AB
’ dx F dy dz° el en remarquant que \ dx du — — — O di dx dx
(car les surfaces sont orthogonales), l'équation (35) s'écrit
| 2 YQ 1Q Q 36 NS TE Ne ee = eo RE DANSE PEN EE
Les équations (30) et (31) donnent :
M n n du du du dx dy dz 2 dæ dy dz 87) === Se LS Fe fe , \x Ày (c + ))z À—u — px — pÿ —(c +u)z d
(‘) Considérée comme fonction de x, y, z par l'intermédiaire de À, u et ».
d À 2) Su dX* TU EVE à | 5 Ÿ ?
dx APE (À — y) dx AE 2À SU F dy” pas Tee u. (À — u) ; d'A … 9(c +) S(C +HA)(+u) , . DRE RENE nPL(NES we?
(38) à ( H) US ou Bu) S dx u — ) (u — )) , du 2u. 8.) É RE VE dy ue — } (u—)2) * ?
æ dy. Dr 2(c* + u.) 8(E* + À) (c° + a) 7 dz” ue — À (nu — 2) ds / /, Cr? ,2 a L e BAC + À 2 NL CR) À "y A u(c* Ada AREAS ri EX (39) s 2(C° + 3x see s NV | 2(C° + 3u) AU = ————— |.
0 \ bd > À :
L'équation (36) devientfquand on remplace A2, A,), Au, À,u par les expressions ci-dessus : |
à Q 7 2910 ù à (40) QUE + D) 2 — ouf + y) = + (cc + 3à) noue (c° +3) ee 10 L'RAn S du. ; dÀ du.
S 3. — Intégration de l'équation de Laplace.
Cette équation se décompose dans le cas où la solution cherchée est un produit
de deux fonctions dépendant chacune d’une seule variable, c'est-à-dire si nous posons
QC, u) = JQ) : o(u)
et il vient
E est évidemment indépendant de À et de x, done constant. A chaque valeur de E correspondent les équations /
au + + (ee ES) f —Ef—-0 \ \ ù \( J ?
{ aute + u) 2" + (e° + Su) 2 — Es — 0.
Les conditions aux limites vont nous renseigner sur la forme des fonctions JA)
et s{u) qui sont susceptibles de satisfaire à ces conditions tout en vérifiant les conditions (42) :
#) A la surface du liquide, en dehors du cercle de centre o et de rayon €,
km —0O; on doit avoir P—o quelque soit À; donc 5(0o}—=0.
b) Aux points du liquide suffisamment éloignés de l'origine, À— + ; on doit avoir P—o quel que soit x: done
non nul, et
€) Aux points du cercle de centre o et de rayon €, À—o; on doit avoir P fini, àP
Or,
dP ù 2 dQ à RSS
al EE A OR RU (CHIC D AVEREE
Due « ——— ss. CL SE . à } ne PIRE NS
dë dÀ àz Qu d2 à FE °° CG — x)
Puisque /(o) est fini, le terme s'.f.(e +u)
s'annule pour À — 0.
Done le terme
V— du
| ne LU ce w , —/
nul, indépendant de x. Ceci exige que La deuxième des équations (42) est vérifiée par une fonction de cette forme si on donne à E la valeur 1; la première de ces équations devient alors 2(C + +(+3)f—f—=0o.
Sachant qu'elle admet la solution particulière
f=Vrà
QUELQUES APPLICATIONS DE L'HYDRODYNAMIOUE. hg
nous trouverons facilement son intégrale générale
AIS A | 1 + VA arcig V£ | + B V2
d’où
DR el; LV rois v’ + vi) :
en appelant K et K' deux nouvelles constantes arbitraires. Les conditions aux limites permettent de les déterminer si on suppose connue Ja vitesse finale W, de la pièce de monnaie. En effet :
a) Q(à,0)—o est vérifié;
b) Q(+,o)=o est vérifié si K'—-——,
À VE 7 ARS : TS car — | arctg — — à a pour limite — ; quand } augmente indéfiniment; C C 2
| va Va = F|2V=w,, : + —— |1 + — arclg — — — se INC C C 20 | (à — y) Pour X=—=0; PA + ùz ve 2 d'où Le ha A 4 rar k A svi : Lo ÊÆ ae re Re c EE" ec
Remanque. — Nous pouvons remarquer ici que les équations
e à 49 < V0, À 0, ‘ 1 + } Se E
sé (28) y* 2° D G ——— + —— 1] —=0, u<TO, + d d
bO J. BERGE.
auraient pu être écrites sous la forme
} à Re TE MR ET SRE AN = Un) CR, SAN,
Ni > à
nm Aou “ * € FE À 0, cos u, SIN u,
en choisissant des paramètres X, el uw, liés à À et à x par les relations
\=CSRk d s = — esin LL * On aurait eu & == CGAÀ, COS uv, COS y, y = CGR, cos u, Si v, = CSA, Sin»,
et un calcul tout à fait analogue à celui que nous avons fait nous aurait fourni la
fonction
OS We. SCT EQE: rh (43 bis) Q,= —— sin u,| 1 + ShÀ, arctg (SAX,) — 7 SA,
qui est identique à la fonction Q (équation (43)). Le seul avantage de cette méthode est d'exprimer commodèment les coordonnées
d'un point en fonction des paramètres.
S 4. — Calcul de W,.
Nous avons vu au paragraphe précédent que le problème serait entièrement résolu si nous connaissions W,, puisque l'équation (43) donne, en«chaque point de la masse du liquide, là valeur de la percussion de pression subie par là particule qui y est située; et nous savons en déduire, grâce aux équations (26), la vitesse de celle particule au bout du temps =.
La théorie des percussions va nous permettre de calculer W, en fonction de la masse M de la pièce de monnaie et de sa vilesse W au moment du choe.
La variation de la quantité de mouvement à pour projection sur oz
+ MW, —W).
Soit Q(u) — Q(0, x) la valeur commune de la percussion subie par les points du cercle de gorge, de rayon Y', de l’hyperboloïde correspondant à la valeur y du paramètre. La percussion subie par un anneau circulaire de rayons Y et Y + dY aura pour valeur
2rY Q (a) dY
et comme on à (formule (33))
ii UE l'An
la percussion totale sur la face inférieure de la pièce de monnaie aura pour valeur
+e Q,(u.) du.
Mais on a
poste,
gs
On trouve facilement, pour la résultante des percussions, (44) PE Lo W:
Nous devons écrire que cette résultante est égale à la variation de la quantité de
mouvement, ce qui donne
(45) +MW,—W) = — 3 CNW Nous rendrons celte formule homogène en rétablissant au second membre la densité du liquide, que nous appellerons :. Nous pouvons remplacer M par sa
valeur reed, en désignant par e l'épaisseur et par d la densité de la pièce. Et nous
aurons W (46) W Le TAC 0 HR TT
Donc, la vitesse après le choc est proportionnelle à la vitesse avant le choc et lui est toujours inférieure; elle croît avec la densité de la pièce et avec son épaisseur, mais décroît quand le diamètre augmente. Comme la vitesse de la pièce avant le
choc, elle est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur de chute.
Le DB
$ 5. — Vitesses après le choc.
La vitesse W, étant ainsi bien déterminée, nous pouvons revenir aux formules (26) qui donnent l'état des vitesses dans le liquide immédiatement après le choc
LEP PRE VER > RC ae OO ES D , dP* .: 2W.c En ) 2 RER dy rm (X—u)(c + à) dP a Wie Va C V À WI — nee à dz Aa QE 5 C À —u
avec L'==1\7c0s v; = SM % (À + c°) (ue + Cr) == RARE UN D TR .
Ces formules permettent de déterminer exactement, en tout point du liquide, la vitesse de La particule liquide qui y est située. Les particules qui sont au contact de la pièce ont une vitesse verticale W, et celles qui sont situées sur la surface libre UPPER ET ELU —<-, c'est-à-dire BA/2X qui est d'autant plus grande que À est plus petit, ou que la partieule est plus rap-
(u —0o) ont une vitesse verticale ascendante qui croît comme
prochée de la pièce.
Cette vitesse très grande des particules liquides situées au bord de la pièce est la cause du phénomène des éclaboussements. Les gouttelettes sont projetées verticalement avec une vitesse qui est fhéoriquement infinie, mais qui, pratiquement, est finie et d'autant plus grande que le produit
; W RES ’ I A TERA © | 3x d.e est plus grand. 2
Ce produit augmente avec le rayon ec de la pièce de monnaie et aussi, bien
entendu, avec la vitesse de chute W.
Les formules (43) permettent, en outre, d'étudier comment varie la vitesse à l'iutérieur du liquide à l'instant =; cette étude est particulièrement facile pour les points situés sur l'axe oz, pour lesquels on a
CPC REER, U= V = O, SANT Z cz w = tee EE C CH comme dv ES I REG W, + 22 ?
dz "(É+LZT
on voit que w décroît rapidement quand z augfnente.
Pour z=—c, on trouve == oo WW;
pour Z—2€,
S 6. — Lignes de courant.
Les lignes de courant sont représentées par les équations
d'a L'ATESdz
En chacun de leurs points elles sont tangentes à la vitesse de la particule liquide située en ce point. Par symétrie, elles sont situées dans des plans passant par l'axe vertical oz et nous pouvons nous contenter d'étudier celles qui sont dans le plan
zoæ et qui sont représentées par l'équation
9) Due
u et w ayant les valeurs (47).
Cote Àu pare.
d'où É CEA c*) dx + (À + €?) du LS AC où EC) (ui eV 2°
ui + du
dz ER me 2CV— Àu
L’équation (48) s'écrit, en éliminant x et z :
Où + ec?) du + (u + €?) dà udx + ) dy.
+ (y + €?) “Are ; a Va ET ve @— y) — cv |
ou encore
| du.
Va (À + c°) | (£ — arclg ES (A — y) —c vi | + CÂ(u + ch
ee x + (ue + €) | 2 (=- arctg È ) (Qi — u) — ex + ca | Ie 0 .
qui devient, après simplification et division par le facteur À — , we 7 à VX (£ — are V2) = du 2 C p ————— = — = Œx .
7 À ad (= — arcig 25 VA (À + €) — € Ke C |
ds 5 ( | œ A Re Ba Va (= — arclg =) AA :
2 Pme REEro AE
” donc
ANR TA cd
pæ+ co NAN lr 7 = (À + c°) | ( — ete V2) Va (À + €) — |
QUELQUES APPLICATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. 59 d’où SU < cd log (u + ce) (À + €) — = LEE 2 Rec EL T ) Eu / % = (À + €”) (T arctg N'ADEC Lo Ate:
Posons À = Ca Lg D.
d\ = 26° \g afr + Lg x) du, l'intégrale ci-dessus devient :
Pre I > 24 1 + tg'æ + == rs à Fe Lo & (E—a)o + tgt0 gs OP AN sr 2 2 IEEE
ee / 1 + COS 2% on
Te 2% -SUUIY
en posant encore
FN YE il vient FE COST 2 log (u + €) (À + €) = Je ET dy = — log (y — sin y), y — sin y
— — log | =— 2 arcig ee — sin (2 arctg A ; VA ac a]
— — log | x — 2 arctg — — ——— |, | 8 CES
Les lignes de courant ont donc pour équation
(49) (u + c°) | e — arclg Le (X + €) —c vi =,
C étant une constante arbitraire.
La ligne de courant qui part de l’origine correspond à C—o. Le facteur
” nt /X Es ee — arcte =) (À + c)—c Va
ne s’annule jamais, car, au facteur près, on peut l'écrire
Tr — 94 — Sin (rx — 2%) CO.
Cette ligne de courant a donc pour équation
c'est dire qu’elle est confondue avec l'axe oz.
Considérons maintenant une ligne de courant quelconque; soient 19 EC. DRAC
les abscisses des points M, et M,; où elle rencontre ox. On a
LE ECS RO :
D ce REC WA OS
En posant
il vient
par exemple, pour *
on a
, — 0,09 C environ.
Cet exemple montre que le point M, se rapproche très rapidement du point o. lorsque le point M, s'éloigne du bord de la pièce (fig. 13). La tangente au point M, a pour coefficient angulaire (équations (47))
( Vu Ve + x, uw RE MR en Es Ne,
u an 2%.
et la tangente au point M, est verticale, car (2) == 00. ” u 10
w : L me :
Comme ee reste fini et continu entre ces limites, la courbe a, dans sa partie
située à droite de oz, la forme représentée par la figure 13.
A o Mo DC M, S
Fic. 13.
Le maximum de z correspond à w —0o, c'est-à-dire
À et w étant liés par la relation
(50) (uw + c°) [a + c°) (= — arctg is — € | = : (PET ARTS
Éliminant y entre ces deux équations, on trouve, par une réduction facile,
| a + €) (Z—arctg v} —cvi) | 2 e 4 RSS
(51) à ao
T L À — — ArELg — 2 8 C
-D'après l'équation (50), lorsque u + c* croît de o à +”, le facteur
