DÉPRESSION INSTANTANÉE DANS UN LIQUIDE

$ 1. — Formules générales.

Lorsque l'on découvre brusquement un orifice percé dans la paroi d’un vase contenant un liquide, la pression des éléments liquides placés à l'orifice prend instantanément la valeur de la pression atmosphérique; il en résulte une dépression qui se transmet dans toute la masse liquide et provoque une brusque diminution de la poussée que le liquide exerçait sur les parois.

C’est cette dépression que nous nous proposons d'étudier. Nous nous bornerons au cas des mouvements parallèles à un plan fixe, ce qui rendra les calculs moins arides et permettra de les pousser plus loin. Les résultats ne seront pas modifiés d’une façon essentielle. Également dans un but de simplification, nous prendrons la densité du liquide égale à l'unité.

Plan z

Soit donc ACDB la section droite du vase, que nous supposons formé par un cylindre horizontal assez long pour que le mouvement soit identique dans toutes les sections droites. L'orifice sera la portion de paroi cylindrique comprise entre les deux génératrices C et D. Avec les notations usuelles de l'hydrodynamique, les

équations d'Euler et l'équation de continuité s'écrivent dans le cas du mouvement à

deux dimensions :

[ àp du du du PIS PR EE) ET dx y de dy (1) / dp dv dv dv D ——\— —U— —0 = Y—v dy dd dx dy Ge du dv 2) OT dx dy

Ici la seule force est la pesanteur et les vitesses sont nulles, à l'instant considéré ; on a donc (*) :

dp dt he is “ dp ; = —(j —V, | dy J ur HP Tot »' dv Te

c'est-à-dire, en verlu des équations (3) :

2 2 (a re

(ph 9Y) De (P+ gy) = 0: .

dx” Posant p + gy — H, nous aurons AH — 0.

La fonction H est donc une fonction harmonique; il est possible de la déterminer dans le domaine d, car nous connaissons les valeurs qu’elle prend sur certaines parties de la frontière et les valeurs que prend sa dérivée normale sur les autres parties. En effet, sur l'orifice y.,, p est égal à la pression atmosphérique et gy est donné par la forme de la paroi et par la distance de ses points à la surface libre; sur la surface libre w,, p est également la pression atmosphérique et gy est

(*) Indiquons ici, avec M. Langevin et M. Vergne, la liaison étroite qui existe entre la pression et l’accélérotion. ÿ

nul. Sur les parois conservées À, et à,, l'accélération est tangente à la paroi, d’où il résulte que la dérivée normale de son potentiel H est nulle. Celte dernière circonstance, très particulière, va nous permettre de modifier le problème en le rendant plus facile, grâce à l'introduction d’une représentation conforme du domaine d.

Nous avons évidemment le droit de supposer que p représente l'excès de Ja pression sur la pression atmosphérique; et, dans ces conditions, If sera nul sur y,

et égal à gy sur u,, tandis que, sur À, et sur À,, on aura :

{ aH

dan

ot

Pour déterminer cette fonction H, nous lui adjoindrons une fonction harmonique conjuguée FH”, ceci afin que la fonction H + {H" soit une fonction analytique.

Nous aurons done :

dH = s on il en résulte oH' 0) ds d'où, sur ces parois :

Hi Ge:

Comme nous le verrons par la suite, la fonction H'- n'intervient que par ses dérivées et par la différence des valeurs, respectivement constantes, qu’elle prend sur À, et sur À,. Nous pouvons donc choisir ces valeurs arbitrairement, soit zéro sur À, et a sur à,, à élant lié à la largeur de l'orifice CD et à la forme du vase

dH' (9 Mn dsr HETOS

Dès lors le problème proposé se ramène simplement à la détermination, dans un

par la relation

domaine d, d’une fonction analytique H + iH', connaissant les valeurs que prend sa partie réelle H sur certaines frontières du domaine et les valeurs que prend sa partie imaginaire H' sur le reste des frontières.

Ce problème est un de ceux dont la solution complète a été exposée et explicitée

par M. H. Villat, dans un Mémoire sur la résolution de certaines équations intégrales (Acta mathematica, &. XL, pp. 103-178).

Les formules données par M. Villat s'appliquant au cas d'un domaine soit annulaire, soit rectangulaire, nous devons, pour les appliquer, employer une représen{a-

tion conforme et faire correspondre, par exemple, au domaine d du plan z, un

domaine D d’un plan Z, puis chercher dans ce nouveau plan la fonction transfor-:

mée de la fonction H +:H”.

Cette représentation conforme sera plus ou moins fecile à exprimer suivant les

cas, mais nous sommes assurés qu'elle existe si la section du vase constitue un domaine d d’un seul tenant. Nous nous occuperons plus tard de rechercher la fonc-

tion Z(z) qui la définit.

dE Plan Z “3 Lo À, D 22 e fi CUX FiG/"2.

Pour le moment, supposons le domaine D du plan Z constitué par un rectangle ayant un sommet à l'origine, le côté réel correspondant à la paroi amovible y...

Appelons 6, la longueur commune des côtés horizontaux de ce rectangle et — la

longueur des côtés verticaux. Nous prendrons w, et w, comme périodes d'une fonction elliptique pu et toutes les fonctions que nous emploierons jusqu'à nouvel ordre seront déduites de cette fonction pu. : Le côté inférieur du rectangle (Y—0, oX<Zw,) correspondant à la paroi amovible ,, nous désignerons par ®(X) la valeur de gy en un point de cette paroi, exprimée en fonction de l’absisse du point correspondant dans le plan Z.

Ceci posé, nous n'aurons qu'à appliquer la formule donnée par M. Villat dans :

son Mémoire (Loc. cit., p. 156) en y remplaçant simplement par Œ(X), a, zéro et zéro les valeurs que prennent alternativement H et H' sur les parois p,, À, pe 4 Des

et nous trouvons

H + in = os PO IUZ DHL ED] dt — = je a[L(Z = ip) -+ U(Z + id) dt

d’où G) Ho =" PO LUZ —E + KZ +0] dt — Ta 7

avec la condition

mn

: noie Le) L

qui exprime l’uniformité de la fonction dans le domaine.

De l'équation (5) il résulte que a est négatif comme (fl) — gy.

Les équations (3) peuvent s’écrire, comme nous l'avons vu,

are Son Re ; dH dH' v' = — = — dy da ce qui donne ESS dH , .oH D'ERREUR u — iv = — ii = —— —i : or ù dx dx et de là (6) M Su ie. | 21 (4 Z Si on pose » d(H + iH PHIQ—— Se?

on aura \ Ë az (7) u—1v. = (P RE

Les fonctions P et Q dépendent de la forme de la paroi amovible par l'inter-

dz tion qui définit la représentation conforme du plan z sur le plan Z et qui fait

médiaire de (4); dépend de la forme de la section du vase; c’est cette fonc-

correspondre le domaine D au domaine «.

Pour déterminer commodément celle représentation conforme et expliciter

SA ‘ Ar SN UT as.

la fonction re LE emploierons un procédé très ingénieux indiqué également dz

par M. Villat dans un autre Mémoire (H. Villat, Sur la représentalion des aires doublement connexes, Ann. de l'Éc. normale, juin 1921) pour la résolution de problèmes analogues. Ce procédé consiste à utiliser une interprétation mécanique, qui facilite et rend naturelle la marche des calculs en les rapportant à l'étude du mou-

vement d’un fluide.

Imaginons que nous étendions sur chacun des domaines d et D une couche de fluide homogène, non tourbillonnaire, de densité 1, animée d'un mouvement permanent. Choisissons ce mouvement de telle sorte que, dans le domaine D, parcouru de gauche à droite, les côtés horizontaux du rectangle soient des lignes de courant et les côtés verticaux des lignes équipotentielles. Ce mouvement est évidemment réalisable: la représentation conforme de D sur d. lui fait correspondre un mouvement analogue du fluide étendu sur le domaine d; ce mouvement n’est peut-être pas réalisable physiquement, mais du point de vue du calcul, Son existence est assurée

par l'existence de la fonction z(Z).

Fo À) : À, D À F | mn Plan z Plan Z