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toute la puissance de création nécessaire pour faire sortir des idées premières tout ce qui y était caché, ou, plus exactement, pour réaliser sur elles, prises comme bases, les plus riches constructions ? » — - « Qui ne sent que la mathématique réalise ce miracle d'assurer le' plus clair de son succès moins encore par une soumission docile à la réalité qui s'offre à nous que par la spontanéité des élans de notre esprit, par la richesse et la puissance de son activité créatrice ? » (1).

De là, toute la spontanéité et toute l'irrégularité de l'évolution des mathématiques, propres à tout procédé combinatoire, quel qu'il soit, dû à l'imagination (2).

Il n'est donc nullement nécessaire de recourir, comme le fait Poincaré — pour comprendre que le raisonnement mathématique n'est pas une tautologie - — ■ à ce que l'on appelle « le principe d'induction complète » ou « raisonnenement par récurrence », lequel n'est, en substance, qu'un procédé de généralisation ' de démonstration comme un autre quelconque (semblable, p. ex., à celui qui mène, en géométrie, à généraliser pour tous les triangles infinis la démonstration faite sur un triangle particulier) et basé, comme un autre procédé quelconque de généralisation, sur un passage ordinaire à la limite, dans le sens que l'on suppose effectué un nombre aussi grand que l'on voudra d'opérations données (3).

De même, cette capacité d'exécuter par l'imagination des successions et des combinaisons infinies d'opérations ou

(1) C. Milhaud, essai oilé : La pensée mathématique, son rôle ilans l'histoire des idées, dans op. cit. : Nouvelles études sur [l'histoire de la pensée scientifique, p. 22-23, 24-25.

(2) Cf. L. Brunschvicg, op. cit. : Les étapes de la philosophie mathématique, p. 9.

(3) Cf. II. Poincaré, Sur là nature du raisonnement mathématique, dans : La science et l'hypothèse, Flammarion, Paris (sans dato), lere Partie, chap. I, p. 9-28.

d'expériences quantitatives nouvelles^ dont on connaît déjà à l'avance les résultats, laquelle est possédée par le calcul mathématique à un degré bien supérieur par rapport à toutes les autres formes de raisonnement, ne lui vient d'aucune diversité substantielle par rapport à ces dernières, mais de la propriété qui, nous l'avons déjà vu, est commune à tout le raisonnement en général, c'est-à-dire de l'accroissement de la capacité de déduction avec l'accroissement du degré d'abstraction.

C'est parce que le concept d' « unité » d'où part et sur lequel se fonde en définitive tout le calcul mathématique représente l'objet le plus schématisé qu'il est possible, — en tant que tout attribut particulier, quel qu'il soit, lui est enlevé, excepté celui de la « pluralité », — • en il'autres termes, c'est parce que la mathématique est la science de l'abstraction la plus haute, qu'elle a pu pousser au plus haut degré le nombre, la variété et la complication des combinaisons d'opérations ou d'expériences, que l'on imagine exécutées sur cet objet « unité » ainsi schématisé.

Elle est aussi aidée en cela par le continuel procédé ultérieur de généralisation relatif aux diverses opérations quantitatives et à leurs combinaisons ou manières de combinaison, lesquelles, à mesure que des groupes déterminés d'entre elles se montraient équivalents par rapport à des résultats donnés, formels ou substantiels, donnaient lieu à la formation d'autant de nouveaux concepts correspondants plus larges, qui augmententaient ainsi toujours davantage, même de leur côté, la possibilité et la capacité de déduction de combinaisons quantitatives ultérieures (1 .

De là, même dans l'évolution des mathématiques, — comme, du reste, dans l'évolution de toutes les sciences

(1) Cf. G. Miliiaud, Essai cit. : La pensée math, etc., p. 24.

qui se basent en grande partie sur le raisonnement, — - l'oscillation continuelle entre les deux formes opposées d'activité de la pensée, entre la tendance synthétique d'une part et la tendance analytique d'autre part, c'est-à-dire tantôt vers la découverte et la formation de concepts nouveaux et tantôt dans le sens de tirer et de développer de ceux qui sont désormais ainsi acquis le plus grand nombre possible » de déductions (1).

C'est enfin grâce à ce même concept extrêmement abstrait d' « unité », susceptible de représenter indifféremment toutes les unités de mesure spéciales, que le calcul a pu en venir à constituer, pour toutes les sciences physiques, — en commençant par la géométrie, grâce à la représentation au moyen de coordonnées, — un système grandiose de « traduction » dans une même et unique langue de tous les rapports quantitatifs indistinctement qui ont lieu entre leurs phénomènes (2).

Ainsi, on peut définir la mathématique en disant que c'est la science dans laquelle les expériences simplement pensées, constituant en elle le raisonnement, sont de nature quantitative (ou, pouvons-nous ajouter, ordinative) très générale, capable de rendre équivalents, par rapport aux résultats qu'elles donnent, les phénomènes physiques les plus variés (3).

Quant au symbolisme — si l'on fait exception de quelques cas très particuliers, comme, p. ex., le rôle indirect qu'il a eu. aitisi que nous l'avons vu, dans la formation du concepì

(1) Cf., p. ex., L. Brjltnschvicg, op. cit., Les étapes de la philos, math., p. 537.

(2) Cf., p. ex., A. Voss, op. cit. : U cher dus Wesen der Mathematik, P- 13,

(3) CI', les diverses définitions des ma I lié ma I iques, citées dans A. Voss, ibid., p. 26-29.

plus général de nombre, étendu même aux expressions imaginaires et complexes — on peut dire qu'il n'a jamais joué ën général un rôle vraiment actif dans le développement des mathématiques. En effet, il s'est limité, le plus souvent, à la modeste fonction d'instrument docile et passif de la pensée, se manifestant tantôt en constituant un « casier » bien ordonné pour tous les nouveaux concepts qui se formaient peu à peu, tantôt en représentant et en résumant d'une façon toujours plus concise les séries longues et compliquées d'opérations analytiques que la déduction laborieuse et persévérante parvenait à tirer de ces concepts nouveaux et toujours plus larges, en quantité toujours plus considérable (1).

Mais cette fonction de simple « enregistreur de la pensée » n'en a pas été moins utile. C'est même, certainement, grâce précisément à son symbolisme si merveilleux qu'il a été possible aux mathématiques d'accroître indéfiniment le nombre, la variété et la complication des combinaisons quantitatives toujours nouvelles, simplement pensées. L'imagination du mathématicien n'aurait jamais pu les imaginer et les créer si le symbolisme n'avait pas toujours tenu ouvert devant elle un inventaire complet des matériaux — faits originaires ou résultats acquis petit à petit — sur lesquels elle pût s'exercer ultérieurement, et s'il ne lui avait pas en même temps fourni, à chaque pas, une représentation concrète et concise du chemin que l'imagination même était en train de parcourir.

L'imagination a pu se servir de ce symbolisme parce que, grâce à l 'homogénéité de toutes les opérations ou expériences que ce dernier représentait, elle pouvait toujours

(1) CL A. Comte, op. cit. : Cours de philosophie positive, vol. I, p. 120-121.

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voir derrière lui le contenu d'opérations ou expériences quantitatives, nous dirions presque tangibles.

Certes, dans le grand fouillis des combinaisons quantitatives susceptibles d'être imaginées, l'imagination du mathématicien, même le plus éprouvé, a eu souvent besoin de quelque signification encore plus concrète qui « objectivât » synthétiquement tels ou tels autres résultats analytiques et l'orientât soit sur le chemin déjà parcouru, soit sur celui qui était encore à parcourir. De là, comme nous l'avons vu, le puissant secours que le système de « parallélisme », institué par la géométrie analytique, entre expressions analytiques et lieux géométriques, a constitué pour le pur calcul même, et l'utilité de recourir, même malgré ses dangers, à l'inversion symbolique, pour se servir de ce précieux guide même lorsque ce parallélisme ne subsistait plus. De là aussi le secours que le développement du calcul a reçu également de la mécanique et de la physique mathématique en général, laquelle, comme la géométrie analytique, a concouru aussi de son coté à fournir des points de départ nouveaux et plus variés, des bases sûres d'appui et de repos et des indications précieuses d'orientation pour le fervent travail de l'imagination combinatrice (1).

Mais la première raison, la raison la plus substantielle du puissant secours que le symbolisme mathématique a pu donner à cette imagination combinatrice de rapports quantitatifs toujours nouveaux, demeure toujours cependant le fait de Y homogénéité des opérations ou expériences, toutes d'ordre quantitatif, qu'il représentait, ce qui permettait, nous le répétons, à l'imagination, même en l'absence d'une signification plus concrète et plus synthétique, de se

(1) Cf., p. ex,, Y. Volterra, Sur quelques progrès récents de la physique mathématique, dans : Clark University Lectures, Clark University Press, Worcester (Mass), 1912, p. 2.

Paire toujours cependant une idée assez tangible des faits que le mbolisme lui présentait et sur lesquels elle devait opérer.

Il nous faut donc maintenant examiner si on peut en dire autant du symbolisme employé dans ce qu'on appelle La logique mathématique et si, en conséquence, nous pouvons également attendre de lui la même fertilité merveilleuse que le symbolisme correspondant a eue dans les mathématiques proprement dites. Cela nous fournira l'occasion de faire aussi quelques brèves considérations d'ordre général sur cette dernière branche nouvelle de la logique, par lesquelles nous terminerons cette étude sur les formes supérieures du raisonnement.

La logique mathématique.

Un raisonnement quelconque, en tant qUe série enchaînée d'expériences simplement pensées, implique par lui-même, pour chacune de ces dernières, un procédé correspondant d'induction, peut-être plus ou moins inaperçu, au moyen duquel le résultat obtenu par une expérience donnée ou par des expériences semblables entre elles, effectivement exécutées dans le passé, se généralise de manière à l'attribuer aussi à l'expérience actuelle, semblable elle aussi aux précédentes, maintenant simplement pensée. Lorsque cet enchaînement donné d'expériences simplement pensées, au moyen duquel se poursuivent les diverses vicissitudes de l'objet qui en ce moment excite notre intérêt, est ainsi accompli par le travail de l'imagination combinatrice, l'attention du raisonneur, auparavant appliquée tout entière à l'acte créateur, peut alors refaire le chemin rapidement parcouru pendant ce dernier et s'arrêter à chaque pas pour contrôler et vérifier, sur la base de ses propres souvenirs plus soigneusement évoqués, si tout résultat attribué à chaque expé-

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rience est vraiment juste, c'est-à-dire si chacune des inductions sur lesquelles se base le raisonnement est vraiment léoitime. On a ainsi un mode divers de distribution de Vattention qui porte à « expliciter » chacune de ces inductions, c'est-à-dire à la mettre particulièrement en relief sous forme d'appartenance d'un objet donné à une classe donnée ou d'inclusion d'une classe d'objets donnée dans une autre classe : tel ou tel objet ou bien tous les objets de telle ou telle classe, une fois soumis à telle et telle expérience, présentent tels et tels attributs, c'est-à-dire viennent faire partie de telle et telle autre classe.

Il s'ensuit que le raisonnement, de véritable « expérience pensée >> (« Gedankenexperiment ») qu'il est, prend alors la forme à' opérations classificatoires déterminées (comprenant des inclusions, des réunions, des intersections, etc., de classes), exécutées sur des matériaux déjà produits et offerts à V esprit par Pacte créateur précédent dû à V imagination comh 'matrice. Par ex., notre expérience simplement imaginée, que nous avons mentionnée plusieurs fois, du pendule métallique transporté d'une pièce froide dans une pièce chaude, prend alors la forme syllogistique : le pendule ainsi transporté appartient à la classe des barres métalliques chauffées ; la classe des barres métalliques chauffées est incluse dans celle des barres allongées ; la classe des barres allongées est incluse dans celle des barres oscillant plus leni e tuent ; donc, etc.

Cette forme de déduction par le moyen d'opérations faites sur des classes, à laquelle peut ainsi se réduire tout raisonnement quel qu'il soit, n'est donc pas autre chose qu'une espèce de « catalogùement » des résultats d'expériences déterminées, après que celles-ci, «race à Viniàginâ* hou combinatrice, ont été mentalement accomplies. G'esl comme la dissection anatomifque d'un organe après que

la fonction respective en a déterminé et créé la structure compliquée i En d'autres termes, c'est un mode statique de considérer les produits d'un procédé dynamique.

La possibilité de transformer ainsi tout raisonnement, grâce précisément à l'induction qui est à sa base, en opérations correspondantes d'inclusions, de réunions, d'intersections, etc., de classes, fait que ces opérations, représentant des expériences d'ordre très général, soient valables pour tous les raisonnements en général. En même temps, grâce à leur grande généralité et grâce à l'expérience familière conséquente de tous les moments, elles sont telles, — ■ comme, p. ex., celle du contenant-contenu dans lequel nous venons de transformer notre raisonnement sur le pendule, — que l'on connaît déjà à l'avance le résultat respectif de chacune d'elles, de telle façon qu'elles peuvent être simplement pensées.

Ces opérations, simplement pensées, d'inclusions, de réunions, d'intersections, etc., de classes, donnent lieu pour cela à des résultats également d'ordre très général, par rapport auxquels tous les raisonnements, considérés dans leur mode statique, sont équivalents entre eux. Elles résument donc « les principes fondamentaux du raisonnement )> et constituent ainsi la « logique pure », c'est-à-dire une manière de raisonner qui s'applique universellement à tous les cas possibles, lesquels en deviennent .autant d'applications. Le langage avec ses propositions et ses procédés syllogistiques, d'une part, et la logique mathématique ou logistique avec ses symboles particuliers et ses transformations algorithmiques, d'autre part, appliqués l'un aussi bien que l'autre à donner l'expression ou la traduction adéquate de ces opérations faites sur des classes, en constituent la « logique formelle » correspondante, c'està-dire la forme que revêt, en symboles verbaux ou algorithmiques, la logique pure.

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Les règles que l'on constate empiriquement subsister dans les procédés de la logique pure, lesquelles ne font que rendre compte des opérations susdites faites sur des classes ainsi que des résultats respectifs, ont, pour pendant, les « lois )) ou les « axiomes » qui règlent les procédés correspondants de la logique formelle.

Ces axiomes ou lois de la logique formelle, ces « lois de la pensée », comme on les appelle, ne sont donc pas autre chose, eux aussi, que l'expression de « propriétés effectives des ensembles de choses » ; « ils expriment simplement les propriétés de toutes les classifications possibles » ; ils ne sont, en somme, non moins que les axiomes géométriques, que de simples constatations empiriques, seulement d'ordre plus général encore. Ils ont un caractère normatif, précisément parce qu'ils représentent « la quintessence de notre expérience dans le sens large » (1).

De sorte que ce n'est point la géométrie, ce n'est point l'arithmétique, mais bien la logique, même la plus pure et la plus formelle, même en tant qu' « ensemble, comme dit Couturat, d'implications formelles indépendantes de tout contenu », même en tant que « science, comme dit Russell, dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle ni si ce dont on parle est vrai », c'est la logique la plus pure et la plus formelle, disons-nous, qui est effectivement la première des sciences expérimentales. Et le raisonnement, — naturellement avant qu'il ait pu se transformer en procédé mécanique, par suite du symbolisme employé et par suite de la longue habitude de s'en servir, — ne cesse point un seul instant, même dans cette logique la plus pure et la

(1) Cf. F. Enriques, op. cit. : Problemi della scienza, p. 218-220 ; H. Poincaré, Les derniers efforts des logisliciens, dans l'ouvrage cité : Se. et méth., p. 212 ; C. Mineo, Logica e matematica, « Riv. di Filosofia»! genn. -marzo 1911, p. 50.

7 > I us formelle, d'être une suite d'actes d'intuition, en tant qu'il représente toujours une suite d'opérations, lesquelles sont , il est vrai, d'ordre très général, mais qui sont cependant toujours bien « tangibles », comme celle que nous venons de mentionner du contenant-contenu ou autres semblables d'inclusions, de réunions, d'intersections, etc., de classes, que l'esprit imagine d'exécuter sur des groupes ou des ensembles donnés de choses.

Il s'ensuit que la prétention de pouvoir éliminer de la « logique pure », grâce au symbolisme introduit, toute trace d'intuition (« l'intuition, écrit Couturat, ne doit avoir aucune part dans les raisonnements rigoureux ; ceux-ci, pour être tels, doivent être purement logiques »), équivaut à croire que l'on peut renoncer précisément à cette activité psychique qui seule nous permet de déduire des conséquences ou d'établir des « relations logiques » nouvelles des prémisses admises ; et cela parce que toute déduction, même dans la logique la plus pure et la plus formelle, n'est pas autre chose, nous le répétons, qu'une combinaison d'opérations ou d'expériences simplement imaginées (1).

Ces opérations d'ordre très général sur des classes, que la logique classique exprimait par les propositions du langage commun et par leur enchaînement dans les formes syllogistiques, la logique mathématique a entendu les exprimer au moyen d'algorithmes spéciaux et de transformations symboliques correspondantes.

Il lui a suffi pour cela de désigner par des lettres les diverses

(1) Cf. sur cette prétention de quelques mathématiciens et de beaucoup de logiciens-mathématiciens, p. ex., A. Voss, op. cit. : Ueber das Wesen d. Math., p. 83, 87 ; L. Couturat, Les principes des n:athémaiiques, Alcan, Paris, 1905, p. 288 ; H. Poincaré, Les mathématiques et la logique, « Revue de Métaph. et de Mor. », nov. 1905, p. 825, 829- 830 ; L. Brunsciivicg, op. cit. : Les étapes de la philos, math., p. 400.

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classes et de recourir à très peu de signes, inventés à dessein, pour indiquer, d'abord, respectivement : Y égalité entre objets (déjà distincts l'un de l'autre par le fait d'avoir été considérés jusque-là à des points de vue respectivement différents) ou entre classes d'objets (distinctes entre elles au point de vue de la compréhension, c'est-à-dire des propriétés qui les caractérisent, et résultant ensuite identiques pour l'extension, c'est-à-dire pour le nombre de leurs composants), Y appartenance d'objets à des classes, Y inclusion de classes dans d'autres classes, la réunion et Y intersection de classes (dites aussi « addition » et « multiplication » logique à cause de quelques propriétés qu'elles ont en commun avec les opérations algébriques de ce nom, et dont la seconde avait été appelée par Boole du nom d' « élection », consistant en substance à choisir dans une classe donnée d'objets une sous-classe particulière donnée de ces derniers) ; et pour indiquer, ensuite, les quatre cas principaux d'appartenance ou d'inclusion, originaires ou dérivant d'opérations données, consistant dans le fait qu'une classe contient un seul objet, ou tous les objets qui n appartiennent pas à une autre classe donnée, ou aucun objet, ou tous les objets dont on parle. De sorte que, par ces quelques signes n'indiquant que des relations et opérations entre objets et classes et entre classes et classes, la logique mathématique est venue représenter tous les rapports logiques possibles (1).

Après quoi, profitant des résultats susdits déjà fournis par l'expérience la plus familière de tous les jours, relatifs

(1) Cf., p. ex., A. Padoa, La logique déduetwe dans sa dernière phase île développement, Gauthier- Villârs, Paris, 1912, p. 21-41 ; G. Peano, A ululions de logique mathématique, Introduction au formulaire de mathématique, publié par la « Riv. di Mat. », Turin, 1894, en particulier* p. 4, 7 et suiv. ; G. Vailati, Lu logique mathématique el sa nouvelle phase de développement dans les Ecrits de M. G. Peano, dans op. cit. : Scritti di G. Vailati, p. 230 et suiv.

à des inclusions, des réunions, des intersections, etc., de classes — - comme celle du contenant-contenu et autres semblables — ou s'aidant de la représentation concrète des classes mêmes au moyen de régions de l'espace ou de cercles du plan, la logique mathématique a trouvé, de la même manière que les mathématiciens pour le calcul algébrique, les propriétés des symboles et les lois conséquentes du calcul logique, c'est-à-dire les règles qui doivent présider à la transformation de formules données en d'autres équivalentes, pour exprimer ces opérations sur des classes et leurs résultats (1).

Elle a ainsi trouvé, p. ex., que les propriétés commutative, associative, distributive, analogues à celles qui sont valables pour l'addition et la multiplication algébriques, sont également valables pour les opérations logiques de réunion et d'intersection de classes, tandis qu'on a comme valables pour ces dernières et non pour les premières d'autres propriétés qui simplifient grandement le calcul logique en comparaison du calcul algébrique ; elle a constaté, en outre, que d'autres propriétés, telles que les propriétés réflexive, symétrique, transitive, analogues elles aussi aux propriétés correspondantes de l'algèbre, sont valables pour certaines relations logiques et non pour d'autres ; et ainsi de suite : elle a fixé, en somme, de cette manière, des règles données du calcul logique, lesquelles, une fois ainsi établies par voie empirique, permettent ensuite de démontrer d'une façon analogue à celle du calcul algébrique d'autres vérités logiques, par voie de pures transformations de calcul (2).

(1) Cf., p. ex., A. N. Whitehead, A Treatise on universa} Algebra vol. I, University Press, Cambridge, 1898, p. 38 et suiv.

(2) Cf., p. ex., A. Padoa, op. cit. : La log. déd. etc., p. 62-73, 95-96 ; L. Couturat, op. cit. ; Princ. des math., p. 10 et suiv. ; le même, L'algèbre de la logique, Gauthier- Villars, Paris, 1905, p. 1-25.

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Ce sont là de pures transformations de calcul, cependant, lesquelles, en tant que satisfaisant à ces règles, ne cessent pas, elles non plus, — inconsciemment pour le calculateur qui les emploie désormais machinalement, — de représenter toujours des expériences très générales d'inclusions, de réunions, d'intersections, etc., de classes.

Des relations et opérations concernant les classes on est passé ensuite facilement à celles qui concernent les propositions, lesquelles, sous une forme plus ou moins directe ou indirecte, n'indiquent en substance que les relations et opérations mêmes, les « prédications » n'exprimant en effet que des appartenances d'objets à des classes ou des inclusions de classes dans d'autres classes. Il se trouve alors que toutes les relations de la grammaire peuvent être exprimées au moyen des signes de la logique mathématique, qui ne représentent idèo graphiquement que des relations et des opérations concernant des classes. L'idéographie logique et la logique mathématique viennent donc fournir, respectivement, le vocabulaire et la syntaxe qui sont communs à toutes les sciences déductives (1).

Le premier avantage ainsi obtenu par cette « idéographie logique » a été celui de constituer un système, le plus concis possible, òì écriture universelle, indépendante de quelque langue que ce soit ; en d'autres termes, de fournir, dans un but d'économie d'espace et de compréhension internationale, un instrument de traduction ou transcription sj inbolico-sténographique de théories déductives données déjà construites, en particulier mathématiques : il suffit,

(l) Cf., p. ex., ('<. Peano, op. cit. : Notations de la log. malli., p. 18 e1 suiv., 42 cl suiv. ; <i. Vailati, l'Issai cité : La log. inaili, et sa nous', ph. de dèv., p. 236 ; L. Couturat, op. cit. : Princ. des math., p. 2 et suiv., 16 et suiv. ; le même, op. cit. : L'alg. de la log., p. 3 et suiv. ; \. Padoa, op. cit. : La log. déd., etc., p. 10 et suiv., 45 et suiv.

lù. Rignano. — Psychologie du Raisonnement. 18

pour cela, de se servir, outre que des symboles logiques proprement dits, de ceux encore qui représentent les éléments fondamentaux relatifs à la théorie déductive donnée que l'on veut ainsi transcrire. L'application la plus typique en est le « Formulaire » bien connu de Peano, qui constitue ainsi une reconstruction pure et simple et un répertoire condensé de théories mathématiques données et de leurs principaux résultats, théories respectivement déjà construites et résultats déjà trouvés par les méthodes mathéma- I iques ordinaires (1).

Un second avantage que les logisticiens ont attendu de leur symbolisme, c'est celui de remédier à l'imprécision du langage ordinaire et de se procurer ainsi un moyen plus délicat et plus parfait d'analyse et d'expression scientifique. P. ex., certains termes grammaticaux, comme l'expression quelques-uns, par suite de leur extension douteuse peuvent donner lieu à des expressions ambiguës ; d'autres termes du langage commun ont souvent une signification diverse suivant l'ensemble de la phrase où il se trouvent ou la place occupée dans la phrase, tandis que, dans un but d.e rigueur scientifique, il serait désirable qu'à chaque terme correspondît toujours une signification unique ; les «prédications» de la langue parlée ne distinguent pas pour la plupart si le sujet de la proposition est un individu particulier ou une classe, c'est-à-dire si la proposition exprime une appartenance ou une inclusion, et, dans le premier cas, elles ne disent pas clairement si le sujet est oui ou non l'unique individu de la classe constituée par l'attribut, comme aussi l'expression verbale de cet attribut ne précise pas suffisamment parfois quelle est effectivement la classe

(1) Cf., p. ox., G. Peano, op. cit. : Notations de log. math. ; Introduci, au formulaire de math. ; et : M. Winter, La méthode dans la philosophie des mathématiques, Alcan, Paris, 1911, p. 60-65.

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qu'il représente ; et ainsi de suite. En substituant donc aux expressions verbales, qui présentent souvent de telles ambiguïtés ou d'autres semblables, des symboles rigoureusement définis, la logistique acquiert ainsi, — soutiennent ses fauteurs, — une précision beaucoup plus grande qui permet de soumettre à une analyse plus précise et plus méthodique toutes les théories déductives (1).

C'est là un avantage d'une plus grande précision d'expression et d'une plus grande délicatesse d'analyse, que l'on ne peut certes nier, mais qui a été grandement exagéré, soit parce que le langage commun a en lui-même les moyens de remédier, par des circonlocutions opportunes, à l'ambiguïté de certaines formes, soit parce que la réflexion ordinaire appliquée moins aux expressions verbales traduisânt le raisonnement que, indépendamment de ces dernières, au raisonnement substantiel même comme série a" expériences « tangibles » simplement pensées, c'est-à-dire comme procédé imaginé et suivi par les «yeux de l'esprit », — appliquée, en somme, au raisonnement effectif sur la basé de choses et non point à son énonciation au moyen de inots, — reste et restera toujours, dans la plupart des cas, là meilleure manière, bien que moins méthodique, d'éviter des conclusions erronées. Cela précisément parce qu'on se soustrait ainsi, sur le coup, aux dangers qui proviennent toujours, lorsqu'on doit juger de la légitimité de combinaisons et de constatations mentales, du fait de perdre de vue ces dernières, qûê le langage aurait pour olïice de rappeler simplement à la mémoire, et du fait de devoir se fier alors exclusivement au Langage même, on à quelque autre procédé que ce soi! d'expression formelle, qui peuvent toujours rvêtre que

(1) Cf.j p. ex., A. Padoa, op. cit. : La lo^. déd. etc., p. 11-12, 60 ; V. Enriques, op. cit. : Probi, della Se, p. 150-161 ; L. Coutlhat, op. cit. : Princ. de nuit h., p. VI.

des traductions grossières plus ou moins infidèles de ces procédés mentaux : « On ne peut prendre aucune habitude, écrit .levons lui-même, pire que celle de se contenter de mois au lieu de la vraie connaissance des choses. Nous ne devrions jamais laisser échapper aucune occasion d'apprendre à connaître, au moyen de nos sens, les formes, les propriétés et les changements des choses afin que le langage dont nous nous servons puisse, autant que possible, être employé intuitivement, et afin que nous puissions ainsi éviter les absurdités et les erreurs dans lesquelles on peut tomber sans cela » (1).

Un troisième avantage, poursuivi déjà par Leibniz même, c'était celui de parvenir, dans le but d'épargner le travail intellectuel, à « mécaniser » le raisonnement, en le réduisant à de simples transformations de formules, réalisables suivant des règles fixes et pour ainsi dire automatiques, comme dans l'algèbre. On espérait en même temps que, en facilitant ainsi toutes les combinaisons possibles entre les symboles, on pourrait arriver, là aussi, à découvrir des résultats nouveaux continuels, dont une grande partie auraient pu échapper au contraire au raisonnement ordinaire, confié exclusivement à la fantaisie combinatrice d'opérations ou d'expériences tangibles à l'imagination. En d'autres termes, on espérait que la logistique, instrument d'analyse, en découvrant et en mettant en évidence les éléments constitutifs de tous les raisonnements possibles, pourrait ensuite parvenir, comme cela est précisément arrivé pour la chimie, à des synthèses ou à des résultats complexes nouveaux, en associant entre eux ces éléments des façons les plus variées (2).

(1) S. Jevons, op. cit. : Elementari/ Lessons in Logic, p. 59-60.

(2) Cf., p. ex., (J. Vailati, Sul carattere del contributo apportato

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Mais de tout ce que nous venons d'exposer il résulte clairement qu'il est vain, au contraire, d'espérer que, quant à la fécondité, le symbolisme logique puisse jamais, même de loin, être comparé au symbolisme algébrique. Le calcul logique, en effet, par sa nature même, n'est et ne peut être qu'un moyen de vérification, jamais de découverte ; il peut être comme le microscope, comme la loupe de l'horloger qui constate l'absence ou la présence de quelque petite imperfection dans les engrenages compliqués et minutieux du mécanisme déjà construit, mais qui ne peut être d'aucun secours pour imaginer ce dernier. On a dit à juste titre que la logistique peut faire des « experts » de contrôle, non des raisonneurs inventeurs ; qu'elle peut constituer un soutien, afin de ne pas tomber, pour celui qui n'est pas sûr de lui-même, mais qu'elle ne peut donner des ailes à l'imagination constructrice d'un raisonnement nouveau ; qu'elle est par rapport au véritable raisonnement fécond ce que la métrique et l'harmonie sont par rapport aux créations du génie poétique et du génie musical ; et que les faits sont précisément là pour démontrer qu'elle n'a jamais résolu à elle seulè aucun problème ni jamais contribué, ne fût-ce qu'en partie, à la création d'aucune nouvelle i béorie (1).

Cette aridité ou stérilité de la logistique, qui est si vivement en opposition avec la fertilité si grande de l'algèbre,

dal Leibniz allo sviluppo della logiea formale, dans op. cit. : Scritti di G. Vailati, p. 619 et suiv. ; L. Brunschvicg, op. cit. : Les étapes de la philos, math., p. 375, 402 ; A. Padda, op. cit. : La log. déd , etc., p. 830.

(1) Cf., p. ex., L. Couturat, op. cit. : Princ. des math., p. 34-35 ; A. Padoa, op. cit. : La log. déd., etc., p. 15-16; H. Poincaré, Les mathématiques et la logique, « Rev. de Métaph. et de Mor. », mai 1906, p. 295 : L. Couturat, Pour la logistique, « Rov. do Métaph. et de Mor », mars 1906, p. 215 ; M. Winter, op. cit. : La méth. dans la philos, des math., p. 60-65.

réside, nous le répétons, dans sa nature même. Et cela pour deux raisons d'ordre fondamental.

Tout d'abord, le fait que la logistique ne se compose, en substance, que d'opérations de cataloguement de produits, déjà obtenus au moyen du raisonnement créateur, implique nécessairement l'œuvre préventive de ce dernier pour (ii Miner à la logistique même, dans toutes ses applications, Ja matière première sur laquelle elle puisse s'exercer. Ce n'est que lorsque le raisonnement inventeur, poussé par le libre jeu de l'imagination, a conduit à des résultats nouveaux que l'on peut s'occuper de mettre ces derniers en ordre patiemment et méthodiquement. La déduction, soit syllogistique, soit, à plus forte raison, logistique, peut donc procéder pas à pas et méthodiquement seulement dans sa phase ordinatrice, non dans sa phase créatrice, où l'imagination commande et doit commander en souveraine (1).

En second lieu, si on renonce au contraire à descendre à quelque application, c'est alors la trop grande indétermination même de la nature des phénomènes, auxquels se rapportent les opérations simplement pensées constituant la logistique, qui fait que toute possibilité de s'exercer est enlevée à l'imagination combinatrice de ces opérations simplement pensées. En effet, tandis que dans l'algèbre, comme nous l'avons vu, le symbolisme respectif permet à l'imagination combinatrice, même en l'absence d'une signification plus concrète et synthétique, de se faire toujours cependant une idée assez tangible des faits sur lesquels elle doit opérer, et cela grâce au fait de Y homogénéité des phénomènes, tous de nature quantitative, que le symbolisme même représente ; dans la logistique, au contraire,

(1) Cf., p. ex., E. Mach, op. cit. : Erkeniiliiis Und Irrtum p. 318.

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la grande indétermination des symboles fait qu'ils représentent indistinctement et simultanément les phénomènes les plus hétérogènes possibles, de telle façon qu'il vient à manquer toute possibilité d'interprétation concrète quelconque, même très éloignée, qui puisse à la fois faire naître chez le raisonneur V intérêt pour son propre raisonnement et lui permettre la vue synthétique de V ensemble de ce dernier. Sans cet intérêt, il manque alors tout stimulant pour imaginer les combinaisons capables d'amener au but désiré, ou, en tout cas, à quelque résultat qui puisse paraître important, et il manque même un critérium quelconque d'évaluation ou de choix en face des combinaisons symboliques i !i finies, qui peuvent toutes indifféremment être obtenues par le pur jeu fortuit du calcul mécanique (1).

En d'autres termes, lorsque l'abstraction dépasse une certaine limite, au point de comprendre dans les concepts respectifs les choses les plus hétérogènes possibles, c'est-àdire lorsque Y abstraction devient indétermination complète, alors tous les avantages que l'on a toujours en passant d'un raisonnement concret et particulier à un raisonnement plus abstrait et plus général — et Russell prétend qu'on doit les avoir à leur plus haut degré dans la logistique — viennent au contraire à cesser ; précisément parce qu'on l'en d par là impossible le stimulant pour de nouvelles recherches expérimentales simplement pensées, c'est-à-dire pour de nouveaux raisonnements à tenter dans les sens les plus variés, stimulant qui provient de l'emploi d'images, de représentations concrètes, dans lesquelles tout conce])!, même aussi abstrait qu'on voudra, mais qui comprenne

(1) Cf. II. Poincaré, Essai cité : Les math, et la log., flans op. cit. : Se. et méth., p. 158 ; le même : Les définitions mathématiques étj'ensei gnement, ibid., p. 133-134, 137 ; A. Voss, op. cit. : Ueber clan Whseri d. Math,, p. 28.

des choses pouvant, au moins à un seul point de vue. donné, rire considérées comme homogènes, est au contraire toujours Iraduisible (1).

En outre, tandis que l'algèbre, tout en opérant par son symbolisme sur des phénomènes déjà suffisamment tangibles par eux-mêmes pour l'imagination parce qu'ils sont de nature homogène, s'est malgré cela continuellement efforcée, comme nous l'avons vu, avec la géométrie analytique, avec la mécanique et la physique mathématique en général, et avec l'inversion symbolique elle-même, de « concréter » ou d' « objectiver synthétiquement » le plus possible ses symboles et ses formules, et cela dans le but d'exciter et de provoquer précisément l'imagination combinatrice ; les logisticiens, au contraire, se sont fait un point d'honneur de « déconcréter » le plus possible leurs propres symboles, de les vider, avec le soin le plus scrupuleux et le plus minutieux, de tout contenu d'évidence intuitive, ou susceptible en tout cas de donner à l'imagination le moindre point d'appui. Ainsi faisant, la logistique, déjà stérile donc par sa nature même, venait aggraver toujours davantage et délibérément cette stérilité (2).

Enfin,' nous ne nous arrêterons pas sur la .dernière prétention, la plus exagérée, de quelques logisticiens, comme Russell et Couturat, que la logistique puisse servir toute seule à construire toutes les mathématiques, sans avoir besoin d'aucun recours à des inductions ultérieures. Le seul fait que la logistique n'est par elle-même qu'une méthode de cataloguement, susceptible de servir pour toutes les sortes possibles d'opérations ou d'expériences simplement

(1) Cf. B. Russell, L'importance philosophique de la logistique, « Rev. de Métaph. et de Mor. », 1911, p. 286 ; E. Mach, op. cit. : Erk. u. IrrL, p. 249.

(2) Cf., p. ex., L. Couturat, op. cit. : Princ. des math., p. 7-8.

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pensées et pour leurs résultats, implique que, pour descendre de ce cataloguement d'ordre très général aux catalcguements particuliers, valables seulement pour des catégories données d'opérations ou d'expériences, il est nécessaire de connaître en outre les propriétés particulières qui différencient ces catégories données de toutes les autres. On sait, en effet, que, dans leurs définitions, p. ex., des éléments arithmétiques et des opérations à exécuter sur eux, les logisticiens ne font qu'exprimer les propriétés fondamentales des opérations arithmétiques que l'arithmétique et l'algèbre ellesmêmes ont démontrées suffisantes pour leur servir de base, afin d'en déduire tout leur admirable édifice (1).

Ainsi, nous pouvons conclure que, si la logistique, en tant que système de transcription sténo-idéographique internationale, a atteint le but qu'on s'était proposé, et si, en tant que système de contrôle de la rigueur logique, elle peut être parfois utile, elle est au contraire condamnée, comme moyen de découverte, à la stérilité la plus complète ; et encore moins peut-elle prétendre à constituer, toute seule, la source féconde de toute la science mathématique.

Psychologiquement, donc, il serait complètement erroné d'espérer du symbolisme logistique, même d'une façon très éloignée, les avantages vraiment immenses que l'introduction du symbolisme respectif a eus, au contraire, dans les mathématiques proprement dites.

Par là, nous avons terminé cette rapide et, en même temps, peut-être trop longue course faite dans le champ

(1) Cf., p. ex., L. Coutl'rat, op. cit. : Princ. des math,, |>. 5, 25-26 : 11. Poincaré, Essai cité : Les malh. et la logique, dans op. cit. : Se. et

des formes supérieures du raisonnement ; elle nous â pourtant part' nécessaire pour chercher à bien mettre en évidence que la nature fondamentale du raisonnement, en tant que série d'opérations ou d'expériences simplement pensées, demeure intacte là même où une abstraction poussée au delà de toute limite et une forme symbolique excessivement complexe peuvent réussir au premier abord à la cacher et môme à la défigurer.

Il suffirait du reste du nom même de calcul, conservé encore aux opérations de la mathématique, pour attester d'une façon indélébile que la grande noblesse actuelle des formes suprêmes du raisonnement tire son humble origine des toutes premières opérations de comptage qu'effectuèrent matériellement et péniblement, sur des tas et puis sur des rangées de pierrettes, nos ancêtres les plus éloignés. C'est partant de ces opérations si modestes et si pratiques que l'imagination créatrice, par la vertu de générations infinies d'esprits d'élite, a pris hardiment son essor pour bâtir une construction mentale si riche et si merveilleuse, telle qu'elle nous est présentée par l'édifice imposant des mathématiques actuelles.

Par là les mathématiques nous offrent donc l'exemple le plus typique et le couronnement suprême du raisonnement vrai et propre ou « constructeur », qui est la forme que nous nous sommes limités jusqu'à présent à étudier : c'est-à-dire du raisonnement qui crée, par la combinaison mentale d'expériences simplement pensées, des histoires nouvelles de choses et parvient ainsi à la découverte de nouveaux faits, de nouvelles liaisons entre les phéitomènes, exactement comme le savant du laboratoire qui exécute

rnéth., p. 164-170 ;„M. Winter, op. cit. : La méth. dans la philos, des math., p. 48, 72, 98-100 ; G. Lucas de Peslouan, Les systèmes logiques et la logistique, Rivière, Paris, 1900, p. 269.

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effectivement ses exj:>ériences, le conduisant à de nouveaux résultats.

Mais à côté de ce raisonnement « constructeur », dont nous venons d'étudier dans les chapitres précédents et dans Factuel la nature, l'évolution et les formes supérieures, une autre forme de raisonnement a pris naissance et s'est développée, laquelle représente, psychologiquement, peut-on dire, une déviation, une déformation, du raisonnement vrai et propre. Plus qu'à çonstruire de nouvelles combinaisons d'expériences et à tendre par là à la découverte de nouveaux faits, cette forme dérivée et déformée du raisonnement vise plutôt à classifier, à « présenter », des faits connus, d'une certaine façon plutôt que d'une autre.

C'est le raisonnement « intentionnel » dont il nous reste encore à parler et que nous analyserons dans les deux chapitres suivants.