géométriques, quand nous percevons les distances, les dimensions, les formes des objets : toute perception, étant selon le mot de Descartes, une géométrie appliquée.

Mais voici une autre forme de déduction, la déduction expérimentale.

L'homme ne renonce pas à déduire, mais il a besoin de vérifier à chaque pas ses déductions. Au lieu de partir de principes certains à priori il les suppose tels, et les confronte avec rexpérience.

Ajoutez à la notion d'espace celle du temps, et d'autres notions plus complexes, telles que celle de masse, d'énergie, vous avez la mécanique, science d'une nouvelle forme de grandeurs. Les différents phénomènes physiques et chimiques peuvent ôtre en partie ramenés à ces diverses grandeurs mécaniques.

Nous allons saisir ici sur le vif le caractère propre de l'esprit scientifique moderne, de l'esprit expérimental.

Le savant moderne ne ressemble pas au philosophe ancien qui partait de principes supposés certains et en tirait les conséquences sans souci de l'expérience. Il n'est pas davantage un collectionneur de faits. Il n'est ni simplement un logicien, ni simplement un observateur. Il met la logique au service des faits. Il est comme un bon serviteur qui mettrait toutes ses audaces au service d'un maître. Son maître, c'est la nature. L'esprit scientifique moderne, ce n'est ni la pensée pure, ni l'observation servile : c'est la pensée contrôlée par l'observation.

Voyons comme la nature se prête aux besoins logiques de l'homme, et comment nous en pouvons pénétrer l'unité.

L'homme à la recherche de l'ordre, de la symétrie, s'est aperçu que les choses telles qu'elles apparaissent à une première inspection sont complexes, et quoique entre les choses

DÉDUCTION EXPÉRIMENTALE sSl

telles mêmes qu'elles apparaissent dans leur complexité immédiate on puisse saisir des rapports, — par exemple entre les groupes d'êtres vivants — les relations permanentes et déterminées se trouvent surtout entre certaines propriétés des choses qu'il faut isoler, abstraire pour les étudier. C'est ainsi que le géomètre n'étudiera pas le corps avec toutes ses propriétés, mais seulement son étendue.

Mais il ne suffît pas d'isoler les propriétés des choses pour les comprendre, il faut les transfigurer. C'est ainsi qu'on imagine des points sans dimension, des lignes sans épaisseur, etc. Bien plus on imagine une autre nature : en physique pour expliquer la lumière, un certain fluide impondérable, en chimie des atomes formant entre eux certaines figures, etc. Et par ce procédé d'abstraction et d'idéalisation on arrive non seulement à comprendre mais à maîtriser cette nature même qui au premier abord apparaît complexe et bariolée. Tel est le procédé général de la science moderne. Pour elle le monde est un ensemble de propriétés idéales ; et l'univers actuel ne peut être interprété et conquis que si on lui substitue un schème incolore, homogène de points, défigures, de mouvements. Plus on s'éloigne de l'apparence des choses, plus on a chance de les conquérir. Souvent — grande leçon d'idéalisme donnée par la science même, et qui rejoint les conclusions de la morale, — il faut se détacher de la nature sensible pour dominer cette nature même. Le savant sans doute ne croit pas à la réalité des imaginations qui constituent la science plus que le poète à ses fictions, mais il les croit nécessaires. // faut reconstruire la nature pour la comprendre.

On voit par là combien est fausse l'idée que l'on donne quelquefois de la science expérimentale comme d'une collection de faits. La science est une construction intellectuelle. Elle est une déduction, de plus une déduction d'idées construites, d'hypothèses. La nature livre ses secrets non à celui qui l'observe inais à celui qui la rêve. Seulement il faut que ce rêve soit vérifié.

33a scie:«ces abstraites<coj«crètes

Notre époque a assisté à un prodigieux épanouissement des sciences de la nature ; un des traits saillants du xix* siècle est l'esprit expérimental. Une pensée jeune n*est guère mipable d'une telle attitude, l'esprit expérimental suppose la maturité de la pensée. Il faut de l'abnégation intellectuelle au savant : prêt à se plier aux enseignements du réel, il abdique les aspirations de son esprit, il attend, il provoque la dictée des faits. Voici un observateur qui relève minutieusement une ligne sinueuse tracée, sur un rouleau de papier noirci, par le style d'un thermomètre enregistreur ; voci un statisticien qui pointe avec scrupule mille petits faits monotones. Ils passeront des années courbés sur ces tâches ingrates. Est-ce de leur part sécheresse d'esprit, curiosité maladive de savoir ce que personne ne sait ? En aucune manière : eux aussi ils ont une imagination hardie qui ne demanderait qu'à courir de belles aventures, seulement ils la font taire ou plutôt ils la disciplinent. Ils ont besoin du silence de leur propre pensée pour écouter la voix des choses.

L'hypothèse et la déduction sont des moyens d'action sur la nature, soumis au contrôle de la nature.

Or l'hypothèse qui permettrait d'introduire dans les choses l'unité la plus abstraite est celle d'une mathématique universelle, d'après laquelle tous les faits pourraient être traités comme des grandeurs. Nous verrens par cet exemple et le rôle des hypothèses et jusqu'à quel point le monde peut être déduit.

L'objet de la science mathématique est la mesure des grandeurs. Mais cette définition courante est insuffisante, ainsi que le remarque Auguste Comte. Elle convient à l'art de l'arpenteur et du jaugeur aussi bien qu'à la science du mathématicien. Les spéculations mathématiques offrent à notre activité intellectuelle un aliment inépuisable: or, on ne fait rien prévoir de semblable tant qu'on ne parle que de mesurer des grandeurs ; car la mesure d'une grandeur n'est pas autre chose que la comparaison immédiate de cette

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grandeur avec une autre grandeur de même espèce prise pour unité. L'arpenteur mesure une grandeur en la comparant directement à l'unité, par superposition. Au contraire, le mathématicien mesure les grandeurs indirectement. Le fait qui doit être mis ici en relief, c'est que la mesure directe d'une grandeur par la superposition est le plus souvent pour nous impossible. Soit, en effet, le cas le plus facile, celui de la mesure d'une ligne droite par une autre ligne droite. Cette comparaison, qui est la plus simple de toutes, ne peut presque jamais être effectuée, car il ne nous est pas possible de parcourir d'un bout à l'autre la plupart des droites qui nous intéressent. Les distances entre les différents corps célestes et même la plupart des distances terrestres sont hors de nos atteintes, soit que ces lignes se trouvent inaccessibles, soit qu'elles offrent une longueur trop grande ou trop petite. Par exemple, il est impossible de déterminer par une mesure directe l'élévation verticale d'un sommet au dessus du niveau des mers. Il en est à plus forte raison de même des autres espèces de grandeurs moins simples que la ligne droite : surfaces, volumes, vitesses, temps, forces, etc. C'est pourquoi nous inventons des artifices pour mesurer indirectement ce qui ne tombe pas directement sous nos prises. Le véritable objet des mathématiques est donc le suivant : étant données des grandeurs qui ne comportent pas une mesure directe, trouver le moyen de les rattacher à d'autres grandeurs qui soient susceptibles d'être déterminées immédiatement afin de découvrir par elles les premières au moyen des relations qui existent entre les unes et les autres. Ces artifices constituent ce qu'on nomme le calcul. Calculer, c'est rattacher des grandeurs réfractaires à la mesure directe, à d'autres grandeurs qui la comportent. Cela est possible par le moyen des fonctions. On dit qu'une grandeur inconnue x est « fonction » d'une grandeur connue a lorsqu'il y a correspondance véritable entre les variations de a et les variations de x. Etant donnée une des variables

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€i la loi de variation, on calcule la seconde variable. La hauteur d'où un corps est tombé et le temps de sa chute sont fonctions Tune de l'autre : connaissant l'une et la loi de la chute des corps (l'accélération de la pesanteur), on peut retrouver l'autre. S'il s'agit d'une sphère roulant sur un plan incliné, on a trois quantités variables fonctions l'une de l'autre; on peut avoir affaire à un système de variables en nombre quelconque. Le diamètre apparent des objets et leur distance sont fonction l'un de l'autre : c'est par là que l'on mesure les distances planétaires.

En d'autres termes, il existe entre les gi*andeurs que l'on étudie des rapport stables, fixes, indépendants qu'il s'agit premièrement de découvrir par une sorte d'enquête et d'enregistrer comme par une observation. Reprenons l'exemple d'une profondeur mesurée par le temps de la chute d'un corps. La relation qui existe entre le temps et la hauteur ne peut être prévue par aucun calcul, c'est une véritable constatation de l'expérience. Avant Galilée, on s'imaginait à priori que ces deux grandeurs sont proportionnelles. C'est lui qui s'est aperçu que la chose est, dans le fait, moins simple que ne le suppose l'esprit non encore informé. Après d'attentives recherches il a montré que la hauteur est fonction du carré du temps: L = f (f*'). Gela est un résultat de l'expérience. Une fois relevé le rapport qui existe entre les fonctions considérées (c'est ce qu'on appelle découvrir V équation), commence le calcul ; la partie abstraite commence quand la partie concrète est terminée. Depuis les opérations les plus simples jusqu'au calcul intégral le plus compliqué, le calcul constitue la partie instrumentale des mathématiques : c'est un immense réservoir de procédés logiques*. Il est plus général que la géométrie, la physique, etc. ; chacune de ces sciences étudie un phénomène déterminé, au lieu que le calcul est le même pour tel problème et pour une infinité d'autres. La même équation