CHAPITRE VII

LES FORMES SUPERIEURES DU RAISONNEMENT

jre PARTIE : LE RAISONNEMENT MATHEMATIQUE DANS SES PHASES DU SYMBOLISME DIRECT ET INDIRECT

Dans les trois chapitres précédents, nous avons analysé la nature du raisonnement et nous en avons suivi l'évolution sous son double aspect, c'est-à-dire du passage du raisonnement concret au raisonnement abstrait, et du passage du raisonnement élémentaire, conçu d'emblée par un seul acte d'intuition, au raisonnement toujours plus compliqué, constitué par une série plus ou moins longue de raisonnements élémentaires enchaînés entre eux.

Nous avons vu que le raisonnement ne consiste, en substance, qu'en opérations ou expériences que nous nous bornons à exécuter par l'imagination, car nous connaissons déjà le résultat de chacune d'elles, lequel n'est maintenant pour ainsi dire constaté que mentalement.

Nous avons vu que les « concepts » ne sont pas autre chose que des classes ou des groupes de phénomènes ou d'objets soit même différents entre eux autant qu'on le voudra dans leur aspect extérieur, mais équivalents entre eux par rapport à telle ou telle fin, ou par rapport au résultat E. Rignano. — Psychologie du Raisonnement. 13

que l'on a en vue par les expériences simplement pensées, qui constituent le raisonnement. Ces phénomènes ou objets étant réduits à ce seul attribut qui les rend équivalents par rapport à ce résultat poursuivi par le raisonnement, [e c oncept relatif finit ainsi par être représenté par un phénomène ou par un objet unique schématisé, qui transforme le raisonnement même de concret en abstrait ; ce raisonnement abstrait — dont les opérations ou expériences, simplement imaginées, relatives à ce phénomène ou à cet objet ainsi schématisé, ne cessent point de se présenter à l'esprit comme « matériellement tangibles y non moins qu'auparavant — sert alors pour tous les raisonnements concrets particuliers, qui autrement devraient être exécutés sur chacun des phénomènes ou objets compris dans le concept respectif.

Nous avons vu, enfin, que la formation de nouveaux concepts ou l'extension de concepts anciens, — par la découverte que cela implique de nouvelles catégories d'objets, équivalents par rapport aux résultats d'opérations déterminées, — augmente pour cela même le nombre des expériences dont on connaît précédemment les résultats, et qu'elle augmente, conséquemment, à cause de cette connaissance préventive des résultats respectifs, le nombre des expériences mêmes susceptibles de n'être exécutées que •mentalement ; nous avons vu, en même temps, que la schématisation des phénomènes ou objets, implicite dans cette formation nouvelle ou dans cette extension plus grande de concepts, en rendant plus simples les opérations ou expériences à exécuter sur ces phénomènes ou objets schématisés, facilite la représentation mentale de longues séries de ces dernières, enchaînées entre elles des façons les plus variées. De sorte que, pour ce double motif, la conséquence finale du passage du raisonnement concret au raisonnement abstrait est l'application, rendue possible dans la science

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dans une mesure toujours plus large, delà méthode déductive.

C'est pourquoi il nous reste maintenant, — nous dirions presque comme vérification de la validité de ces résultats que nous venons de résumer ici, obtenus dans nos trois chapitres précédents, — - à passer à l'examen, toujours au point de vue strictement psychologique, du procédé logique tel qu'il se manifeste dans ses formes les plus élevées, représentées par le raisonnement mathématique.

Nous choisirons, dans ce but, quatre phases ou moments seulement parmi les plus caractéristiques de l'évolution de ce dernier, que nous pourrons appeler, respectivement, du symbolisme direct, du symbolisme indirect, de la condensation symbolique et de l'inversion symbolique. Cela nous permettra aussi de rechercher les raisons des difficultés spéciales que l'étude des mathématiques présente pour le plus grand nombre, de mettre en même temps en évidente la valeur et l'importance psychologique du symbolisme employé par elles, et de reconnaître ainsi la valeur et l'importance diverses que le symbolisme a dans les mathématiques proprement dites, en comparaison de la valeur et de l'importance qu'il peut avoir dans ce qu'on appelle la logique mathématique.

Le raisonnement mathématique dans sa phase du symbolisme direct.

De la pure opération l'homme n'est passé que peu à peu au pur raisonnement, au moyen de séries mixtes constituées par des expériences elfectivement exécutées, alternées avec d'autres simplement imaginées. C'est la géométrie et le calcul arithmétique qui, dans la science, ont revêtu les premiers ce caractère mixte et ont ainsi préparé le terrain

à I* épanouissement et à la floraison plus abondante du pur raisonnement.

Les démonstrations géométriques, en effet, comme nous l'avons déjà vu dans nos chapitres précédents, sont de véritables démonstrations expérimentales, de véritables chaînes d'expériences dans lesquelles, si la plupart de ces dernières sont simplement pensées, d'autres sont cependant effectivement exécutées : « C'est précisément dans ce champ si simple, si fertile et si facilement accessible de la géométrie, écrit Mach, qu'a commencé à se développer la méthode de l'expérience mentale » (1).

Mais l'importance de la géométrie n'a pas seulement consisté à préparer le passage de la pure opération au pur raisonnement, mais bien à former et à prédisposer l'esprit au raisonnement abstrait. Ce qui, en effet, caractérise la géométrie grecque par rapport à la géométrie babylonienne et égyptienne, c'est précisément la généralisation de la démonstration, le fait de voir dans le triangle dessiné, — sur lequel ont été exécutées, en partie effectivement et en partie mentalement seulement, des opérations géométriques données conduisant à la constatation, oculaire ou mentale, de résultats donnés, — non point un triangle particulier, mais bien le « schéma » valable pour tous les triangles ; le fait donc de reconnaître l'équivalence de tous les triangles par rapport aux résultats de la démonstration même, et de donner lieu ainsi à la formation de concepts géométriques, les premiers à se développer dans l'histoire de la science (2).

(1) E. Mach, op. cit. : Erkenntnis und Irrtum, p. 198.

(2) Cf. 1. G. Milhaud, Les origines des sciences mathématiques dans les civilisations orientales et égyptiennes : L'apport de l'Orient dans la science grecque ; dans : Nouvelles études sur V histoire de la pensée mathématique, Alcan, Paris, 1911, p. 123-124.

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Si les opérations géométriques ne revêtirent ainsi que tard, chez les Grecs, leur caractère général et abstrait, par contre la proportion des opérations simplement pensées par rapport aux autres effectivement exécutées alla alors en croissant rapidement, sans toutefois arriver jamais à exclure complètement ces dernières (p. ex., tracé de lignes auxiliaires et constatation oculaire de quelques-uns des résultats ainsi obtenus).

Les opérations de calcul, au contraire, revêtirent beaucoup plus tôt un caractère abstrait — -d'opérations exécutées sur l'objet schématisé « unité » — - ; mais, par contre, elles demeurèrent plus longtemps dans le stade d'opérations presque toutes effectivement exécutées. Ce n'est que dans la suite qu'elles devinrent elles aussi des séries mixtes d'opérations en partie effectivement exécutées et en partie simplement pensées ; elles passèrent alors bientôt au stade de séries d'opérations toutes simplement pensées, stade qui n'a jamais été atteint par la géométrie.

Le calcul arithmétique a, en effet, comme on sait, commencé par être une série de « comptages », chaque « comptage » à son tour n'étant pas autre chose que V opération matérielle de disposition des objets à compter en correspondance avec une série déjà disposée d'autres objets ; cette dernière série étant toujours la même pour tous les « comptages » (doigts des mains seulement, doigts des mains et des pieds, et autres semblables).

Des comptages d'un nombre d'objets, supérieur au nombre des objets composant la série de comparaison, trouvèrent pour cela de très grandes difficultés à être exécutés tant qu'on ne recourut point au système de subdiviser matériellement les objets à compter en autant de groupes, chaque groupe contenant précisément le nombre maximum d'objets susceptibles d'être « compté », et puis de « compier

les groupes mêmes. Cette méthode, de division en autant de groupes, étendue des objets aux premiers groupes de ces objets, et puis aux groupes des groupes, forme encore, comme on sait, la base de notre numération décimale.

Des additions et soustractions de groupes d'objets déjà bo'mptés » durent, par la nécessité des choses, être fréquemment exécutées matériellement ; et les nouveaux groupes ainsi obtenus, soumis à de nouveaux « comptages », permirent de constater oculairement les résultats de ces additions et soustractions matérielles.

Pour faciliter toutes ces opérations, on peut faire correspondre à chaque objet, sur lequel on devrait opérer, un autre objet plus facilement maniable et transportable. C'est ainsi que naquirent les « tables à calculer » ou « abaques » (à6ai£, abacus), depuis les toutes premières de l'ancienne Chine et des anciens Péruviens jusqu'aux tables décimales plus perfectionnées des Egyptiens, des Grecs et des Romains, dont les rangées de pierrettes (calculi) représentaient, suivant leur ordre et suivant le nombre de pierrettes déplacé dans chaque rangée, le nombre des groupes et des groupes de groupes dans lesquels tous les objets à compter étaient subdivisés. Avec ces abaques, les opérations d'addition et de soustraction, et de nouveau comptage consécutif, rendues plus courantes, continuèrent, en partie, à être effectivement exécutées ; mais, pour une partie toujours plus considérable, elles purent être exécutées seulement par l'imagination, grâce aux résultats déjà connus que les mêmes opérations, matériellement exécutées, avaient donnés dans le passé ; enfin, pour augmenter encore la mesure de l'avantage ainsi obtenu, on se mit à apprendre par cœur des tables déjà compilées, comme l'ancienne petite table d'addition très répandue arrivant à 9 -j- 9.

Ce qui aida grandement le passage à l'exécution simple-

ment mentale des différentes opérations d'addition et de soustraction, déjà exécutées donc auparavant matériellement avec les pierrettes de l'abaque, ce furent deux sortes d'inventions très remarquables en fait de représentation symbolique1, toutes deux, semble-t-il, dues aux Indiens : d'abord, celle de symboles graphiques dénotant respectivement les différents nombres de pierrettes qui pouvaient se trouver déplacées sur la rangée respective ; puis, l'invent ion du zéro, qui permit de disposer ces symboles graphiques l'un à côté de l'autre, dans l'ordre même des différentes rangées de l'abaque, même lorsque aucun déplacement de pierrettes n'aurait eu lieu dans quelqu'une de ces rangées, permettant ainsi à tout nombre de plusieurs chiffres de représenter exactement, — sans avoir besoin d'aucune indication spéciale à côté de chaque chiffre, — l'état de distribution correspondant des pierrettes dans l'abaque même.

Même quant à ces sortes particulières d'additions et de soustractions, enfin, consistant dans l'addition vi la soustraction répétée un certain nombre de fois toujours du même nombre d'objets (multiplication et division;, leurs résultats finirent, bien que beaucoup plus tardivement et beaucoup plus dilïicilement, à s'imprimer eux aussi dans la mémoire, et il fut ainsi possible de les résumer dans d'autres tables spéciales, dont la table de Pythagore est l'exemple classique. De 3a multiplication et de la division, une luis rendues ainsi suffisamment familières, il fut alors possible, par le moyen toni d'abord des fractions radicales, c'est-à-dire ayant pour numérateur l'unité, qui, p. ex., chez les anciens Egyptiens, se présentaient d'ellesmêmes matériellement, dans la mensuration des « restes successifs des longueurs non multiples exactes de l'unité de mesure, avec le repli double, triple, etc., du ruban

constituant précisément cette unité de mesure, — il fut alors possible, dis-je, de passer, très lentement cependant, du calcul des nombres entiers à celui des nombres fractionnaires, lesquels correspondent eux aussi non moins que les nombres entiers à la réalité physique du fractionnement dont sont susceptibles une foule d'objets naturels.

De la sorte le calcul arithmétique ne se compose aujourd'hui désormais que d'une série d'opérations, toutes déjà matériellement exécutées par le passé, et aujourd'hui au contraire toutes exécutées mentalement seulement. Mais la longue et très lente évolution de ce passage, les difficultés rencontrées par les peuples primitifs pour arriver à « compter » un nombre d'objets supérieur au nombre des doigts de la main ou des deux mains et des pieds, la lente évolution des abaques et leur durée même dans des temps relativement récents, la compilation si tardive et si longtemps excessivement imparfaite des « tables » mnémoniques d'addition et puis celles de multiplication, la très lenteévolution du calcul fractionnaire, tout cela dénote les difficultés très grandes que l'homme a dû surmonter pour découvrir empiriquement, un à un, les divers résultats de certaines opérations de calcul, avant de pouvoir arriver à accomplir ces opérations mentalement seulement (1).

En même temps, cela dénote que « les propriétés des nombres sont dépendantes de l'expérience au même sens précis que les propriétés géométriques de l'espace » (2).

Il nous importe à nous de remarquer ici comment les objets de cette série ordonnée en correspondance desquels

(1) Cf., p. ex., II. -G. Zeuthen, Die Mathematik im Allertimi und im Mittelalter («Die Kultur der Cegenwart », Teil III, Abtcilimg I, Lieferung I), Teubner, Leipzig, 1912, p. 6-14.

(2) W. WuNDT, Logik, 3. Auflagc, I. Band, Enkc, Stuttgart, 1906, p. 488-489.

étaient matériellement disposés les objets concrets à compter, parle fait précisément qu'ils étaient toujours les' mêmes, quelle que fût l'espèce de ces derniers, durent faciliter la constatation que les résultats du calcul étaient toujours les mêmes, indépendamment de la nature de ces objets à compter : c'est-à-dire que, par rapport aux résultats du calcul, n'importe quelle sorte d'objets concrets était équivalente à n'importe quelle autre ; cette constatation devait donc d'elle-même conduire, comme en effet elle conduisit, de très bonne heure, au concept d'unité (et par conséquent à celui de nombre abstrait qui en dérive), c'est-à-dire d'objet schématisé (doigts de la main, pierrettes de l'abaque, etc.), représentant indifféremment tels ou tels autres objets concrets (têtes de bétail, guerriers de la tribu, etc.) : « Le terme extrême de l'abstraction numérique est la notion d'unité. Chaque unité est posée comme identique à une autre unité, c'est-à-dire que l'esprit ne s'arrête - plus à aucune détermination spécifique, à aucun caractère intrinsèque de la chose, qu'il ne connaît plus rien de l'objet, sinon ce fait qu'il le pose comme objet » (1).

Mais ce terme extrême de l'abstraction numérique, Y unité, ne cessa point pour cela d'être un objet, très général ou schématisé autant qu'on le voudra, mais cependant toujours matériellement tangible, comme l'étaient précisément les doigts de la main ou les pierrettes de l'abaque. Les opérations de calcul arithmétique furent ainsi, pendant une longue époque, des opérations abstraites et en même temps matériellement exécutées.

Mais, comme nous l'avons vu, les opérations de calcul, qui étaient toutes au commencement des opérations maté-

(1) L. Bruivschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique, F. Alcan, Paris, 1912, p. 470. .

nellemenl exécutées, devinrent ensuite graduellement des séries mixtes d'opérations en partie matériellement exécutées et en partie simplenlent pensées, pour arriver enfin à être, comme elles le sont aujourd'hui, des séries d' opéra - Mous toutes simplement pensées, sans que, dans ce passage successif, vînt nullement à se changer leur caractère d' opérai ions matériellement exécutables ou matériellement pensables, qu'elles possédaient depuis le commencement malgré leur caractère abstrait (1).

Venons maintenant au passage de l'arithmétique à la première phase de l'algèbre, — c'est-à-dire à la phase antérieure à l'introduction des nombres positifs et négatifs. Comme on sait, il s'accomplit par un procédé d'abstraction ultérieur, tout à fait semblable à celui que nous venons de voir et qui a constitué le passage des nombres concrets aux nombres abstraits : prenons, par ex., le nombre 8 et

la fraction — ; ajoutons 1 à tous les deux; la somme la plus

forte ainsi obtenue (8 -j- 1 = 9) contient la plus petite

I— -[- i = —8 exactement 8 fois. Or cette propriété est

possédée par tout nombre, et non par le nombre 8 seulement.

Si nous représentons donc par a un nombre quelconque, on

a toujours : — — a (2).

Par rapport au résultat exprimé par cette formule, comme par rapport aux autres résultats semblables poursuivis par le calcul algébrique, tous les nombres arithmé-

(1) Cf. J. -Stuart Mill, op. cit. : A System of Logic, vol. L p. 284 et suiv.

(2) Cf. Ph.-E.-B. Jourdain, The Nature of Mathematica, Jack, London, 1910, p. 30, 32-33.

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tiques abstraits sont donc équivalents entre eux ; et « nombre arithmético-algébrique » est précisément le terme qu'on peut employer pour exprimer indifféremment un quelconque de ceux-ci, c'est-à-dire pour exprimer le nombre arithmétique abstrait « schématisé ».

La différence entre le calcul algébrique et le calcul arithmétique, — - avant, nous le répétons, l'introduction dans le premier des nombres positifs et négatifs, — ■ consiste par conséquent en ceci : tandis que le calcul arithmétique se compose d'opérations concrètes sur des objets abstraits (comme, par exemple, les pierrettes de l'abaque représentant Y « unité » schématisée), dans le calcul algébrique, au contraire, les opérations mêmes sont abstraites, c'est-à-dire représentent chacune, non point une seule opération bien déterminée, mais des opérations en nombre infini, équivalentes par rapport à un résultat donné.

La difficulté psychologique pour s'élever à cette abstraction ultérieure est donc de la même nature que celle que l'on rencontre dans la géométrie lorsque, dans une opération donnée exécutée p. ex. sur un triangle donné, on doit voir non point cette seule opération, mais toutes les opéra lions semblables infinies exécutées sur autant de triangles infinis, et toutes équivalentes entre elles par rapport au résultat obtenu par la démonstration exécutée sur lé triangle particulier dessiné sur la feuille (1).

Lu cela même. L'algèbre a un grand avantage par rapport à la géométrie; consistant dans le fait que, grâce à ses symboles littéraux, elle réussit à mettre bien en évidence les quali! és générales des objets sur lesquels elle opère et à en éliminer les qualités particulières. Tandis que le géomètre, en effet,

(1) Cl E. GoBtoT, La démonstration mathématique, « A.nnée psychologique », quatorzième année, i'. Alcan, Paris, 1908, p. 272, 275-276^

pour étendre à tous les triangles en général les résultats d'une démonstration exécutée sur un triangle particulier donné, doit veiller à chaque pas de la démonstration à ce qu'elle soit obtenue, et puis tenir toujours présent qu'elle a été obtenue, sans jamais recourir ni à la valeur particulière de chacun des angles, ni à la longueur absolue ou relative de chacun des côtés, et ainsi de suite, — et qu'il ne peut, pour mettre cela en évidence, recourir à un symbole du triangle ou de quelque autre figure géométrique que ce soit, qui écarte de lui-même les éléments particuliers dont la figure même peut venir, cas par cas, à être formée. — l'algébriste, au contraire, pose tout de suite en évidence qu'un résultat donné d'une démonstration donnée est indépendant de la valeur particulière des nombres sur lesquels il a opéré, grâce à la représentation qu'il en fait, avant la démonstration même, au moyen des symboles alphabétiques connus.

Il nous importe ici surtout de relever que chacune des opérations particulières infinies, représentées par une opération algébrique donnée, reste toujours cependant une opération de calcul arithmétique propre et véritable, c'està-dire une opération matériellement exécutable et exécutée au contraire mentalement, et que, par conséquent, c'est exclusivement de ces opérations qu'est constitué aussi le calcul algébrique même. C'est pourquoi ce calcul, — avant, nous le répétons encore, l'introduction des nombres positifs et négatifs, — n'est que la symbolisation, au moyen de formules opportunes, d'une longue série de ces opérations ou expériences quantitatives, matériellement exécutables et exécutées mentalement, enchaînées les unes aux autres.

Ce caractère des expressions algébriques de représenter, non point une seule opération exprimant l'établissement

d'une relation quantitative seulement, mais infinies opérations semblables, équivalentes par rapport à un résultat donné, est précisément ce qui fait que l'algèbre se prête merveilleusement à exprimer toutes ces « lois naturelles » qui régissent les relations quantitatives entre les phénomènes et à déduire toutes les conséquences les plus éloignées qui dérivent de ces lois. En effet, précisément parce que ce sont des « lois » régissant les relations quantitatives entre les phénomènes, elles servent, non point seulement pour telle ou telle valeur particulière des phénomènes mêmes, mais bien pour toute une série infinie de ces valeurs particulières (1).

Toute formule algébrique ou toute égalité entre formules algébriques vient alors à constituer, comme le fait justement remarquer Mach, une espèce de règle compilative (eine Herstellungsregel) d'une table démesurée résumant la marche d'un phénomène donné dans toutes ses manifestations particulières ; règle compilative qui fournit ainsi, déjà tout prêts, avec une grande « économie » de temps et de travail, les résultats particuliers d'une infinité d'opérations ou d'expériences physiques qui peuvent éventuellement être exécutées par nous mentalement (2).

Ainsi, p. ex., la formule algébrique qui exprime la loi de Newton de l'attraction est la traduction du fait général de la pesanteur dans un langage qui en exprime aussi tous les caractères particuliers (3).

Ce même caractère des expressions algébriques de représenter, non point une opération de calcul arithmétique

(1) Cf. Pif.-K.-B. Jourdain, op'. cit. : The Nat. of Math., p. '47-48.

(2) E. Mach, op. cit. : Die Mhchanik in ihrer Entwicklung histoipsf.ikritisch dargestellt, ,p. 137-138 et 461.

(3) 0. Mi lu au d, Descartes et Newton, dans op. cit. : Nom: ét. sur l' Itisi, de la pensée scient., p. 222.

seule, mais infinies opérations équivalentes par rapport

à un résultat donné, fait que, lorsqu'on parvient à démontrer

l'égalité d'expressions compliquées données avec d'autres

plus simples, — p. ex. l'égalité ^ ^ =a — b, — cela

constitue, comme le fait remarquer Mach, une grande - économie de comptage » (Oekonomie des Zâhlens), en tant que cela permet d'éviter toutes (Ces séries particulières de calcul arithmétique, chacune desquelles conduirait, pour son compte, à la vérification de l'égalité même dans le cas particulier qu'elle représente (1).

Le fait, enfin, que l'algèbre, plus heureuse en cela que la géométrie, a réussi à mettre en évidence, avec ses symboles littéraux, les qualités générales des objets sur lesquels elle opère et à en éliminer les qualités particulières, est ce qui a permis et facilité la « mécanisation » du calcul algébrique même.

Par là, nous voulons moins faire allusion à l'aide et au « repos » que l'algèbre, comme une autre méthode quelconque de notation symbolique en général, donne au raisonneur, en lui permettant de suivre toute l'histoire des opérations ou expériences, exécutées mentalement, constituant un raisonnement quelconque donné. Il n'est que trop notoire, en effet, que le recours à des symboles appropriés, relatifs aux différentes opérations et aux résultats respectifs, délivre l'esprit du raisonneur du besoin et de l'effort de tenir toujours vivant devant lui le souvenir des résultats précédents, qui lui serviront, dans la suite, lorsque le « fil du raisonnement » le conduira à exécuter mentalement d'autres opérations ou expériences enchaînées

(1) E. Mac», op. cit. : Die Mechanik, etc., p. 462 ; le même, op. cit. : Erkenntnis u. Irrlum, p. 328.

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avec ces résultats et que cela empêche des oublis inévitables, que l'on aurait sans cela de quelques-uns de ces résultats déjà obtenus, ainsi que les inévitables conclusions illogiques' qui dériveraient du fait de ces oublis.

Nous voulons plutôt faire allusion au fait que, grâce à la généralité même des symboles algébriques et des opérations relatives qu'ils représentent, ces opérations se présentent et se répètent toujours les mêmes dans un très Lirand nombre d'occasions ; ce qui rend possible et facilite la découverte de règles données pour la manipulation pratique de ces symboles ; il suffit alors de se conformer simplement à ces règles pour être sûrs d'arriver à la conclusion juste du raisonnement, sans plus penser aucunement à la signification des symboles mêmes, ce qui produit une conséquente économie très importante de temps et de fatigue mentale (1).

« On a souvent fait observer, écrit Pierre Boutroux, que les mathématiques, œuvre de l'intelligence active, tendent à rendre l'intelligence inutile en réduisant les raisonnements à des règles qui se laissent appliquer passivement » (2).

« Cette manœuvre des symboles algébriques que l'on peut, dans la plus large acception du mot, nommer le calcul, suppose — écrit à son tour Duhem — chez celui qui la crée comme chez celui qui l'emploie, bien moins la puissance d'abstraire et l'habileté à conduire par ordre ses pensées, que l'aptitude à se représenter les combinaisons diverses et compliquées que l'on peut former avec certains

(1) Cf. J. -Stuart Mill, op. cit. : A System of Logic, vol. Il, p. 260 : E. Mach, op. cit. : Erk. a. Inium, p. 182 ; Pii.-E.-B. Jourdain, op. cit. : The Nat. of Math., p. 20, 53.

(2) P. Boutroux, L'évolution des mathématiques pures, « Scienlia », 1909, XI-3, p. 3-5.

signes visibles et dessinables, à voir d'emblée les transformations qui permettent de passer d'une combinaison à l'autre » (1).

Aux expériences simplement imaginées, représentées par des transformations algébriques, s'ajoutent ainsi de nouvelles expériences effectivement exécutées, constituées par les transformations algébriques mêmes. Ce qui rend possible la constatation oculaire ou découverte empirique de nouveaux résultats continuels de ces manipulations de formules, lesquels se résolvent à leur tour en autant de résultats nouveaux du raisonnement représenté précisément par ce calcul algébrique : « Dans la mathématique, l'expérience prend souvent un sens spécial, comme lorsqu'elle se réduit à la constatation de la forme d'une expression algébrique » (2).

De là la grande valeur qu'a, même dans les mathématiques, ce « sens de position », qui est caractéristique des joueurs d'échecs, et qui, dans l'algèbre, conduit à découvrir l'analogie fondamentale d'expressions algébriques données, quelque compliquées et diverses qu'elles soient dans les détails (3).

Des « situations algébriques » données, même très complexes, deviennent ainsi susceptibles d'être considérées dans leur ensemble, indépendamment de leurs éléments constitutifs, et d'être conséquemment représentées par de nouveaux symboles particuliers. Les règles de transformation analytique, applicables à ces symboles de degré

(1) P. Duhem, La théorie physique, son objet et sa structure^ Chevalier' & Rivière, Paris, 1906, p. 98-99.

(2) G. Milhaud, La pensée mathématique, son rôle dans l'histoire des idées ; dans op. cit. : Nouv. ét. sur l'hist. de la pensée scient., p. 24.

(3) A. -A. Cleveland, art. cit. : The Psychology of Chess and Learning to play it, p. 299.

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supérieur, découvertes et fixées au moyen des opérations de calcul que l'on sait déjà exécuter sur les symboles de degré inférieur, permettent alors au mathématicien de procéder dorénavant aux opérations sur des symboles de degré supérieur, sans même plus se préoccuper de la signification qu'elles auraient si elles étaient « traduites » dans les opérations équivalentes, bien plus longues et plus compliquées, exprimées par les symboles de degré inférieur. A ceux qui ne réussissent pas à « voir » derrière les symboles supérieurs l'ensemble des symboles inférieurs et derrière les symboles inférieurs l'ensemble des opérations réelles d'ordre général représenté par ces derniers, les mathématiques peuvent alors sembler, vraiment, s'être tout à fait émancipées de ces antiques opérations de calcul matérielles, d'abord effectivement exécutées et puis simplement pensées, d'où elles ont pris leur vol hardi. Toutefois il est clair, comme le démontre le court exposé même que nous venons de faire sur l'origine et le développement du calcul algébrique, que ces anciennes opérations ou expériences matérielles continuent au contraire à en constituer toujours l'entier et unique substratum.

Mais, s'il en est ainsi, alors tout passage ou tout résultat intermédiaire de transformation algébrique quelle qu'elle soit ne peut s'empêcher d'avoir, lui aussi, plus ou moins directement ou indirectement, une signification « réelle », c'est-à-dire empiriquement tangible et empiriquement exacte, en tant qu'il représente le résultat de telle ou telle étape dans la série des opérations ou expériences matérielles, simplement pensées, constituant le raisonnement mathématique qui se développe dans cette transformation algébrique. Au contraire, comme tout le monde le sait, quelques résultats intermédiaires du calcul algébrique, se présentant au premier abord comme des expressions dépourvues de E. Ric.na.no. — Psychologie du Raisonnement. 14

toute «signification réelle», semblèrent, dans les siècles passés, ne pas avoir cette qualité et transgresser ainsi cette règle fondamentale de tout raisonnement quel qu'il soit.

Partant, l'étude de ces expressions ou quantités « imaginai ics », et une esquisse des difficultés qu'elles ont renconl rées avant d'obtenir le droit de cité plein et indiscuté, ne pourront manquer, toujours du point de vue purement jisycftologique auquel nous nous plaçons dans ces études sur le raisonnement, d'un certain intérêt, et ne seront point inutiles pour notre but de pousser encore plus à fond l'analyse de la nature psychologique du raisonnement mathématique en général.

Mais pour procéder à l'examen de ces quantités «imaginaires )>, nous devrons naturellement dire auparavant quelques mots sur les nombres positifs et négatifs et sur le symbolisme indirect, qu'ils sont venus à constituer.

Le raisonnement mathématique dans sa phase du symbolisme indirect.

On sait que, sinon toutes lès grandeurs, du moins un nombre considérable de ces dernières, sont susceptibles de se présenter sous un double aspect, que les mathématiciens ont précisément appelé « positif » et « négatif ». Une armée de 100 000 hommes ne peut pas en perdre 120 000 dans une bataille ; mais un possesseur de 100 000 francs peut très bien en perdre 120 000 au jeu ; nous ne pouvons point tirer 12 litres de vin d'une barrique qui n'en contient que 10 litres, tandis que nousrpouvons très bien en abaisser de 12 degrés la température initiale, même si celle-ci n'étail ({ue de 10 degrés : les 20 000 francs perdus au jeu en plus

de ceux qu'on a pu payer et les 2 degrés de refroidissement ultérieur en plus des 10 premiers représentent des grandeurs du même genre que les grandeurs initiales, seulement « de sens opposé ».

Pour représenter ces grandeurs physiques, ainsi susceptibles d'une relation d'opposition, les symboles arithmétiques ne peuvent évidemment plus suffire, ni non phi s les symboles algébriques correspondants, tant que ceux-ci se bornent également, comme les symboles arithmétiques, à représenter simplement le nombre des unités de mesure qui sont contenues dans ces grandeurs. Pour fournir une représentation symbolique de ces faits physiques, susceptibles à la fois de « grandeur » et d' « opposition », il faut recourir à un symbolisme géométrique, au moyen de segments tous pris sur une unique et même ligne droite, dont la longueur fournisse la représentation symbolique de la grandeur du fait physique respectif, et dont la direction fournisse respectivement celle de l'un et de l'autre « sens », en opposition entre eux, que le fait physique même est susceptible de prendre.

Une fois que cette représentation symbolique, de nature géométrique, ait été établie pour ces grandeurs physiques, alors tous les événements relatifs à ces dernières, qui n'en changent point substantiellement le caractère, c'est-à-dire qui ne consistent qu'en changements dans la grandeur absolue ou dans le « sens », pourront être représentés au moyen de directions opportunes, dans un sens ou dans le sens opposé, données aux divers segments, et au moyen de glissement. s relatifs exécutés le long de la ligne droite qui les contieni. Des propriétés, vérifiées empiriquement comme inhérentes à ces changements de la grandeur physique, dépendront ensuite des règles données de glissement propres à donner là représentation symbolique des changements mêmes.

Par exemple, pour représenter symboliquement le fait (]irun corps mobile, parti maintenant de zéro le long d'une ligne droite avec une vitesse uniforme v, se trouvera après un temps tj au même point 'de la ligne droite où se trouvait, il y a t secondes, un second corps mobile qui, se déplaçant avec la même vitesse mais dans un sens opposé, se trouve .maintenant au point zéro, il faudra représenter le mouvement du premier corps en reportant, en partant de zéro, le segment représentant en grandeur et en direction la vitesse v autant de fois en avant, c'est-à-dire suivant la direction même de ce segment, qu'il y a d'unités de temps futur exprimées par le nombre t ; et il faudra représenter, au contraire, le mouvement de l'autre corps en reportant, toujours en partant de zéro, le même segment représentant la même grandeur de vitesse, dont la direction est maintenant opposée à celle d'auparavant, autant de fois en arrière, c'est-à-dire dans la direction opposée à la direction actuelle du segment, qu'il y a d'unités de temps passé exprimées par le même nombre t.

Une fois cette règle et les autres semblables ainsi fixées pour ces glissements de segments, à effectuer tous sur un unique et même axe, de manière à constituer une représentation symbolique des grandeurs physiques susceptibles d' « opposition » et de leurs événements, la question se pose de voir s'il est possible de représenter symboliquement, à leur tour, ces glissements de segments sur un axe, au moyen de signes algébriques convenables. Cela a été obtenu, comme on sait, en indiquant par les lettres ordinaires de l'alphabet les longueurs absolues des segments, en assignant les signes + et — à ces lettres, suivant que les directions des segments respectifs sont tournées à droite ou à gauche, et en indiquant pareillement par les mêmes signes + et — les opérations géométrico-cinématiques de glissement, suivant

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qu'elles sont d' avancement ou de rétrogradation, c'est-à-dire suivant qu'elles sont à faire dans le même sens ou dans un sens contraire à la direction du segment qu'on doit faire glisser.

De cette manière, le double glissement, p. ex., que l'on vient de rappeler, propre à constituer la représentation symbolique géométrique du double fait physique de mouvement des deux corps et du résultat final respectif, devient susceptible, à son tour, de la représentation symbolique algébrique bien connue : ( — t) ( — ç) = v t, qui donne lieu à la « règle des signes » en général que le produit de deux quantités négatives est un nombre positif.

Cette « règle des signes » ainsi que les autres, à observer dans les manipulations des symboles algébriques, sont donc telles qu'elles sont, uniquement pour rendre ces opérations algébriques propres à représenter symboliquement ces glissements de segments, qui, à leur tour, ont été vérifiés comme représentant les expériences physiques. Il s'ensuit que, tandis que les rétrogadations et les avancements de segments, glissant tous sur un unique et même axe, constituent la représentation symbolique directe ou de premier degré d'opérations ou d'expériences physiques, exécutées effectivement ou à effectuer mentalement sur les grandeurs représentées par ces segments, les opérations algébriques, au contraire, à effectuer sur les lettres représentatives de ces segments, conformes aux règles des signes fixées, sont bien, à leur tour, des représentations symboliques directes ou de premier degré de ces opérations de glissement de segments, mais, pour cela même, des représenta i ions symboliques sèulement indirectes ou de second degré des opérations ou expériences physiques mêmes.

En d'autres termes, l'admission accordée dans les mathématiques même aux grandeurs physiques susceptibles

d*opposition a rendu nécessaire le recours à un symbolisme géométrique intermédiaire, «race auquel l'algèbre s'est transformée précisément en représentation symbolique seulement indirecte ou de second degré du fait physique.

En vertu de la constatation faite dans la suite que les nombres arithmétiques ordinaires, ou les lettres susceptibles de les représenter, bien qu'ils n'aient pas besoin par eux-mêmes de ce symbolisme géométrique intermédiaire en tant que symboles directs suffisants pour toutes les quantités non susceptibles d'opposition, pouvaient cependant être remplacés par ce dernier, et précisément au moyen de segments tous tournés à droite, on fut conduit à adopter pour eux aussi ce symbolisme géométrique intermédiaire, et le symbolisme algébrique de second degré qui en est la conséquence. Cela fit que les règles du calcul algébrique, trouvées pour les quantités susceptibles d'opposition, en vinrent à être valables même pour les quantités non susceptibles d'opposition ou arithmétiques proprement dites, pourvu que ces dernières — qui, tant qu'elles sont purement arithmétiques, ne sont ni positives ni négatives — - fussent considérées comme positives. Par là, toutes les quantités, autant celles qui sont susceptibles que celles qui ne sont point susceptibles d'opposition, en vinrent à être équivalentes du point de vue des respectives opérations formelles de calcul, pour lesquelles étaient applicables les mêmes lois ou règles. Et c'est dans cette équivalence, ainsi vérifiée, qu'a consisté le nouveau concept élargi de « nombre », du concept purement arithmétique au concept algébrique.

Nous tenons ici à mettre en relief que toutes les difficultés à être compris rencontrées à leur naissance par les nombres positifs et négatifs, en particulier relativement aux règles des signes qui devaient être observées dans leurs manipu-

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Jations, ont précisément dépendu du fait de ne pas en avoir entrevu dès le commencement l'intime nature de représentation symbolique seulement indirecte : «Les nombres négatifs ont toujours donné lieu à des préoccupations ». « Tout particulièrement, la règle que le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif a toujours rencontré des difficultés, que l'on put bien cacher, mais non point surmonter. On arriva même, comme p. ex. le jésuite Glavius (1612), à considérer toutes ces règles des signes comme justes en réalité, mais en même temps comme absolument incompréhensibles » (1).

Ces difficultés à être compris et les conséquentes hostilités, parfois même très vives, rencontrées dans les premiers temps par ces nouveaux nombres, sont explicables si l'on pense que le symbolisme mathématique en devenant avec eux indirect, c'est-à-dire symbolisme de symbolisme, a rendu médiate et d'autant plus compliquée la relation ([ili le rattache au fait physique, si bien qu'il est d'autant plus difficile de « voir » ce dernier derrière les transformations du symbolisme même. Elles dénotent, en même temps, que l'esprit humain se révolte instinctivement contre toute manipulation symbolique, bien qu'elle soit régie par des règles précises qui se montrent propres à conduire à des résultats vérifiés dans la suite par l'expérience comme justes, si derrière elle et à chacune de ses moindres phases il ne voil pas nettement l'opération ou expérience effective, c'est-à-dire empiriquement tangible et empiriquement exacte, que la manipulation symbolique même représente.

.\biis c'est là ee qui nous apparaîtra d'une manière encore plus évidente si nous passons maintenant, soit même avec au-

(1) A. V,,ss. Ueber das Wesen der Mathematik, 2. Aufîage, Teubhcr, Leipzig, 1013, p. 36-37.

tant de rapidité, à l'examen des nombres dits «imaginaires».

Nous avons vu comment, en vertu des règles mêmes établies touchant la représentation symbolique géométrique des grandeurs physiques susceptibles d'opposition et de leurs événements, et en vertu de la correspondance fixée entre cette représentation symbolique géométrique et la représentation algébrique au moyen des « nombres » positifs et négatifs, le produit de deux nombres négatifs est toujours un nombre positif. Cela exclut, comme on sait, la possibilité que le calcul algébrique, tant qu'il se maintient comme représentation symbolique indirecte de faits physiques réels, puisse jamais conduire à des expressions constituées par des racines carrées de nombres négatifs.

Et cependant ces expressions ne manquèrent point de se présenter. On sait que, dans les premiers temps, les algébristes, au lieu de s'arrêter devant elles, continuèrent à les employer, les soumettant à des règles axiomatiques données de manipulation, fixées de manière à ne jamais conduire à aucune contradiction et à assurer la permanence des lois formelles du calcul algébrique ; tandis que, comme guide éclairant le chemin à suivre dans ces manipulations algébriques « sans sens » - — sans lequel elles auraient inévitablement dégénéré en un jeu puéril d'art combinatoire de signes graphiques — - servit le but que tout algébriste se proposait toujours implicitement, c'est-à-dire de parvenir d'une manière ou d'une autre à éliminer ces expressions « sans sens » pour arriver de nouveau à des expressions seulement réelles (1).

Cette autonomie dont a été susceptible l'algorithme mathématique en face de la réalité qu'il devait représenter,

(1) Cf., p. ex., D. Gigli, Dei numeri complessi a due e a più unità, dans : Questioni riguardanti le matematiche elementari, raccolte e coordinate da F. Enriques, vol. I, Zanichelli, Bologna, 1912, p. 515-516.

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cette introduction et cette application de procédés symboliques donnés avant qu'on en comprît encore la signification, ce fait, apparemment si paradoxal au point de vue psychologique, s'explique par le procédé rappelé plus haut de mécanisation du calcul algébrique. L'habitude, en effet, du maniement d'un symbolisme très développé dispense à la longue de tenir continuellement le regard fixé sur la réalité qu'il représente ; et cela rend possible, parce qu'elle passe presque inaperçue, l'introduction et la manipulation de symboles même « vides de sens ».

On peut dire même que, grâce à cette mécanisation du calcul, le symbole, qui d'ordinaire, comme nous l'avons vu dans nos chapitres précédents, a une fonction simplement passive d' « enregistrement » des concepts trouvés indépendamment de lui-même, a eu ici aussi une fonction active, en tant que les nouveaux concepts, capables de donner une signification à des êtres algorithmiques obtenus presque, dirions-nous, fortuitement par le moyen d'une pure et simple prolongation mécanique du calcul (les racines carrées, p. ex., d'expressions éventuellement négatives), n'ont pu commencer à se former et à s'éclaircir qu'après avoir développé une grande partie des conséquences dérivant de l' introduction du nouvel être algorithmique, encore dépourvu de signification.

Mais que cela n'implique aucunement que l'on puisse au fond se passer d'une véritable signification des symboles, et qu il suffise de fixer pour ces derniers des règles axiomatiques données d'union ou de manipulation, afin que, grâce à ces « définitions implicites » des symboles mêmes, on puisse construire sur eux toute la mathématique, que cette opinion, partagée par un grand nombre de mathématiciens, soit psychologiquement tout à fait erronée, c'est là ce qui est précisément démontré

par ces êtres algorithmiques « dépourvus de sens ».

Dans les premières théories relatives à ces derniers, en effet, nous avons précisément le fait que les conditions pour la définition implicite de symboles au moyen de règles de calcul données sont complètement satisfaites. Mais on connaît l'accueil qu'eurent ces « enti a rationis » tant qu'ils demeurèrent à ce stade de définition purement formelle.

Les conflits et les discussions sans fin qulls ont provoqués, leur rejet de la part des plus grands mathématiciens du temps, les termes, dirions-nous, presque injurieux qui leur ont été adressés (nombres «imaginaires », solutions « fausses », quantités « impossibles », êtres « amphibies », « monstrueux » et ainsi de suite) dénotent le refus énergique du bon sens commun à traiter avec des relations entre des signes graphiques donnés, régies par des règles conventionnelles déterminées, s'il n'en saisit point auparavant la signification. En d'autres termes, ils dénotent le besoin impérieux de l'esprit humain, comme conséquence directe de la nature fondamentale de tout raisonnement quel qu'il soit, de considérer le symbole toujours comme tel, c'est-à-dire toujours comme représentant une réalité physique, et conséquemment de considérer aussi toute opération sur ce dernier toujours comme représentant symboliquement une opération pareillement réelle.

De là il suit que les nombres imaginaires n'ont acquis le droit de cité que lorsqu'on a réussi à leur donner également une signification réelle, précisément celle, comme on sait, de représentation analytique de la direction (1).

Grâce à la conception d'Argand, écrit Hoùel dans sa préface à la réédition de F « Essai » de ce dernier, « les symboles de la forme a + h V ' ~ 1, auxquels on avait réussi

(1) Cf. A. Voss, op. cit. : Ueber das Wesen der Math., p. 38-41.

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à ramener les résultats de toutes les opérations analytiques n'offrent plus rien d'impossible ni d'incompréhensibles » ; ils vont « se traduire par des constructions géométriques parlant aux yeux » (1).

On sait, en effet, epe le symbole i = V — 1 exprime, dans l'Essai d'Argand, la relation de perpendicularité, c'està-dire que a et ia ne sont que des symboles de vecteurs perpendiculaires entre eux. Multiplier un vecteur par b signifie donc simplement le tourner d'un angle droit autour de son origine. Toute expression algébrique complexe, c'est-à-dire composée de nombres réels et de nombres imaginaires, vient ainsi représenter des relations géométriques déterminées de segments situés sur un plan ; et toute opération entre nombres complexes acquiert la signification cl line construction géométrique, moyennant laquelle, sur un plan, on obtient de vecteurs donnés d'autres vecteurs. L'algèbre devient de cette façon un système grandiose de traduction qui permet d'exprimer les opérations géométriques les plus diverses de glissements et de rotations de segments sur un plan avec des manipulations algorithmiques correspondantes.

Prenons, p. ex., les deux expressions, la première réelle, la seconde « imaginaire » : a2 — è2 = (a + b) (a — b) ; a1 — b1 — (a + ib) (a — ib). Comme toute autre équation ou égalité mathématique, elles ne font qu'exprimer le fait qu'un nombre donné auquel on est arrivé d'une certaine manière est égal à un autre nombre auquel on est arrivé par un chemin différent. Seulement la première nous dit que le point auquel on parvient sur l'axe des segments a e1 b, moyennant les trois glissements représentés respec-

(1) J. Houel, préface à la réédition <lo R. Argand, Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constine! ions géométriques (1806), Gauthier-ViHarp, Paris, 187'i, p. xm.

tiveirient par a X a, b X b, et a2 — b2, peut être obtenu également moyennant trois autres glissements, de nature analogue aux précédents, représentés respectivement par a +6, a - — b, et (a -\- b) (a — b). La seconde au contraire nous avertit que, pour le point a2 -|- ò2, ce second mode d'y arriver ne subsiste point, si Fon ne veut pas sortir de Vaxe où sont situés les segments mêmes a et b, mais qu'il en subsiste un correspondant, pourvu que l'on sorte de cet axe. Pour la signification, en effet, d'opérations de glissements et de rotations de segments qui viennent maintenant à avoir les formules algébriques contenant des expressions <( imaginaires », la formule (a -}- ib) (a — ib) vient représenter la construction de deux cathètes tels que le triangle rectangle respectif en vient à avoir pour hypothénuse précisément le segment a2 + b\ de telle façon qu'avec cette construction on finit par arriver sur l'axe des segments au point extrême même du segment d1 + 62.

Les opérations géométrico-cinématiques représentées par des nombres complexes, c'est-à-dire constituées par des nombres réels et par des nombres « imaginaires », sont partant infiniment plus nombreuses et plus variées que celles qui sont représentées par des nombres «réels» seulement, en tant que ces dernières, ne consistant qu'en glissements de segments le long d'un axe, ne permettent pas de sortir de ce dernier, tandis que les premières, qui aux glissements ajoutent les rotations, permettent de s'étendre sur tout un plan et rendent ainsi possible de découvrir, parmi les segments mêmes de l'axe desquels partent les opérations à effectuer sur le plan, un grand nombre de relations qu'il n'aurait pas été possible de découvrir en se bornant aux seuls glissements (1).

(1) Cf. A. Voss, op. cit. : Ueber das Wesen der Matli., p. 58.

Les opérations géométrico-cinématiques représentées par des nombres complexes sont, en outre, d'ordre plus général, en tant qu'elles comprennent, comme cas particulier, celles de simple glissement de segments tous le long d'un même axe. En même temps, le symbolisme algébrique propre à en donner la représentation analytique, constitué par des « nombres » complexes, satisfait complètement au principe déjà rappelé plus haut de permanence des lois formelles, ou d'immutabilité de l'ensemble des propriétés symboliques ; c'est-à-dire que toutes les propriétés et règles qui subsistent pour le symbolisme et pour les manipulations relatives aux nombres réels continuent à subsister aussi pour le symbolisme et pour les manipulations relatives aux nombres complexes, nonobstant la signification changée ou élargie de ces derniers. De cette façon, par rapport au résultat formel de quelque manipulation que ce soit de symboles algébriques, — et l'algèbre, comme le dit très bien Goblot, « n'a pas d'autre objet que la forme des expressions algébriques », — les « nombres » tant imaginaires que complexes sont équivalents aux nombres réels ; et c'est dans cette équivalence par rapport à des résultats formels de calcul, et exclusivement en elle, qu'a consisté, ici encore, l'élargissement correspondant du concept de « nombre » (1).

Cela est si vrai qu'un élargissement ultérieur du concept de nombre à de nouveaux symboles, traducteurs analytiques d'analogues opérations géométrico-cinématiques vectoriales étendues à tout l'espace, n'a point été, à proprement parler, possible, comme on sait, précisément par le fait que ces symboles, ne pouvant plus satisfaire complètement au principe susdit de la permanence des lois formelles, ne peuvent apparaître pour cela même équivalents aux

(1) Ei ( îoblot, Essai cilc : La démonstr. math., p. 275-276.

nombres réels et complexes par rapport à tous les résultats formels des respectives opérations de calcul.

Enfin, il est évident que les opérations géométricocinématiques de glissement et de rotation, représentées par Jes nombres « imaginaires » et par les nombres complexes <pii en dérivent, sont non moins empiriquement tangibles que celles de simple glissement le long d'un unique et même axe, représentées par les nombres « réels ». Il y a cependant cette différence : tandis que ces dernières, grâce aux conventions établies, constituent la représentation symbolique géométrique d'événements quantitatifs ou de changements de sens, relatifs à des grandeurs physiques susceptibles d'opposition, les premières par contre ne sont point capables de constituer cette représentation symbolique. Mais cela donc a lieu uniquement parce que le fait même d'avoir fixé conventionnellement un système donné de représentation symbolique géométrique, implique la suppression de cette propriété représentative dans tout autre système, même si celui-ci, par des conventions diverses, aurait été éventuellement susceptible de constituer lui aussi un autre mode de représentation symbolique.

Il s'ensuit que, tandis que les expressions algébriques à nombres « réels », en tant que représentation symbolique directe ou de premier degré de glissements donnés de segments tous le long d'un unique et même axe, sont aussi une représentation symbolique indirecte ou de second degré d'événements donnés relatifs à des grandeurs physiques susceptibles d'opposition, par contre les expressions algébriques à nombres « imaginaires » et complexes, bien que, en tant que représentation symbolique directe d'opérations géométrico-cinématiques de glissement et de rotation de segmenis. elles aient une signification non moins réelle que les précédentes, ne peuvent pas toutefois être en même temps une

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représentation symbolique indirecte d'événements de grandeurs physiques. Et c'est en cela, en cela seulement, que consiste, qu'on nous permette l'expression, leur « imaginarité ».

Toutefois elles peuvent servir également à découvrir de nouveaux rapports entre ces grandeurs physiques. Car, une fois que celles-ci sont représentées par des segments donnés d'un axe, quel que soit le mode dont on viendra ensuite à découvrir de nouveaux rapports entre ces segments, ces rapports ainsi découverts entre les segments représenteront autant de rapports correspondants entre les grandeurs physiques qui étaient représentées par ces segments.

Qu'il y ait, du reste, la possibilité de parvenir aux rapports mêmes, une fois ainsi découverts, même au moyen d'opérations symboliques ayant toutes une signification physique, cela est prouvé par ìli possibilité qu'on a de concevoir les nombres complexes, même sans recourir à aucune représentation géométrique sur le plan, comme de simples combinaisons de nombres réels.

Cette théorie analytique des nombres complexes est fondée, comme on sait, sur la définition du nombre complexe comme une couple ordonnée de nombres réels, et, conséquemment, toutes les opérations de calcul qui peu à peu sont définies parmi ces nombres complexes — et dont les règles concordent avec celles qui subsistent pour les nombres complexes à' signification géométrico-cinématique — en viennent à être constituées chacune effectivement de plusieurs opérations algébriques communes sur des nombres réels, représentées cumulatif ement dans le symbole de cette opération unique entre des nombres complexes (1).

(1) Cf., p. ex., D. Giglt, op. cit. : Dei numeri complessi a due e ti pin unità, p. 528 et suiv., 531 etsuiv.; et : Cu. Meray, Leçons nouvelles sur l'analyse infinitésimale el ses applications géométriques, Première; Pari Lé : Principes généraux, Gauthier- Villars, Paris, 1894, chap. in, p. 37^-511.

De sorte que toute transformation analytique au moyen dê nombres complexes, conduisant à la découverte de rapports donnés entre les segments de l'axe des nombres réels, vient, grâce à cela, à être toujours résoluble dans une série, même si elle est beaucoup plus longue et bien plus compliquée, d'opérations algébriques sur des nombres réels exclusivement, lesquelles viendront ainsi dans leur ensemble représenter précisément cette voie toute à signification réelle, désirée par le physicien, propre à conduire aux rapports mêmes, déjà découverts par la voie la plus courte (1).

Il nous semble que même ce court exposé suffit pour mettre en évidence les difficultés psychologiques spéciales et ultérieures auxquelles le symbolisme de symbolisme, déjà introduit avec les nombres positifs et négatifs, donne lieu alors qu'il se complique encore davantage par l'introduction des nombres dits imaginaires.

En effet, la difficulté de tenir toujours présente à l'esprit la distinction entre le procédé du raisonnement effectif, à base d'opérations ou expériences physiques tangibles simplement imaginées, et le procédé de sa symbolisation s'accroît d'autant plus que les rapports qui lient le premier procédé au second deviennent plus indirects et plus compliqués ; et elle donne lieu conséquemment à une grande confusion d'idées alors que le procédé symbolique de second degré, tout en restant une représentation symbolique d'une autre catégorie d'opérations empiriquement tangibles et empiriquement exactes, cesse toutefois, dans des moments déterminés de son développement, de constituer désormais une représentation de ce monde physique origi-

(1) Cf. P. Duhem, op. cit. : La théorie physique, etc., p. 27 et sui y.; et : P.'Boutroux, « La théorie physique » de M. Duhem et les mathématiques, « Rcv. de Métaph. et de Morale \ mai 1907i p. 364 et suiv.

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naire que les opérations symboliques, de premier comme de second degré, étaient destinées à représenter.

En outre, certaines généralisations ou extensions de concepts, lesquelles toutefois, précisément parce qu'elles sont telles, comprennent le concept ancien comme cas particulier, altèrent cependant si notablement ce dernier, qu'elles finissent par représenter, en substance, une chose bien différente ; et si le symbole relatif au concept ancien, à la forme extérieure duquel ce dernier avait fini par s'associer indissolublement, est au contraire employé pour le faire servir, sans aucune modification de sa forme extérieure, à signifier aussi le concept nouveau, — comme il est arrivé, p. ex., pour le symbole de la racine carrée de quantités négatives, — il est difficile que cette immutabilité du symbole ne constitue point pour beaucoup un empêchement grave à l'assimilation complète du concept nouveau.

En troisième lieu, les nombres imaginaires ont été inventés — et sont le plus souvent aussi introduits aujourd'hui dans l'enseignement — après s'être heurtés contre l'obstacle d'expressions déjà implicitement dénoncées, par des enseignements précédents, comme dépourvues de sens, et nous dirions presque comme une échappatoire dans le but de fuir l'obstacle même. De là cette espèce de sentiment de défiance vis-à-vis de ces nombres imaginaires, qui met l'esprit dans un état défavorable à leur compréhension et à leur acceptation claire et nette ; sentiment de défiance, que l'on n'aurait pas eu au contraire et que l'on n'aurait pas s'ils avaient été inventés, ou s'ils étaient aujourd'hui au moins introduits dans l'enseignement, dans le même instant que les nombres positifs et négatifs, partant dès le commencement du « plan des nombres », pour procéder aussitôt à la représentation analytique de toutes les opéra- E. Rigna.no. — Psychologie du Raisonnement. 15

lions de glissement et de rotation de segments susceptibles d'être effectuées respectivement sur des axes donnés du plan et sur ce plan.

Enfin, la géométrie analytique est venue de son côté accroître ces difficultés psychologiques de compréhension claire et d'acceptation nette rencontrées par les nombres imaginaires. En effet, en tant que système de traduction permettant de ramener les questions de la géométrie à lâ solution d'équations algébriques et par conséquent en tant que système de «parallélisme» ou de correspondance continuelle d'expressions algébriques avec des lieux géométriques, elle a fait que l'on tendit à chercher le lieu géométrique correspondant même d'expressions algébriques imaginaires. De là les expressions métaphoriques paradoxales, comme celle, par ex., de « points imaginaires » d'intersection de deux cercles du plan qui ne se rencontrent pas, et autres, lesquelles, par suite de l'habitude mentale d'association psychique entre symbole phonétique et objet respectif, ont fait tomber plusieurs dans un véritable état de « mysticisme >v, c'est-à-dire de croyance à l'existence de quelque chose dont on ne sait pas ce que c'est et qui nous apparaît enveloppé de mystère, parce que ce n'est susceptible ni de tomber sous quelqu'un de nos sens ni d'être imaginé au moyen de quelque combinaison que ce soit d'éléments sensibles (1). f

Dans la géométrie analytique, les grandeurs physiques susceptibles d'opposition, pour la représentation desquelles on est convenu d'adopter les segments pris sur un unique et même axe, sont précisément les coordonnées : à des expressions algébriques « imaginaires » ne correspond donc

fi) Cf. H. Berkeley, op. cit. : Mysticism in Modem Mathe* ntalics, p. 70-72, 131, etc.

aucune coordonnée effective, ni donc non plus aucun point que cette dernière aurait dû concourir à déterminer. C'est pourquoi, sous ce rapport, l'usage d'expressions métaphoriques propres à susciter la croyance opposée, serait simplement condamnable.

Mais l'utilité d'expressions semblables, qui a induit les mathématiciens à les introduire et à les conserver, consiste, comme on sait, dans l'analogie de certaines constructions géométriques qu'elles mettent en relief et en d'autres avantages qu'elles assurent, d'économie mentale et de fixation d'une conceptibilité plus large, dont l'importance ne peut certes être assez évaluée.

Ainsi, p. ex., étant donné deux arcs circulaires quelconques qui ne se rencontrent point entre eux, appartenant à deux cercles du plan, une construction donnée nous fait trouver hne certaine ligne droite. Si, complétant les deux arcs, les deux cercles qui en résultent se rencontrent, il se trouve que la ligne droite passe par leurs deux points d'intersection ; si, au contraire, ils ne se rencontrent pas, la ligne droite ne rencontre plus ni l'un ni l'autre cercle, mais, la construction restant la même, pour mettre en relief cette analogie de construction, nous continuons ainsi à dire que la ligne droite passe par les deux points d'intersection des deux cercles, en ajoutant . seulement que ces points d'intersection sont maintenant imaginaires (1).

La propriété de cette ligne droite, ou «axe radical), d'être la corde commune aux deux cercles est donc, pour emprunter les paroles de Chasles, une propriété à elle contingente ou accidentelle, tandis que d'autres propriétés de cet axe radical ■ — par ex. celle qui consiste dans le fait

(1) A. Cayley, Presidential Adress to the British Associai ion in Sept. 188o; dans : A. Cayley, The collecled mat hématie al Papere, Univ. Press, Cambridge, 1896, vol. XI, n. 7,84, p. 438.

que les tangentes aux deux cercles, menées d'un quelconque de ses points, sont égales entre elles, de telle manière que chaque point de l'axe est le centre d'un cercle qui coupe orthogonalement les deux cercles donnés — sont -permanentes, c'est-à-dire qu'elles subsistent, soit que les deux cercles se rencontrent, soit qu'ils ne se rencontrent pas (1).

Or, les solutions imaginaires des équations destinées à nous fournir les coordonnées des deux points éventuels d'intersection des deux cercles sont là pour indiquer qu'effectivement ces derniers ne se rencontrent pas et que, par conséquent, la propriété contingente de l'axe radical d'en être la corde commune ne se vérifie point ; toutefois, elles en représentent, non moins que les solutions réelles, bien que par une voie indirecte, les propriétés permanentes. En effet, si par le même système dont on construit l'équation algébrique de la ligne droite passant par deux points réels dont les coordonnées nous sont connues, on construit maintenant l'équation algébrique analogue en se servant au contraire de ces expressions imaginaires, et si, moyennant des transformations convenables, on élimine ensuite de l'équation les quantités imaginaires, — ce qui dans ce cas est justement toujours possible, — l'équation réelle ainsi obtenue nous donne tout de suite l'équation de l'axe radical. Au contraire, l'établissement de cette équation serait beaucoup plus long et beaucoup plus difficile, si on devait le déduire en traduisant analytiquement les propriétés permanentes de l'axe radical même.

En outre, non seulement ce sont précisément les propriétés contingentes qui ont été découvertes avant les propriétés

(1) M. Chasles, Aperçu historique sur V origine et le développemeiit des méthodes en géométrie, 3e éd. conforme à la lre, Gauthier- Villars, Paris, 1889, p 205-206, et sa Note XXVI : Sur les imaginaires en géométrie, ibid., p. 368-370.

permanentes et qui nous sont pour cela plus familières, mais ces propriétés permanentes ont été à leur tour découvertes (T abord uniquement dans les figures qui présentaient aussi les propriétés contingentes. La découverte de ces propriétés permanentes même dans d'autres figures qui ne présentaient plus les propriétés contingentes n'a eu lieu que postérieurement. Elle a ainsi produit un élargissement de concept, en tant que, par rapport à ces propriétés permanentes, on a vérifié que des figures diverses étaient équivalentes entre elles, qui n'avaient pas apparu au contraire équivalentes par rapport aux propriétés contingentes. Et les « points imaginaires », dont les expressions algébriques représentent, par voie indirecte, comme nous venons de le voir, ces propriétés permanentes, et qui nous apparaissent comme une extension du concept de point, servent ainsi très bien à fixer ce nouveau concept plus large de figures équivalentes par rapport aux propriétés permanentes mômes.

Donc : relief donné à l'analogie de certaines constructions géométriques, facilité plus grande dans la transcription analytique de certaines figures, fixation de concepts nouveaux plus larges, ce sont là les avantages qui militent en faveur de ces modes métaphoriques paradoxaux d'expression. En face de ces avantages se trouve cependant toujours le grave inconvénient, rappelé plus haut, du danger que l'esprit ne supporte point la tension nécessaire pour embrasser la réalité indirecte et compliquée qui se cache derrière chacune de ces expressions et qu'il cède plutôt à son inclination naturelle simpliste d'attribuer à ces dernières la signification immédiate d'un objet réel qu'elles représentent, lombant de cette façon dans le plus fantastique et le plus nébuleux mysticisme.

De tout ce que nous venons de dire, il nous semble que

l'on voit apparaître clairement les raisons psychologiques en vertu desquelles le raisonnement mathématique, tout en demeurant, même dans sa phase de la symbolisation indirecte, effectivement inchangé dans sa nature fondamentale, a dû toutefois donner lieu, en face de la phase précédente à symbolisme direct, et précisément pour le fait de recourir à un symbolisme de symbolisme, à des difficultés spéciales, qui nous ont servi, du reste, à pénétrer encore plus à fond dans l'analyse du procédé mental constitué par le raisonnement mathématique. Nous verrons que le raisonnement mathématique a rencontré et rencontre des difficultés d'un autre genre, mais sous certains rapports non moins considérables, dans ses phases de la condensation et de l'inversion symbolique, dont nous nous occuperons dans notre prochain chapitre.