SUPÉRIEURES

égale à zéro et sujet à l'accélération constante g, accumule et développe dans sa vitesse v = gt les effets de cette accélération constante g, puis accumule et développe à leur tour

les effets de cette vitesse v dans l'espace s — -^gt1, parcouru

dans le temps t. C'est donc parce que l'on permet au phénomène de la chute d'accumuler et de développer ces caractéristiques successives, chacune effet immédiat delà précédente, que les expressions quantitatives correspondantes deviennent de plus en plus compliquées.

C'est pour cela que, vice versa, plus le nombre des caractéristiques successives, que l'on permet à un phénomène donné d'accumuler et de développer pendant sa durée, est petit, plus les caractéristiques mêmes sont élémentaires, et plus, par conséquent, les relations quantitatives qui les représentent sont simples.

Or, négliger dans les passages à la limite des relations différentielles les quantités dites « infiniment petites », c'est-à-dire tendant à zéro, qui se trouvent dans le second membre de l'égalité, par rapport à la quantité finie qui vient ainsi représenter la limite cherchée, — et, plus en général, négliger les infiniment petits d'un degré quelconque par rapport à tous ceux d'un degré inférieur, — équivaut à écarter de notre considération, dès leur première naissance, les caractéristiques phénoméniques les plus complexes, qui résulteraient de l'accumulation et du développement des effets des caractéristiques les plus élémentaires représentées par les quantités finies ou par les infiniment petits de degré inférieur ; cela équivaut, en d'autres termes, à arrêter le procédé respectif de développement au point où il aurait précisément commencé à produire ces caractéristiques plus complexes, représentées quantitativement par N s infiniment petits négligés.

Étant donné cette nature du calcul différentiel à savoir de ne consister qu'en passages opportuns à la limite de rapports entre quantités petites, qui sont supposées tendre à diminuer toujours davantage, il faut que le raisonneur voie toujours bien clairement que ces quantités petites sur lesquelles il s'imagine opérer, si elles tendent à devenir toujours plus petites, sont toutefois, au moment de toute opération, quelle qu'elle soit, exécutée mentalement sur ces quantités, toujours des quantités finies, les seules - — comme le faisait déjà remarquer à juste titre George Berkeley — que l'esprit humain puisse concevoir comme matière d'opérations de calcul (1).

C'est précisément pour ne pas avoir vu bien clairement cette nature finie des infiniment petits, avant le passage respectif à la limite, qu'ils ont rencontré, comme on sait, à la première naissance du calcul infinitésimal, tant d'oppositions si vives et puis tant de difficultés à obtenir pleinement et entièrement droit de cité : « Pendant les premières phases de développement du calcul infinitésimal de Leibniz, se présenta la difficulté de se faire une représentation logiquement satisfaisante des grandeurs infiniment petites. Les uns les interprétaient comme des quantités entièrement nulles, d'autres se les figuraient mystiquement comme des grandeurs qui, bien que plus petites que toute autre grandeur imaginable quelconque, contenaient toutefois le germe propre à produire la quantité finie » (2).

Pendant certaines phases de leur manipulation, ils apparaissaient comme des quantités finies, dans certaines autres, comme des quantités entièrement nulles : « On rencontre

(1) G. Berkeley, op. cit. : A Treatise concerning the Principlcs of Human Knowledge (1710), p. 332.

(2) A. Voss, op. cit. : Ueber das Wesen der Mathemalik, p. 47.

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT 237

de grandes difficultés en essayant de déterminer ce que sont les infiniment petits : à un moment donné, ils sont traités comme des nombres finis, à un autre moment, comme des zéros » (1).

Tout cela dépendait des difficultés de concevoir les infiniment petits tantôt comme des quantités finies et tantôt comme des quantités tendant à une limite, c'est-à-dire tantôt comme des quantités statiques et tantôt comme des quantités dynamiques.

L'excellence et 1' « économie » du symbolisme de Leibniz, qui réussissait à exprimer l'une et l'autre signification au moyen d'un même et unique symbole, constituèrent toutefois d'abord, précisément pour cela, une cause ultérieure d'accroissement de ces difficultés. Avec les algorithmes

de Leibniz dy et dx, en effet, le rapport — constitue déjà

par lui-même le symbole d'un passage à la limite, sans qu'il soit nécessaire d'indiquer ce passage à la limite par un symbole spécial en plus, comme le faisait Newton. En même temps, tant que dy et dx sont séparés, l'idée de passage à la limite demeure complètement suspendue ; dy et dx ne sont alors que de simples symboles de quantités algébriques ordinaires, statiques, c'est-à-dire petites, mais finies et arrêtées dans leur valeur, sur lesquelles il est permis d'exécuter toutes les opérations algébriques ordinaires. Dès que, au contraire, même un seul dy et un seul dx se présentent sous forme de rapport, alors ils se transforment, en même temps que tous les autres dy et dx de la même expression ou égalité algébrique qui ne se trouvent point en rapport, de quantités statiques en quantités dynamiques,

(1) Pn.-E.-B. Jourdain, op. cit. : The' Nature of Mathemalicsl p. 70.

desquelles et des rapports desquelles il s'agit de trouver la limite.

Ainsi, p. ex., de l'expression y — ax2, en substituant x + dx à x et y -f- dy à y, on déduit, au moyen de simples transformations algébriques ordinaires exécutées sur dy et sur dx comme quantités finies, l'autre expression :

dy .

-y- — 2ax -f- a X,(dx). Mais arrivés à ce point, les algorithmes

dy et dx, quoique inchangés dans leur aspect extérieur, changent de signification, en tant qu'ils représentent désormais des quantités qui tendent à s'approcher indéfiniment de zéro, et donnent alors comme limite de leur rapport la quantité 2ax.

Donc l'expression -— = 2ax n'est pas moins rigoureuse

dy > ' "

que l'autre — = 2ax + a X (dx), parce que les algorithmes

dy et dx ont dans Vune une signification différente de celle quils ont dans Vautre, tandis qu'elle cesserait d'être telle si, dans cette expression, ces algorithmes continuaient à représenter les quantités statiques d'auparavant.

C'est cette double signification si différente que, de cette manière, on attribue, à des moments divers, à un même et unique symbole, qui a constitué la plus grande difficulté pour la juste compréhension de la méthode de Leibniz ; difficulté qui consistait non seulement à voir clairement cette double signification du symbole, mais à voir l'une ou l'autre signification suivant le moment opportun, et jamais simultanément ; autrement cette double signification aurait été effectivement inconcevable, comme il serait impossible de concevoir un objet à la fois en repos et en mouvement.

C'est le relief exclusif ou prépondérant donné au caractère

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

statique qui a précisément fait naître tout d'abord tant de doutes sur la rigoureuse exactitude du procédé suivi. En effetj ceux qui maintenaient aux algorithmes dy et dxy même lorsqu'ils se trouvaient sous forme de rapport, le caractère statique qu'ils possédaient effectivement tandis qu'ils étaient soumis aux opérations algébriques ordinaires, — et Leibniz même leur donnait beau jeu lorsqu'il disait qu'il négligeait les infiniment petits en face des quantités finies « comme les grains de sable par rapport à la mer », — ceux-là, dis-je, ne voulaient attribuer à la méthode de Leibniz, en comparaison de celle de Newton qui distinguait par des algorithmes divers la phase statique de la phase dynamique, que la valeur d'un calcul approximatif, ou, tout au plus, celle d'un calcul « d'erreurs compensées » (1).

Les indivisibles de Cavalieri, au contraire, au lieu de mettre plus en évidence l'aspect statique des infiniment petits au détriment de l'aspect dynamique, sautaient à pieds joints le premier pour ne considérer que le terme déjà atteint par les infiniment petits eux-mêmes considérés sous leur aspect dynamique ; par là, ils rendaient inconcevables les opérations algébriques ordinaires à exécuter sur les infiniment petits eux-mêmes, lesquelles n'ont une signification que lorsque ces derniers sont considérés sous leur aspect statique, fini, antérieur à leur mouvement vers la limite.

Toutes ces difficultés ainsi rencontrées à sa naissance par le calcul infinitésimal et celles qui sont propres à tout passage à la limite par lui-même, impliquant la « vision » du résultat dont on s'approche indéfiniment par une série donnée d'opérations ou d'expériences de calcul algébrique

(1) Cf. A. Comte, Cours de philosophie positive (1830), 5e éd., t. 1er, Société Positiviste, Paris, 1892, p. 200-220 ; et encore : A. Voss, op. cit., p. 30-31.

2'iO

simplement pensées, nous expliquent les difficultés psychologiques spéciales qui s'opposent, aujourd'hui encore, à rendre accessible à un grand nombre cette phase ultérieure du raisonnement mathématique. Le raisonneur est forcé, en effet, de ne jamais perdre de vue la double et parfois multiple signification qu'a dans des temps divers tel ou tel symbole, bien que toujours le même dans son aspect extérieur ; ce qui exige, suivant le moment opportun, tantôt de tenir en suspens et tantôt d'exécuter des opérations données, ou bien de procéder tantôt à telles et telles opérations et tantôt au contraire à telles autres, sans que de la part du symbole qui demeure en attendant inchangé, il vienne jamais quelque indication à cet égard ; en même temps, le raisonneur doit pouvoir embrasser d'un seul regard, dans ce moment opportun, toute la complication et toute la multiplicité très grandes d'entières séries ou chaînes d'opérations, telles que celles qui sont précisément nécessaires pour effectuer un passage à la limite, toutes exprimées toujours par ce seul et unique et impassible symbole. Multiplicité et variété de significations dans des temps divers et multiplicité d'opérations à des moments donnés, le tout exprimé globalement par un seul et unique signe graphique, ce qui constitue précisément cette « condensation symbolique », exigeant de la part du raisonneur une continuelle et forte tension intellectuelle pour tenir présentes devant l'esprit, pour distinguer, tantôt exécuter et tantôt tenir en suspens, et puis suivre longuement, sans aucun appui d'autant de symboles distincts d'évocation et de fixation, toute une infinité d'opérations ou d'expériences à exécuter mentalement, chacune desquelles est peut-être par elle-même très simple, mais dont l'ensemble est tout ce qu'on peut imaginer de plus complexe.

Cela se produit d'autant plus que l'on procède davantage

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

dans le calcul infinitésimal, lorsqu'on passe, p. ex., des dérivées d'une fonction à une seule variable aux dérivées partielles d'une fonction à plusieurs variables, du calcul des dérivées au calcul des variations, du calcul différentiel au calcul intégral, des intégrales définies aux intégrales indéfinies, et ainsi de suite : La «condensation symbolique)), c'est-à-dire la quantité et la variété de choses exprimées par chacun des symboles relatifs, va de pair et continuellement en augmentant ; il suffit de penser, p. ex., combien d'opérations et que d'opérations diverses, simultanées et successives, représentent les symboles, non certes toutefois parmi les plus « condensés », d'une dérivée partielle de second ordre ou d'une intégrale indéfinie ! Par là, le soutien et le repos que l'esprit trouvait dans l'algèbre, par le fait que chacune des opérations d'un procédé quelconque de calcul était toujours représentée par son symbole spécial, vient au contraire à faire de plus en plus défaut par suite de cette croissante condensation symbolique ; et la tension mentale nécessaire pour suppléer à ce manque de points d'appui et de repos intermédiaires va en augmentant en conséquence.

Donc, les difficultés à la compréhension et à l'usage des mathématiques, éprouvées par un grand nombre, difficultés que nous avons déjà vues commencer à se manifester dans la phase du symbolisme direct et se présenter déjà comme notables dans celle du symbolisme indirect, augmentent ainsi encore davantage dans la phase que nous venons d'examiner de la condensation symbolique, par le fait qu'elle contribue, même de son côté, à rendre toujours moins immédiat le contact entre le symbole représentant et la réalite représentée, et toujours plus compliqué le rapport de leur correspondance ; et cela donc parce qu'elle vient concentrer et condenser dans chaque symbole une E, Pugnano. — Psychologie du Raisonnement. 16

réalité toujours plus ample et toujours plus complexe.

I >es diilicultés d'un autre genre, qui méritent elles aussi d'appeler notre attention, se présentent enfin dans la quatrième phase évolutive que nous nous sommes proposé d'examiner, celle de l'inversion symbolique, dont nous allons parler ici, autant que possible, encore plus brièvement que des phases précédentes.

Le raisonnement mathématique dans sa phase a" inversion symbolique.

Nous avons déjà vu, dans le chapitre précédent, que la géométrie analytique, en tant que système de traduction permettant de reconduire les questions de la géométrie à la solution d'équations algébriques, est venue constituer un système de « parallélisme » ou de correspondance entre expressions analytiques et lieux géométriques. Tout lieu géométrique, correspondant à une expression analytique donnée souvent même très compliquée, constituant ainsi une signification concrète de cette dernière, nous dirions presque une objectwation synthétique, venait ainsi représenter pour le raisonneur, perdu dans le fouillis de mille autres expressions algébriques semblables, comme un rayon de lumière et une base de repos, lui per- * mettant de reprendre ensuite avec plus d'entrain et une orientation plus sûre la série des transformations algébriques successives (1).

Mais évidemment cette correspondance entre expressions

(1) Cf., p. ex., A. Comte, op. cit. : Cours de philos, pos., t. I, p. 3.r>7- 358, et, pour les significations concrètes semblables offertes par la mécanique, p. 502, 581-584.

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

algébriques et lieux ou phénomènes géométriques ne peut pas toujours subsister. Les premières, en effet, en tant que relations purement quantitatives, sont d'ordre plus général que les expressions géométriques. On comprend bien, par conséquent, qu'il puisse y avoir des systèmes infinis de propriétés quantitatives, pour lesquels, soit pour le nombre des éléments, soit pour le genre des relations entre eux. toute correspondance géométrique, quelle qu'elle soit, vienne à manquer. P. ex., toutes les équations algébriques à plus de trois variables ne peuvent plus trouver, comme les équations à deux ou trois variables, aucune correspondance dans la géométrie analytique, dans laquelle il ne faut que deux ou trois coordonnées pour déterminer chaque point.

Reprenant la terminologie de Chasles, dont nous avons déjà eu à nous occuper, dans notre chapitre précédent, à propos des « points imaginaires », nous pouvons dire que la propriété des expressions analytiques de représenter des relations purement quantitatives est leur propriété permanente, tandis que celle de représenter quelques lieux géométriques est une de leurs propriétés contingentes, c'està-dire que, dans beaucoup de cas, elle peut venir à manquer.

Or, moyennant V inversion symbolique, le mathématicien a su précisément conserver les avantages les plus importants du système de « parallélisme » ou de correspondance réciproque entre la géométrie et l'algèbre, même lorsque cette propriété contingente des expressions algébriques ne subsistait plus. Cette inversion symbolique consiste en ce que le lieu ou objet ou phénomène géométrique, qui était symboliquement représenté par une expression algébriqué donnée, devient symbole, à son tour, d'autres expressions algébriques analytiquement analogues, mais non plus susceptibles de représenter aucun fait géométrique. En d'autres termes,

l'objet qui présente des propriétés indirectes déterminées d'ordre quantitatif fournies par sa représentation analytique, plus les propriétés directes correspondantes d'ordre géométrique, est pris comme symbole de tout système analytique que ce soit qui jouisse seulement des premières (1).

C'est ainsi, p. ex., que l'on peut obtenir des « géométries » à (pia Ire « dimensions » et plus, en introduisant dans les systèmes de quatre variables et plus des restrictions et des définitions analogues à celles valables pour la géométrie à trois dimensions ; mais elles ne cessent pas pour cela de u"ètre, évidemment, malgré leur forme géométrique, qu'autant de « chapitres de pure algèbre ». (Sauf le cas où à la considération de « lieux géométriques », en tant qu'ensembles de simples points, on substitue celle de « lieux géométriques » constitués par des ensembles de figures géométriques d'un certain type, telles que les courbes ou les surfaces d'un certain ordre ; dans lesquels cas, même des équations à plus de trois variables peuvent devenir susceptibles de représentations géométriques concrètes, bien que très compliquées) (2).

Le recours à cette inversion symbolique présente le grand avantage de permettre des tractations quantitatives d'ordre plus général, tout en leur servant également de guide très précieux, presque autant que l'est le parallélisme géométrique effectif dans les cas où il subsiste. Et ces tractations quantitatives d'ordre plus général, si grandement facilitées, contenant comme des cas particuliers les tractations à parallélisme géométrique effectif, conduisent de cette façon à découvrir des propriétés nouvelles ou même des propriétés anciennes de ces dernières, par une voie souvent plus courte.

(1) Cf. W. Wundt, op. cit. : Logik, I. Bd., p. 484.

(2) J. Taxnery, Science et philosophie, Alcan, Paris, 1912, chap. n : Le rôle du nombre dans les sciences, p. 22.

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

En face de cet avantage se trouve cependant, comme il est facile de l'imaginer, le danger de « mysticisme » auquel on s'expose si, perdant de vue dans la suite de la tractation la signification et les buts de cette inversion symbolique, on linit par attribuer une existence effective au symbole géométrique d'une expression algébrique donnée, pour laquelle au contraire aucune correspondance géométrique ne subsiste plus. Danger de mysticisme qui, comme on sait, s'est présenté particulièrement à propos de la tractation analytique des géométries non-euclidéennes.

On sait l'origine des géométries non-euclidéennes : des tentatives, qui n'ont pas réussi, de Saccheri et de beaucoup d'autres, d'arriver à démontrer par l'absurde le postulat des parallèles d'Euclide, on est arrivé, avec Gauss, Lobatschewski et Bolyai, à la construction d'une géométrie planimétrique nouvelle, qui, partant de la négation de ce postulat, aboutissait à des résultats naturellement tout à fait différents (1).

Jusqu'ici, aucune modification dans la nature du raisonnement en tant que série d'expériences géométriques simplement pensées, et aucune modification dans la conception fondamentale de notre espace n'étaient implicites dans ces constructions. Le fait de ne donner lieu à aucune contradiction logique (c'est-à-dire de ne conduire à la constatation mentale d'aucun fait géométrique incompatible avec d'autres déjà admis ou déjà constatés eux aussi mentalement), qui eut, à son époque, une très grande importance philosophique, parce qu'il lit ressortir la nature purement empirique du

(1) CI'., p. ex., R. Bonola, Sulla teoria delle parallele e sulle geometrie non-euclidee, dans op. cit. : Questioni riguardanti le matematiche elementari, réunies et coordonnées par F. Enriques, voi. i, p. 2/iS- 268; ri ; (ì. Fano, La geometria non-euclidea, dans : «Scientia», 1008, n. VIII-4, p. 257-265.

postulatimi d'Euclide, et, par ricochet, de tous les postulats e1 axiomes en général, nous apparaît aujourd'hui bien uà! urei, vu que l'impossibilité de démontrer ce postulat signifiait précisément qu'il n'est point la conséquence nécessaire des postulats précédents, comme, pour la même raison, il nous paraîtrait bien naturel, p. ex., qu'une mécanique céleste partant d'une hypothèse différente de celle de Newton ne conduisît à aucune contradiction logique. Avec cette différence pourtant ; que, quant à la non-correspondance d'une hypothèse non newtonienne avec les faits de la réalité, on ne peut s'en apercevoir que par les résultats qui dérivent de cette hypothèse ; tandis que, pour l'hypot hèse de Lobatschewski, si on ne la prend pas très rapprochée de celle d'Euclide, il n'est pas nécessaire, pour s'apercevoir qu'elle n'est pas conforme à la vérité, d'attendre de vérifier (me le résultat auquel elle conduit, résultat relatif à la somme des angles d'un triangle, ne concorde pas avec les résultats obtenus par la mensuration directe de ces angles, mais il suffit de la constatation directe, oculaire ou oculairetactile, de l'hypothèse même.

Que l'hypothèse de Lobatschewski ne soit ensuite pas même susceptible, si elle est très rapprochée de celle d'Euclide, de rejet empirique, cela non plus ne doit pas nous surprendre, parce qu'une hypothèse quelconque vérifiée par les faits (et aucune ne l'est à un degré d'approximation aussi élevé que l'hypothèse d'Euclide) peut toujours être remplacée par une infinité d'autres diverses, assez rapprochées de celle-là pour satisfaire également à la même vérification empirique, laquelle ne peut être que plus ou moins rapprochée (1).

(1) Cf., p. ex., F. Enriques, op. cit. : Problemi della scienza, p, 290 et suiv. ; et : A. Voss, op. cit. : Ueber das Wesen d. Math., p. 92-94.

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT 247

Avec la démonstration de Beltrami, que la géométrie planimétrique de Lobatschewski n'est pas autre chose, en substance, que la géométrie euclidéenne de la pseudosphère, pourvu que par « droites du plan » on entende les géodésiques de cette surface, la chose change complètement d'aspect : la géométrie de Lobatschewski, considérée jusqu'alors comme une géométrie du plan, excluant par ellemême celle d'Euclide, et non en contradiction avec les données de l'expérience dans le cas seulement où elle est très proche de cette dernière, devient par là une simple branche de la géométrie euclidéenne relative à une surface' donnée et dont les théorèmes cessent alors complètement de nous sembler étranges. Le concept de « plan », c?est-adire d'une surface à courbure constante et nulle, est ainsi étendu de manière à y comprendre aussi les surfaces également à courbure constante, mais diverse de zéro et uégative, telle que l'est celle de la pseudosphère. Ce qui conduit ensuite à y comprendre aussi, avec Riemann, les surfaces à courbure constante et positive, c'est-à-dire les surfaees sphériques, lesquelles, toujours en faisant attention que par droites du plan » on doit maintenant entendre les géodésiques de la surface, viennent ainsi constituer ¥ interprétation concrète d'une seconde; « planimétrie » noneuclidéenne, dans laquelle n'existent pas du tout des droites parallèles (c'est-à-dire que deux droites contenues dans l(> même plan se rencontrent toujours) et dans laquelle le postulatimi même de Y unicité de la droite présente des exceptions, dans le sens que deux droites ayant deux points ru commun peuvent, par suite de certaines positions particulières de ces points, ne pas coïncider et renfermer au contraire entre elles un certain espace (ainsi qu'il arrive justement pour les grands cercles passant par les deux extrémités d'un diamètre de la sphère). <t Planimétries »

d'Euclide, de Lobatschewski et de Riemann, qui n'impliquent donc pas, nous le répétons, trois « systèmes » différents de géométrie, mais seulement trois branches différentes de la géométrie ordinaire (1).

On peut donc dire que, avec Lobatschewski, ont commencé les méthodes logiques d'isolation, consistant à séparer et à rejeter tantôt l'un et tantôt l'autre des axiomes et postulats, indépendants entre eux, de la géométrie ordinaire, donnant ainsi lieu à autant de systèmes géométriques abstraits, divers du système ordinaire, tandis qu'avec Bertrand les méthodes de substitution, nous ne dirons pas commencent, mais ont une impulsion nouvelle et féconde, méthodes dans lesquelles, en interprétant ou en traduisant des termes géométriques donnés avec autant d'objets correspondants, différents de ceux que l'on entend communément, mais pour lesquels demeurent formellement valides les raisonnements faits pour ces derniers, on passe directement de la géométrie de figures données à la géométrie d'autres figures. Méthodes logiques d'isolation et de substitution qui, comme on sait, ont beaucoup enrichi dans ces derniers temps les sciences mathématiques (2).

Tout cela peut être obtenu sans aucune tractation proprement analytique de la question, mais seulement au moyen d'opérations ou d'expériences géométriques, bien nettement imaginées, soit qu'on attribue à ces dernières, supposées exécutées sur le plan, des résultats admis délibérément, par hypothèse, différents des résultats fournis par l'observation directe, soit que l'on constate dans la suite que ces résultats ainsi admis sont vraiment empiriquement exacts,

(1) Cf. H. Berkeley, op. cit. : Mijsticism in modem Mathentatics, p. 208-209.

(2) Cf., p. ex., W. Wundt, op. cit. : Logik, I, 494 ; et : R. Bonola, essai déjà cité : Sulla teoria delle parallele, eie, p. 274-280.

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

pourvu qu'ils soient interprétés comme se rapportant à d'autres surfaces déterminées diverses du plan. Et le résultat final de tout cela est de nous placer en face de trois espèces de surfaces, toutes à courbure constante, — respectivement nulle, positive et négative, — présentant quelques propriétés fondamentales bien différentes entre elles (postulat des parallèles, valable pour le plan, mais non pour la pseudosphère ni pour la sphère ; postulat de l'unicité de la droite valable pour le plan et pour la pseudo-sphère, mais non, en certains cas, pour la sphère), et d'autres propriétés non moins fondamentales en commun, consistant dans la « planarité élémentaire » et dans la « congruence » (c'est-àdire, dans le fait de pouvoir considérer chacune de leurs portions infiniment petites comme plane, et dans la libre transportabilité sur elles de quelque figure que ce soit, au maximum par de simples flexions sans extensions) (1).

Voulant traduire analytiquement ces propriétés fondamentales communes, il suffira de 'considérer trois surfaces quelconques appartenant respectivement aux trois espèces susdites et de prendre sur chacune d'elles un même système quelconque de deux coordonnées ; alors l'expression analyti(jiie de la première propriété que toutes les trois ont en commun consistera à égaler le carré de la distance entre un point quelconque de la surface et un autre quelconque infiniment proche de ce dernier à une certaine expression différentielle homogène de second degré des coordonnées du premier point, tandis que celle de la seconde propriété,

(1) Cf., p. ex., W.-K. Clifford, The Philosopha of the pure Sciences, lecture III : The Postulâtes of the Science of Space, dans : Lectures and Essays, vol. I, Macmillan, London, 1901, p. 369-381 ; et : H. von [Ielmholtz, Ueber den Ursprung und die Bedeutung (1er geometrischen Axiome, dans : op. cit. : Vortrâge und Reden, zw. Bd., p. 10-11, 14-15.

également commune, nous sera donnée par le fait de poser comme constante, c'est-à-dire comme indépendante des coordonnées variables du point considéré, une certaine expression algébrique, qui se trouve ensuite correspondre précisément à la mesure de la courbure de la surface respective.

11 est clair pourtant que l'ensemble de ces deux relations analytiques ne suffît, à cause de sa généralité même trop grande, pour définir ni l'une ni l'autre de ces trois surfaces en particulier, et que, pour qu'un système analytique semblable soit susceptible d'une interprétation géométrique sur l'une d'elles, p. ex., sur le plan, il faut la réalisation de quelque autre condition analytique en plus, celle précisément qui exprime que la courbure, outre qu'elle est constante, est aussi nulle.

Si maintenant, par analogie analytique, de cette tractation à deux variables seulement nous désirons passer à la tractation à trois variables, on comprend que la possibilité d'une tractation analytique semblable n'implique nullement que les trois systèmes correspondants de relations analytiques que l'on obtiendra ainsi soient susceptibles, l'un aussi bien que les autres, d'interprétation géométrique.

Or, comme on sait, Riemann a fait encore davantage : partant du concept très général de « multiplicités » continues (stetige Mannigfaltigkeiten) n fois « étendues », il se borne ensuite à celles pour lesquelles il établit des relations analytiques correspondant à celles de la planarité élémentaire et de la congruence, qui comptent pour les surfaces susdites, et il en déduit ensuite, même pour les multiplicités continues à trois dimensions, la possibilité d'une « courbure » constante diverse de zéro (1).

Mais évidemment, la notion générale de multiplicité n

(1) B. Riemann, Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grundeliegen, dans : Bernhard Riemanns's Gesammelte Mathematischr Werke, zw. Aufl., Teubner, Leipzig, 1892, Abhandlung XIII, p. 272-287.

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

fois ou même seulement trois fois étendue, qu'il assujettit à l'analyse mathématique, n'est qu'une conception purement algébrique, qui n'implique rien d'autre en dehors de simples notions quantitatives, beaucoup plus générales que celles qui auraient pu lui fournir les relations d'espace proprement dites.

Les dénominations de « point », « lieu », « dimension », < ligne » et « longueur de ligne », « planarité élémentaire » (Ebenheit in den kleinsten Teilen), « courbure », et autres semblables, relatives à une multiplicité n fois étendue, n'indiquent que de pures expressions analytiques ; si elles représentent une inversion symbolique très heureuse, qui lui a admirablement servi d'orientation et de guide dans sa tractation de calcul pur et simple (appliquée à analyser et à séparer quelques-uns parmi les divers axiomes et postulats de la géométrie), elles ne doivent pas cependant nous faire illusion : la question de savoir si tous les trois cas analytiques à trois variables qui sont ainsi possibles, correspondant aux cas à deux variables qui trouvent une interprétation géométrique dans les trois surfaces susdites à courbure constante, sont susceptibles d'une interprétation géométrique, ou si aucun des trois ne l'est, ou si quelquesun^ seulement des trois le sont, cette question, dis-je, demeure toujours ouverte, même après ces dénominations » on\ en! formelles ; aucune considération analytique ne peut la résoudre, mais seulement la comparaison de ces expressions avec la représentation que, sur la base de notre expérience géométrique quotidienne, nous nous faisons de l'espace. Cette comparaison, comme on sait, nous dit qu'un seul de ces trois cas analytiques, le cas à «courbure» zéro, est susceptible de cette interprétation géométrique (1).

(1) Cf. W. Wundt, op. cit. : Logik, I, dritte? Abschnitt, Drittes Kapitel, 2 b : Der Mathemaiische Raumb e griffe, p. 480-494, en particulier p. 481, 483, 486.

Le recours aux fameux animalcules à deux dimensions de Clifford et de Helmholtz, qui, tout en vivant sur des, surfaces ou sur des portions limitées de surfaces à courbure j constante, ne pourraient jamais arriver à soupçonner l'existence ni à se faire une idée de cette courbure de leur espace, ; bien qu'elle subsiste effectivement, n'a fait qu'obscurcir] la question (1).

Il s'agissait, en effet de savoir si des expressions analytiques données, auxquelles on avait donné conventionnellement, par inversion symbolique, des dénominations géomé-» triques, étaient oui ou non susceptibles de quelque interprétation géométrique effective. Or, le recours à ces animalcules à deux dimensions ne répond pas à cette question ;] il y répond d'autant moins affirmativement que, bien au'j contraire, Helmholtz lui-même « pour éviter des malatendus » se hâte de relever « que cette mesure ainsi dite de la courbure^ de l'espace est une grandeur algébrique trouvée par voie analytique, et que son introduction ne se base nullement! sur la présupposition de circonstances qui auraient unesignification seulement pour l'intuition sensible » (2).

Le recours à ces animalcules a, au contraire, pour but de" nous prédisposer, même au moyen de considérations pure-] ment géométriques, à admettre comme non impossible l'existence éventuelle d' « un quelque chose » de géométrique? qu'aucun fait géométrique certes ne nous autorise nullement] à soupçonner et dont nous ne pouvons pas même nous] faire, il est vrai, la moindre idée, mais dont la possibilité! nous serait au contraire démontrée au moyen de puresj

(1) Cf. W. K. Clifford, The common Sensé of the exact Sciences, Kegan Paul, Trench, Trubner & Co., London, 1907, cap. iv, § 19 H On the Bending of Space, p. 214-226 ; et : von Helmholtz, essai déjà cité : Ueber den Urspr. u. die Bedeut. d. geom. Axiome, p. 8 et suiv.

(2) Helmholtz, ibid., p. 18.

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

îonsidérations analytiques, et cela pour l'exaltation de a puissance du calcul même, qui se montrerait ainsi capable nême de résultats « transcendantaux », de véritables « extraditions empiriques ».

Or, toute cette « transcendantalité » ne consiste, comme 10 us l'avons vu, que dans la dénomination conventionnelle )ure et simple par des termes géométriques d'expressions jurement analytiques ; d'un autre côté, quiconque voudra courra certes croire à l'existence ou à la possibilité d'exis- :ence de « noumènes » semblables, — qu'il s'agisse de cette jourbure de l'espace ou des espaces à quatre dimensions ît plus, — dont aucun phénomène ni aucune combinaison le phénomènes ne peut nous donner la moindre idée, tout icte de mysticisme consistant précisément à admettre l'existence de quelque chose de mystérieux qui n'est susceptible ni de tomber sous aucun de nos sens ni d'être imaginé au moyen d'éléments sensibles combinés entre eux de quelque façon que ce soit. Mais c'est une illusion de croire, îomme le fait Clifford, que de telles hypothèses extraempiriques ou transcendantales pourraient constituer éventuellement un principe d'explication pour certains phénomènes, qu'ils soient géométriques ou physiques, vu que toute i explication », quelle qu'elle soit, d'un phénomène ne consiste que dans sa classification dans quelque catégorie de phénomènes déjà connus et qui nous sont plus familiers, ou dans sa production, au moyen d'une série d'opérations ou d'expériences simplement pensées, par d'autres phénomènes, effectivement constatés ou hypothétiques, mais cependant toujours « sensibles ».

Quant à l'interprétation projective que, grâce à la nouvelle conception de Cayley et de Klein, il a été possible de donner ensuite à ces « espaces » non-euclidéens, elle représente évidemment tout autre chose et fait partie des méthodes

<lti substitution mentionnées plus haut, qui se sont montrées si fécondes dans le champ du raisonnement géométrique.

C'est pourquoi nous pouvons conclure en disant que l'application de l'inversion symbolique aux questions non-euelidéennes en a démontré à la fois toute la grande fécondité et tout le caractère dangereux qu'elle présente.

Après avoir ainsi passé en revue, dans la première partie, publiée dans le chapitre précédent, et dans la présente deuxième partie, les quatres phases de l'évolution du raisonnement mathématique, — du symbolisme direct et indirect et de la condensation et inversion symbolique, — qui, pour notre but, nous ont paru les plus importantes, il nous reste maintenant à résumer notre pensée et à tirer nos conclusions sur les mathématiques en général, tandis que l'évaluation de l'importance que le symbolisme a eue dans ces dernières nous poussera, comme nous l'avons déjà dit, à faire quelques comparaisons entre les mathématiques et la logique mathématique, qui a tenté aussi de recourir à un système analogue de représentation symbolique. C'est ce que nous ferons dans une troisième et dernière partie de cette étude sur les formes supérieures du raisonnement.