FIG

Quoi qu'il en soil, appelons # le potentiel des vitesses du fluide dans le plan z qui contient le domaine d: zéro et +, les valeurs de cette fonction sur x, et », respectivement; 4 la fonction de courant: zéro et +, les valeurs qu'elle prend sur

Let sur p.°

Posons f= 9 + i d'où af RÉ u — iv

en appelant u el v les projections sur les axes de la vitesse du fluide en un point. Si nous posons

dz —iQ 1—i® T ns ——e —e —e (cos O — i sin O),

nous voyons que T est le logarithme de la vitesse au point d’affixe z et que @ est l'angle que cette vitesse fait avec ox.

Or la vitesse, d'après les hypothèses faites, est langente à la frontière si le point z est sur y, ou sur p,, et normale à la frontière si le point z est sur À, ou sur À}

Donc, si nous connaissons la forme du vase, nous connaissons la partie réelle @ -de (2 sur toutes les frontières du domaine d.

Appelons F4), F(4), F(t) la suite des valeurs de l’inclinaison sur ox de la tangente à la paroi, orientée dans le sens direct; lorsque le point = parcourt respecti-

CAC)

vement les parois 2,, u., et 2,, la paroi 7, étant parcourue dans le sens AC (Jig. 1), c'est-à-dire dans le sens des Y croissant (dans le plan Z), les parois y, et À, dans le sens opposé.

Les valeurs de ©) sont :

sur }, FC) + (normale intérieure) sur y, F(4) sur à, F,(E) — — (normale extérieure) sur L, 0

F+zx

./ Fig. 4.

et une autre formule du même Mémoire de M. Villat (Acla math., t. XL, p. 153), auquel nous avons déjà eu recours pour la fonction H +ill', nous donnera la fonction ©). En effet, nous connaissons la partie réelle de Q en chaque point de la frontière d'un rectangle de dimensions 4, et L,. Nous poserons

et nous construirons avec les périodes w, et w, une fonction elliptique pu. Dans ces conditions, la formule de M. Villat donne :

o=2 f'rORG-0-+mia 2 f CO CCET EE CEIL

+ ef (Fu) L =) LEZ ZE D] dt Q=— 7k OUPS “L F,() E,CZ — it) — KZ + à0)] dt

se e EG) [HZ — à) — KZ + it)] dt + = Je AT TE D MA = (TEEN) tar,

Le dernier terme s'écrit :

L fU cetie 2 + cut + 9) + Le 2) + EG À Pat

2 Jo

ou, après intégration,

MN OEM C LC) — Log x 2 =

La constante 5w, est imaginaire pure; 5,0, est réel; donc le produit co, 50, 4 +

est négatif el on peut poser

N étant réel et égal à (T. et M. XXXI r)(°)

2 2 e « Jr no (8) Nec eee SHC Mr ON 3 2e 45434 Le dernier terme de Q s'écrit alors :

GAL t Log N = DAC £

IL est inutile d'expliciter la détermination du logarithme, puisque c'est la fonction e” qui,seule importe ici.

D'autre part, les hypothèses faites, en particulier le choix des périodes 2, et 2w,, entraînent l'identité des fonctions f et Z, etona

(:) d'adopterai les notations du Traité de Tannery et Molk sur les fonctions elliptiques (Gauthier-Villars, 4 volumes) et je rappellerai leurs formules par le double numéro qui les désigne dans cet ouvrage, précédé des lettres T. et M.

Ce qui fait que la représentation conforme du plan z sur le plan Z s'exprime par la fonction Z(z), solution de l'équation différentielle

L' i ; LE De De T7 Ne ps $ DA D CZ ALT D SN Jon ÉTaUs CAC

nm ; i

— — je (EE) [HZ — it) = (7 Lit) dt.

T Oo

Les équations (4), (6) et (9) résolvent le problème proposé dans le cas le plus général. La connaissance de la forme du vase et de la position de l'orifice, en explicitant les fonctions F(t), F4), F,(6) et D(4, permettra, dans des cas très simples, de pousser les calculs jusqu'au bout.

Remarquons ici que les fonctions F({) et d(E) dépendent toutes les deux de la

forme de la paroi , et ne sont pas par conséquent indépendantes l’une de l’autre. On a

s PE) = gy

F(D = arctg

d'où PU CR ARE d (b) re = TE — q tan g F(E) dx D'(0 — g tang F() "

dx dz et on sait que —— est la partie réelle de :

q Tr partie ré € ).

En particulier, si la paroi y, est plane et horizontale, à la distance de la surface libre u,, on a

(4) RU gh, (D) — 0, FES :0$

e dZ 7 »

Cette remarque suppose que la fonction FE a un sens pour Y — 0}10Ùu; d'une

façon plus générale, lorsque le point z se trouve sur l’une des frontières du domaine. C'est bien ce qui résulte des calculs exposés dans le Mémoire cité et dont la formule appliquée par nous n’est que la conclusion (‘), et la fonction ©, dont la partie réelle est connue sur les frontières, a pour coefficient de à les expressions suivantes :

(‘) Et qui sont des conséquences directes du Mémoire fondamental consacré par M. Villat à la solution du problème de Dirichlet dans une aire annulaire (Rendiconti del Circolo d Palermo, XXXIIT, 1912, 1° semestre).

1 sur À,, c'est-à-dire pour Z—iY,

ei: De SERRE RE na) RE ARE FALL / FCO FEGN — à — EGY + tjdt / FO EURE = QUES it)] dt

RE pay à AUS Se | “siY suiY LES : SUD nn 2? eme à € À CO + Leg IN ÈS LL FE) GY 1) i Ke ag ten 2° sur u,, c'est-à-dire pour Z=\, ] To ; ë I ne PANNES s , Es == / FE) LR —0—{KX+ d]dt — FO EX — i0 — SX + ü)] dt À pre o î à À it So & HE è 1 Se à PSS ; -SXS,X ee à FCO [XX — 0 — NX + à)] dt 2 Log rent

° sur À,, c'est-à-dire pour Z=w, +iY,

Tee / RFC ND ES NES dt — / FE) [EGY — it) — YY + à0)] dt

siY os iY |

& … Tè F6) LL GY — it) —K(iY + ù)] dt + Log …

Certaines intégrales, parmi celles qui sont contenues dans ces expressions, la dernière pour T,, la première pour T,, la deuxième pour T,, sont prises le long d'un chemin d'intégration qui passe par un pôle de l'élément différentiel. L'indétermination qui en résulte n'est qu'apparente et disparaît quand on effectue l'intégration correspondante, à la condition de considérer ces intégrales comme égales à leur valeur principale au sens de Cauchy.

$ 2. — Étude de l'accélération près des bords de l'orifice.

Si la solution du problème proposé ne peut pas être poussée plus loin sans diminuer la généralité des résultats du ‘paragraphe précédent, il est tout de même possible, sans particulariser le problème, de déduire des formules que nous venons d'établir la valeur que prend l'accélération initiale du liquide au hord de l'orifice. Comme la vitesse initiale est nulle, il est important de vérifier si l'accélération est

: Le QUELAUES APPLICATIONS DE L'HSDRODYSAMIQUE. Le F toujours infinie en un bord, car c'est dans ces conditions seulement que on peut S Es conclure que tout le débit initial fonrni par l'orifice provient du bord. “ Pour simplifier le calcul, nous choisissons Le bord C (fig. 1;, qui correspond à E: Yorigine do plan Z dans la représentation conforme emplosée an paragraghe préc ; | cédent. Le calcul se ferait aussi ponr le bord D et donnerait évidemment les mêmes CEE résultats intrinséques.

e. £ Nous allons donc étudier ce que devient, au voisinage du point Z—0, le second Pi , cs 4 #- . __ membre de l'équation (6) Es LCR 5 UM + iW} d£ Es ; . (6) KA — i1 —= Tr.

IEEE - À CT est bien conns que l'allure de la fonction Q en ua point Z voisin de Ja frontière | du domaine D ne dépend que de la valeur que prend celle fonction aux points de * À a frontière les plus voisins du point Z() Les parties les plus éloignées concourent

4 : ER seulement à la formation d'un terme additif indépendant de la disiance du point Z LES | la frontière voisine et de la forme de celle-ci. On peut done, dans l'équation (9),

be | remplacer Ft) et F1) par leurs valeurs au point A et ar F{1), à condition À > de multiplier par une constante indéterminée la valeur PRE 2 =, telle qu'elle sera

22 | donnée par le second membre ainsi transformé,

M. Si donc nous appelons 6, et 6, les inclinsisons sur 07 des langentes en C aux En - ohe À, et y, prises une et l'antre dans le sens direct, c'est-à-dire les valeurs de

2 FO « de Fo pour 1—0, l'équation (9) montre qe, quand Æ tend VETS ZÉIO,

. » 7 + 2 f F4 — nasma it fe Wa + ua 101 + | | . 446,1 ë ; * 1 C

ps QE — à — 42 + Hi Vo

“exemple. H. Hi Vlät, Bain de la Si malhémalique, 1955, p. 451. É . 3

on trouve

r Se LEZ NEA NET TNA lin = AR in | Ra ee Ne ( LS) | d: = F, ;

626,Z \o°w,o°,Z *&.6 "2 189 LA ÉQRS NEN Ue — À, lim (52) SEE 0 * IR = (Me)

=" ACHOE

à : ARE et le coefficient À, est réel et positif, puisque l'allure de la fonction PR. est pas

modifiée. Nous pouvons remarquer que l'indétermination apparente pour Z = 0

des intégrales contenues dans

a disparu dans le calcul.

Étudions maintenant ce que devient l'expression È d(H + iH) PH iQ = — ; tu dZ, : =\ au voisinage du point Z —0.

Nous avons ur ; (4) Hi == / OZ —-D+UZ +0) eZ d'où :

l Pete LT ER | En 7 (H + iH) = L PC Cp — D + p + Djde— 2.

Intégrons par parties l'intégrale du deuxième membre. Nous avons :

/ | P(O [pZ — D + p(Z + D}dt = — P(w,) [ECo, — 7) + Lw, + 2)]

+ PORC ++ 27 a == 9% Po \ a PUR PO à loe [ot AT AT E Z\1 dt Qi 1 fe { dt Le foi Ps , sk te L)] ct

et, en intégrant encore par parties,

J VO DE — D + + DJ dt = ar, Do) + Po) log Este, — 2) (0, + 2)] — D(+0) log Z

+ GA 1) ed (Ho) — D) log [a(é— 2) a(t + 2) dt

où (+ 0) représente la valeur que prend ®’({) quand !/ tend vers zéro par valeurs positives. ;

La valeur de À demande à être déterminée avec précision, car elle servira, dans la suite du calcul, à donner le signe de la quantité u! projection sur ox de l’accélération en un point du liquide près du bord de l’orifice. On peut ramener son calcul

à celui de la détermination du logarithme dans l'intégration (10) se —2)dt = — 1,2 + log 0, + log 5,2 — log 62 + (2X + 1)ix

car la valeur de ‘b({) n'intervient pas dans la détermination de 7.

Pour cela, calculons l'intégrale par un autre procédé qui mettra en évidence la détermination des logarithmes.

Nous savons qu'on a (T. et M. XXXHII 5) :

HO EN NE RE EE De.

° ; DOTE (- — 7 à “ 26, ÿ

4 8 [0 fs RES / \ ; CT f'e-naz té 2 4e (TS) | o D | &, POLE

le chemin d'intégration pour le point v — est celui qui est tracé en trait

plein sur la figure 5.

.… Zw,

coupure

Si nous adoptons pour le logarithme de 5(v) la détermination principale, qui possède une partie imaginaire comprise entre — x et +7 (F. el M. 1. I, p. 160), la figure montre que

sans ajouter de multiple de 7.

Mais ; «y es AN î Z Fe 2 Fe re F log 3 Feed + OS) de de Jde —— (TE. et M. XXXIV, 4) Nine ER DRE TC Le Er Z 2.

log z ES) — 108 Lee ir | 26 \ 26

À cause de la détermination choisie pour log 3(v). (Voir Jig. 5.)

Donc, a < (a) f Z V4 :

/ teZZ) Al SI az + los (2) os f ) + à 70 2 20, 20),

les deux logarithmes ayant leurs arguments compris entre o et +. Pour faire apparaître les fonctions log 5w,, log 5,/ et log 52, utilisons les for-

mules ANXIIT de l'ouvrage de Tannery et Molk. Elles donnent

[1 ; log çw, — log 20, + log 3, | — log 3 (0) +

> EL 15 log — log Sp ) nu log COR ENT £

log 62 — logs, Ke

Le 2) dl = log 50, + log 5,2 — log 62 — 1,2 + ix

et en comparant à la valeur obtenue précédemment (10) pour cette intégrale, nous

trouvons

ce qui permet d'écrire ?

RE d LA l à 247

P+HiQ = — PA H +41H}=< e PO TP — D + pZ + Ddt+ =

ie Ë DURE, ; ; oi = Po) + Po) 6e fe, = 2) 56, EN DP'(+ o) log 6Z

- fra 24” Te / D"(0) log [al — Z) st + Z)] dt + Pnes DP'(+ 0).

LR T

QUELQUES APPLIGATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. 21: En un point de l'orifice 4,, très près du bord C, on peut poser Z = (cos < + i sin &) e et < étant des infiniments petits du premier ordre; si donc on pose MSIE

X est un infiniment petit du premier ordre, tandis que Y est du second ordre,

On peut donc écrire

: Y\ — 105 X los ner) og HE AS 2 qu

£ st

= log X — NT

et, dans la valeur de Q, remplacer log 52 par log X. On aura finalement P — —d'"(+o)

ol Q,= ——1P"(— 0) log X + iR

en désignant par R une fonction réelle, non nulle, finie, et par P, et Q, les fonctions P et Q prises au voisinage d’un bord et très près de l'orifice.

Il résulte des calculs précédents que, en un point voisin du bord C de l’orifice, la fonction

"— iv! P + iQ) 2 u'— iv — iQ) — , É ( EE Lie qui est liée d’une façon évidente à l'accélération initiale de la particule liquide située

en ce point, a la même limite que

(ti) AE EC 0) (: + log À) + in Z

lorsque Z tend vers zéro.

La quantité D'(+o), qui joue ici un rôle important, est indépendante de Ja position du point Z et ne dépend que de la forme de la paroi amovible CD au voi- .sinage du bord C. Elle a pour expression dy ds

d(+ 0) — im JR

ds étant l'élément d’arc de la courbe CD. Nous supposons bien entendw que cette

courbe admet au point C une tangente bien déterminée. Dans ce cas, d'(+ o}

existe, est finie et a pour valeur

| L / ds g sin 0, lim os ax e

TON Si POS on a aussi

Ceci posé, nous pouvons examiner les cas qui se présentent suivant les valeurs de l'angle que la paroi du vase fait au point C, angle qui a pour mesure 6, — 6,. a) Si TH 6, —0,>—, on à