COMPRESSION INSTANTANÉE DANS UN LIQUIDE
S 1. — Position du problème.
Nous laissons tomber à plat, sur la surface d’un liquide en équilibre dans un vase immobile, une pièce de monnaie circulaire, de dimensions petites par rapport à la distance de ses bords aux parois du vase et à la profondeur de celui-ci; nous Ÿ
aurons ainsi le droit de considérer ce liquide comme indéfini (fig. 12).
IÉRQUSR
La force vive de la pièce se trouve, après le choc, répartie entre la pièce et le liquide; chaque particule de ce dernier reçoit une compression instantanée, de telle sorte que celles de ces particules qui sont à la surface prennent un mouvement ascendant et produisent des « éclaboussements ».
Pour analyser ce phénomène, choisissons un système de coordonnées ayant pour origine le point o de la surface du liquide qui coïncide, au début du choc, avec le centre de la face inférieure de la pièce de monnaie, et pour axes trois axes rectangulaires passant par ce point, l'axe oz étant vertical et dirigé vers le bas.
Le choc produit une percussion qui se transmet instantanément à toute la masse liquide; pendant la durée + de cette percussion, la pression en un point M(æ, V2)
de la masse liquide acquiert une valeur p(æ, y, 2) qui, en certains points, peut être
\ L LI très grande et de l'ordre de —; nous poserons TC
P(x, y, z) — J : p(&, ÿ, 2) dl
et cette fonction P recevra le nom de percussion de pression au point M.
La vitesse du point M étant nulle pendant la percussion, les équations d'Euler
donnent / dp
a dE
(24) LES De dy S dp
(| + eu = —w",
où nous avons pris la densité du liquide égale à 1, grâce à un choix d'unités convenable.
Nous appelons W la vitesse (verticale) de translation de la pièce à l'instant du choc, W, sa vitesse après le choc (à l'instant +), V(u,v,w) la vitesse après le choc
de la particule liquide située en M.
Se ANT, :
(25) 10 v'dt = v, Le 1 w'dl = w.
Oo
L'intégrale [où est négligeable, ,
ce qui permet d'écrire les équations (24) sous la forme
On a
dP dæ dP : ARE (26) dy , . dP dZ
Si nous portons ces valeurs de u, v, w dans l'équation de continuité
du an dw mr, = == O,
ù dx dy 2
celle équation devient
Mb PP P2 SP
27) ET PE S dy”
Î dX® :
dz qui n'est autre que l'équation de Laplace.
Donc la fonction P, potentiel de la fonction V, est une fonction harmonique dans toute la masse liquide. Elle est nulle en tous les points de la surface qui ne sont pas au moment du choc au contact de la pièce, puisque la pression en ces points reste égale à la pression atmosphérique: elle est nulle également aux points intérieurs du liquide qui sont assez éloignés de l'origine pour que V y soit nul: car pour tous ces points la fonction P est constante et égale à la valeur qu'elle prend aux points de la surface, c'est-à-dire à zéro. »
De plus, tous les points de la surface du liquide qui sont au contact de la pièce pendant la percussion prennent la même vitesse verticale W,, égale à celle que la
pièce prend après le choc. On a donc pour tous ces points
Nous n'avons pas tenu compte de la viscosité. Il est facile de montrer, avec M. Vergne, que son influence est effectivement négligeable.
Remplaçons les équations d'Euler (24) par les équations de Navier,
. dp UP = — u' + rAu, È LES
{ à ot cp LA" 4 (24 bis) re + Av, op ; ee = — 0 +<g+nAw,
dans lesquelles x désigne le coefficient de viscosité du liquide. Le terme
£ L [sut .
el les termes analogues étant négligeables, nous voyons que l'on tire toujours les équations (26) et l'équation (27) de l'équation (24 bis).
S 2. — Recherche de la percussion.
La fonction harmonique P est donc déterminée en tous les points de la masse du liquide; elle est nulle en tous les points de la frontière de ce domaine, sauf aux points d’une certaine surface circulaire plane pour lesquels on connaît sa dérivée normale — W,.
Soit C le rayon de la pièce; considérons toutes les quadriques de révolution dont le cerele focal a pour équations
z 2 2 TS FX CID),
