CHAPITRE Vili

LES FORMES SUPERIEURES DU RAISONNEMENT

IIe PARTIE : LE RAISONNEMENT MATHEMATIQUE DANS SES PHASES DE CONDENSATION ET D'iNVERSION SYMBOLIQUE

Après avoir passé en revue, dans le chapitre précédent, les deux premières phases de l'évolution des mathématiques que nous avons appelées du symbolisme direct et indirect , nous nous proposons, dans ce chapitre, de faire une esquisse très rapide des deux autres phases que nous avons jugé nécessaire encore d'examiner; après quoi, dans le chapitre suivant, un résumé rapide de tout ce que nous aurons ainsi dit touchant le raisonnement mathématique et la fonction que le symbolisme a eue dans ce raisonnement, nous permettra, à titre de conclusion, quelques comparaisons entre les mathématiques et la logique mathématique •

Le raisonnement mathématique dans sa phase de condensation symbolique.

C'est dans le calcul infinitésimal que prend naissance et se développe, avant que l'usage s'en généralise même

dans tous les autres champs des mathématiques, cette phase particulière du symbolisme de ces dernières, que, à défaut d'un terme plus propre, nous pourrons appeler de « condensation », dans le sens qu'à une expression algorithmique donnée ne correspond plus une opération unique, soit môme dans sa généralité comprenant un nombre infini d'opérations particulières semblables, mais beaucoup d'opérations diverses entre elles, simultanées ou successives, toutes représentées « d'une manière condensée » dans ce symbole unique.

C'est donc dans ce champ qu'il convient d'étudier, toujours à notre seul point de vue purement psychologique, cette phase nouvelle de l'évolution symbolique, pour examiner les conséquences et les répercussions qu'elle a eues sur le procédé mental du raisonnement relatif ; dans ce but, quelques traits seulement seront, nous l'espérons, plus que suffisants.

Remarquons, avant tout, que l'opération mathématique de « passage à la limite » n'altère en rien la nature fondamentale du raisonnement comme série d'opérations ou d'expériences simplement pensées.

On sait en effet de quelle façon l'on introduit en mathématique la notion de limite, p. ex., celle d'une limite finie : prenant à volonté un nombre arbitrairement petit, si, par l'approche indéfinie de la variable d'une quantité donnée, la différence entre une autre quantité donnée et la fonction que l'on considère de cette variable finit par devenir et par rester ensuite constamment inférieure en valeur absolue au nombre choisi petit à volonté, on dira que cette seconde quantité de laquelle la fonction s'approche continuellement est la limite des valeurs de cette dernière.

Or, ce nombre « pris à volonté » et « arbitrairement » petit implique la répétition de très nombreuses expériences de calcul dans lesquelles, prenant d'abord un nombre pei il

FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

donné, on en prend ensuite un autre plus petit, puis un troisième encore plus petit, et ainsi de suite, vérifiant chaque fois que, pour chacune de ces valeurs, il existe une valeur de la variable suffisamment proche de la quantité de laquelle elle s'approche indéfiniment, telle que résultent satisfaites, les conditions susdites, nécessaires et suffisantes pour pouvoir dire que la fonction de la variable tend à telle et telle limite donnée. Ce sont là des expériences de calcul qu'un commençant sera forcé d'exécuter effectivement, avant d'arriver à se convaincre de cette tendance à la limite, et que les maîtres les plus distingués du calcul infinitésimal, comme se le rappelle celui qui écrit, exécutent effectivement, dans le but de rendre bien tangible à leurs propres auditeurs cette tendance d'une quantité à |me limite.

Que l'on puisse ensuite acquérir ce sentiment de certitude de la tendance d'une quantité vers une limite donnée, tout en nous bornant à exécuter, effectivement ou mentalement seulement, un petit nombre à peine d'expériences de calcul, c'est là un phénomène psychologique tout à fait semblable à celui de l'acquisition du même sentiment de certitude de la généralité absolue d'une démonstration géométrique donnée, exécutée, p. ex., sur un triangle particulier, tout en répétant mentalement la démonstration même sur un très petit nombre d'autres triangles, différents de forme de celui qui est dessiné sur la feuille.

Que l'on puisse enfin, une fois qu'on aura ainsi reconnu la tendance d'une quantité donnée vers une limite donnée, imaginer cette dernière comme déjà atteinte par la quantité même et la prendre simplement à la place de celle-ci, cela repose sur le fait psychologique général, propre à tout raisonnement quel qu'il soit, que le fait de voir par Vimagination la possibilité d'exécuter des opérations ou des expériences données porte naturellement à les imaginer comme déjà exécu-

tées. Cela a lieu parce que, en substance, une chose est identique à L'autre. Ainsi le fait de reconnaître, comme je l'ai l'ait, dans l'exemple plusieurs fois rappelé dans les chapitres précédents, la possibilité d'aligner, l'un après l'autre, suivant le nombre croissant de leurs cheveux, tous les habitants de Londres, me fit imaginer, à l'instant même, que j'avais déjà exécuté tous ces actes très nombreux d'alignement. Cet acte mental ne fut pas autre chose, psychologiquement parlant, qu'un véritable passage à la limite.

Or, comme on sait, la conception fondamentale du calcul différentiel consiste précisément à se servir d'opportuns passages à la limite de rapports entre quantités petites, qui sont supposées tendre à diminuer toujours davantage, dans le but d'arriver à obtenir des relations quantitatives plus simples que celles qui subsistent entre les quantités finies d'où l'on part ; ce qui permet, vice versa, une fois ainsi découvertes ces dépendances entre certaines relations quantitatives plus simples et d'autres plus complexes, de remonter dans beaucoup de cas; par un procédé inverse constitué par le calcul intégral, de relations quantitatives plus simples, éventuellement découvertes ou plus faciles à découvrir entre des phénomènes donnés, à des relations plus complexes entre ces mêmes phénomènes ou entre d'autres phénomènes quantitativement rattachés en quelque manière à ces derniers.

Les relations quantitatives que l'on obtient par ces passages à la limite, — ou relations « différentielles », — sont, pour la plupart, plus simples que celles qui existent entre les quantités finies, parce qu'elles viennent regarder des éléments quantitatifs dont les effets s'accumulent ensuite et se développent, les rendant ainsi plus complexes, dans les quantités finies elles-mêmes.

Ainsi un corps pesant, p. ex., partant avec une vitesse