CHAPITRE IX

LES FORMES SUPÉRIEURES DU RAISONNEMENT

IIIe PARTIE : MATHÉMATIQUES ET LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Le court espace que nous nous sommes imposé pour cette étude sur les formes supérieures du raisonnement, représentées par le raisonnement mathématique, nous a forcé de nous borner seulement aux quatre phases spéciales de ce dernier, passées en revue dans les deux chapitres précédents. Si nous avons précisément choisi ces quatre phases de préférence à d'autres, c'est parce que, suivant notre point de vue, elles nous ont paru les plus importantes de toutes. La première de ces phases, en effet, celle du symbolisme direct, nous a paru la plus propre à mettre en évidence que le passage du comptage matériel primitif au calcul arithmétique et puis au calcul algébrique n'a changé en rien la nature des opérations ou expériences du comptage matériel primitif même, lesquelles, dans Lé (•aïeul arithmétique, sont simplement pensées, et, dans le calcul algébrique, pensées réunies en groupes, au lieu d'être effectivement exécutées. En même temps, l'examen

même très rapide, que nous avons fait des trois autres nous a paru nécessaire pour montrer que cette nature du raisonnement mathématique, en tant que combinaison mentale d'opérations ou expériences matériellement tangibles, demeure même dans les cas où, peut-être plus que dans d'autres, elle semble au contraire être contredite par certains résultats n'ayant à première vue plus rien de « réel », ou s'évanouir derrière une condensation symbolique très prononcée qui ne met plus en évidence une à une les opérations particulières à . effectuer, ou donner lieu au paradoxe de conduire apparemment à des extrapolations empiriques que cette nature même rend complètement inadmissibles.

C'est pourquoi nous pouvons maintenant résumer nos conclusions, que les deux chapitres précédents nous autorisent à formuler sur les mathématiques en général et sur la fonction que le symbolisme a eue dans ces dernières. Après quoi, nous passerons à la comparaison et à l'évaluation respective entre les mathématiques mêmes et l'autre nouvelle grande branche du raisonnement supérieur constituée précisément par la logique mathématique.

Les mathématiques : résumé et conclusion.

La première question qui se présente à propos des mathématiques est celle d'expliquer, étant donné que la nature du raisonnement en tant que séries d'opérations ou d'expériences simplement pensées reste, comme nous l'avons vu, sans changements dans tout procédé de calcul quel qu'il soit, comment il se fait que l'on trouve alors dans le raisonnement mathématique des difficultés spéciales et bien plus considérables que dans le raisonnement commun. Or, d'après

tout ce que nous avons vu, cela dépend précisément des perfectionnements mêmes qui ont fait du premier un instrument logique si puissant.

Le premier de ces perfectionnements, qui contribuent à rendre difficile pour le plus grand nombre le raisonnement mathématique, c'est la grande abstraction des concepts. Elle est cause, en effet, qu'il faut imaginer qu'on exécute toutes les opérations ou expériences sur des matériaux d'un degré de généralité tel qu'ils semblent presque se vider de tout contenu susceptible d'être saisi par l'intuition. Elle rend donc difficile pour beaucoup de gens de « voir », au moment nécessaire, derrière toute opération d'ordre si général, toutes les opérations infinies ou seulement les opérations particulières qui ont ou peuvent avoir à ce moment pour le raisonneur une importance spéciale ; elle enlève ainsi à la plupart, par suite de l'absence de la vision de la signification réelle des opérations mêmes, tout intérêt au procédé du raisonnement, lequel intérêt est au contraire ce qui maintient uniquement le « fil logique » de ce dernier.

Mais la grande abstraction des concepts ne suffit pas à elle seule à expliquer le fait que beaucoup de personnes sont si réfractaires aux mathématiques ; cela est si vrai que, parmi les plus réfractaires à ces dernières, on compte souvent même des philosophes consommés, capables des plus grandes abstractions.

L'énorme développement du symbolisme, entièrement propre aux mathématiques, y a donc aussi certainement une très grande part. Le symbolisme, en effet, usurpe désormais presque complètement, dans le raisonnement mathématique, la place du langage ordinaire, si bien que l'esprit ne peul plus se reposer que très rarement sur des faits ou des résultats exprimés en termes qui lui soient plus familiers. Ensuite, avec les phases du symbolisme indirect, de la condensation E. Kignano. — Psychologie du Raisonnement. 17

symbolique, de l'inversion symbolique, comme nous l'avons déjà vu, et a¥ec d'autres dans une plus grande mesure encore, le symbole représentatif s'éloigne toujours davantage de ta réalité représentée et le rapport de leur correspondance devient toujours plus compliqué et toujours moins facile à saisir, si bien que cela exige, chaque fois que le besoin s'en présente, une grande tension mentale, dont peu de gens sont capables, pour voir derrière un symbole donné tout ce qu'il représente et seulement ce qu'il représente.

Enfin, la prolongation et la complication du raisonnement, rendues possibles par la puissance déductive même du calcul mathématique, produisent, la première, une grande fatigue qui rend souvent impossible de suivre jusqu'au bout le développement du procédé, et, la seconde, une espèce de désorientation au milieu de ce fouillis de formules qui expriment l'enchaînement et l'enchevêtrement, à un même moment, d'autant d'opérations ou d'expériences quantitatives très nombreuses, simplement pensées. La géométrie analytique, comme nous l'avons déjà vu, ainsi que la mécanique et la physique mathématique en général, contribuent efficacement, par les significations concrètes ou objectwalions synthétiques qu'elles permettent d'expressions données et de développements analytiques donnés, à diminuer dans beaucoup de cas ces difficultés provenant de la prolongation et de la complication du calcul ; nous avons vu aussi l'inversion symbolique viser, avec de bons résultats, au même but, malgré ses dangers ; mais ces difficultés ne cessent pas pour cela de demeurer, pour la plupart, à un degré très élevé. Qu'il nous suffise de rappeler ici que Poincaré, se demandant lui aussi, vu que le raisonnement mathématique repose sur les mêmes principes que le raisonnement commun, comment il se fait pourtant qu'il y ali tant de personnes qui lui sont réfractaires, attribue ce fait

à l'absence chez beaucoup de gens de ce « sentiment de l'ordre mathématique)), qui permet précisément de saisir d'un simple coup d'œil la marche générale de certains procédés de calcul, même très longs et très compliqués, et de placer conséquemment, avec facilité, à la place qui leur est due, dans ce tableau ainsi entrevu du procédé tout entier, les divers éléments algébriques qui doivent concourir à le produire (1).

Ces difficultés psychologiques spéciales du raisonnement mathématique n'en changent point du tout cependant, nous le répétons encore, la nature essentielle, qui reste la même que dans tout le raisonnement en général. Il s'ensuit, à cause précisément de cette nature n'ayant substantiellement subi aucun changement, que le raisonnement mathématique lui aussi conserve toutes les propriétés et toutes les caractéristiques fondamentales du raisonnement en général.

Ainsi, p. ex., bien que ce soit une déduction pure et simple d'une série on peut dire infinie de résultats de peu ou de très peu de prémisses, il est cependant bien loin d'être une vide tautologie, parce que, comme tout le raisonnement en général, il constitue une histoire pensée d'opérations ou d'expériences quantitatives, combinées et enchaînées entre elles des façons les plus variées, laquelle produit des faits, des situations nouvelles, dont nous « constatons » précisément les résultats dans les conclusions de notre raisonnements

Les situations quantitatives nouvelles, auxquelles donne lieu toute opération ou expérience de calcul, quelle qu'elle soit, ne sont nullement implicites dans les prémisses d'où

(1) H. Poincaré, L'invention mathématique, dans la « Revue (1m Mois », 10 juillet 1908, }>. 9-1 2, 18-10 ; et aussi dans : Science cl méthode, Flammarion, Paris, 1008, livre, 1, chap. ni, p. 44 et suiv. ; voir encore : L'avenir des mathématiques, dans « Scientia », 1008, VIII-3, p. 5.

part le calcul même, de même que — pour rappeler l'exemple déjà cité dans l'un de nos chapitres précédents — ni la prémisse de l'allongement des barres métalliques sous l'action de la chaleur ni l'autre prémisse de la plus grande lenteur d'oscillation d'un pendule plus long en comparaison d'un autre plus court ne contenaient nullement comme implicite V opération ou expérience consistant à transporter une pendule donnée d'une pièce froide dans une autre plus chaude. Ce transport a donné lieu à une succession historique nouvelle a" événements, librement créée par mon imagination, au terme de laquelle j'ai pu « constater » mentalement que la pendule oscillant maintenant plus lentement dans la pièce plus chaude était toutefois la même qui oscillait plus rapidement dans la pièce plus froide. C'est là, nous le répétons, la constatation d'un fait nouveau, qui n'était nullement implicite dans les prémisses seules, car, pour* le produire, il fallait V opération matérielle d'un transport, exécutée mentalement, à laquelle les prémisses mêmes ne faisaient nullement allusion.

D'une façon entièrement analogue, les prémisses d'où part le calcul mathématique ne contiennent pas du tout implicitement les opérations de calcul, que notre imagination reste au contraire tout à fait libre d' imaginer à son gré ; et ces .« successions historiques » ainsi librement imaginées d'opérations ou d'expériences quantitatives combinées entre elles des façons les plus variées, conduisent, même dans ce cas, à des faits quantitatifs nouveaux, pour la production desquels il faut d'abord créer précisément par l'imagination cette succession d'événements. On dira peut-être, — écrit à ce propos Milhaud, — que le mathématicien ne fait «que tirer des données initiales tout ce qu'elles contenaient implicitement ? Ce ne saurait être là qu'une manière de parler. Qui ne sent toute l'activité, toute l'ingéniosité,