Ch. XIV, segm. 5, ou c, XI

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mais l'espèce de la figure n'est pas changée, c'est-à-dire qu'elle reste un carré. »

De pluSy le gnomon exprimant la différence de deux carrés peut être, en certains cas du moins, équivalent à un carré parfait ; ainsi, dans la proposition du carré de l'hypoténuse a* = b* -f- cS le gnomon a* — b*= c*.

SiBA'=fcBA = c, CB = a CA = b.

le carré de c -|- le gnomon CDE = b*.

Ainsi, le gnomon est non pas égal en dimension, mais analogue en son espèce, du moins par équivalence, au carré dont il est complémentaire.

Enfin 9 en arithmétique, le gnomon avait la propriété de donner la formule des nombres impairs, 2n-{-l, c'està-dire que le carré de tout nombre im pair est égal au carré du nombre pair qui le précède immédiatement dans la série naturelle des nombres, plus deux fois ce nombre pair plus 1. Car si a = n-t- 1, b=n^ c=l,

on a (n -f- 1 )^ = n* -|- 2n -|- 1, expression dans laquelle le 2n-|- 1 représente le gnomon. *

Or on voit ici se produire le fait que remarque Aristote dans ses Catégories : les nombres impairs ajoutés aux nombres carrés reproduisent toujours des nombres carrés : l'expression de gnomon peut donc être considérée comme, équivalente de celle des nombres impairs.

Si, en effet, on ajoute à l'Unité, mère des nombres, successivement chacun des nombres impairs de la série naturelle, on obtient un nombre non pas pair, mais carré.

Soit 3 — 5 — 7 — 9.

Et si Ton opère géométriquement la construction, on verra que si au carré AC = 1 * on ajoute les gnomons, on a la figure en équerre représentée d'abord par 2bc + c* puis par 2bd + d^ ; on aura de la sorte toujours des figures de dimension plus grande^mais toujours de même espèce, tandis qu'au contraire si à l'Unité on ajoute successivement chacun des nombres pairs, et tous ensemble, on arrive à produire des nombres et des figures étéromèques, tous différents entre eux. Qu'est-ce que ces nombres éléromèques? Nous en trouvons une explication assez obscure dans lamblique^

Il y a, dit-il, une distinction à faire entre la formation des nombres carrés et celle des éléromèques, ou nombres plans oblongs*.

Pour les premiers, on part de l'unité, et l'on y revient, en sorte que les nombres placés en forme d'un double stade, vont en croissant jusqu'à la racine du carré ; cette racine forme comme la borne du stade autour de laquelle tournent les nombres pour revenir en diminuant jusqu'à l'unité d'où ils sont partis; ainsi : 12 3 4

5 = ^25 * 12 3 4 , Dans la formation des éléromèques il en va tout autre-