Voyez la note p

Pour ce qui est des sons additionnels, M. Helmholtz a fait remarquer déjà qu'on ne les entend facilement que dans des conditions très favorables, notamment à l'aide de l'harmonium et de la sirène polyphonc. Or le simple fait que, dans le concours de deux sons d'une sirène ou d'un instrument à anche on entend parfois des notes dont la hauteur est égale à la somme des hauteurs des notes fondamentales des deux sons, ce fait à lui seul ne prouve point encore l'existence des sons additionnels. En effet, ni la sirène ni les instruments à anches ne fournissent des sons simples; ils émettent des sons complexes riches en harmoniques, etil estfacile de s'assurer que les sons de battements des harmoniques suffisent à rendre compte de la production des notes dont la hauteur est la somme des hauteurs des notes fondamentales des sons primaires.

Prenons par exemple la quinte (2: 3) avec les deux séries d'harmoniques,

on obtiendra le son 2 + 3 = 5 par les battements des deux harmoniques d'ordre 5 (10 et 15).

La quarte (3 ; 4) fournit les harmoniques :

etee sont les deux harmoniques d'ordre 7 (21 et 28) qui donnent un son de battements égal à la somme de 3 + 4 = 7. Pour la tierce (4:5), ce sont les harmoniques d'ordre 9 (36 et 45) qui donnent un son de battements égal à la somme 4 + 5, et en général pour tous les intervalles de la forme n : n + 1, le son de battements des deux harmoniques d'ordre 2n -f- 1 est égal à la somme des notes fondamentales.

Pour les intervalles de la forme n : n -f 2, ce sont encore deux harmoniques de même ordre [n-\- 1) qui donnent un son de battements égal à la somme 2 n + 2. Ainsi la sixte 3 : 5 a les harmoniques :

et le son de battements inférieur de 12 et de 20 est = 8.

Pour les intervalles de la forme n: n + 3, ce sont des harmoniques d'ordre différent, celui d'ordre n -f- 2 du sonn, et celui d'or-

dre n + l du son n + 3, qui donne un son de battements égal à la somme 2n + 3. Ainsi, dans la sixte mineure (5 : 8), l'harmonique 7 du son 5 (35) et l'harmonique 6 du son 8 (48) donne le son de battements 13 = 5 + 8.

On pourrait s'étonner que parmi les sons de battements des harmoniques de deux sons l'observation eût révélé précisément ceux dont les nombres de vibration sont égaux à la somme des nombres correspondants des deux notes fondamentales, tandis que beaucoup d'autres harmoniques devraient également faire entendre des sons de battements. A cela, il faut répondre d'abord que des sons de battements d'harmoniques qui différent du son additionnel s'entendent effectivement très souvent, ensuite que le nombre de ces sons de battements qui peuvent encore être observés est loin d'être aussi considérable qu'on pourrait le supposer à première vue. Par exemple les harmoniques jusqu'au cinquième de deux sons fondamentaux qui forment la quinte ne peuvent produire entre eux d'autres sons de battements, qui fussent plus aigus que les sons fondamentaux et qui ne coïncidassent pas avec les harmoniques mêmes, que le seul son 5. Les harmoniques jusqu'au septième des sons fondamentaux de l'intervalle de la quarte ne peuvent produire à côté du son 7, d'autre son que le son de battements 5, qui ne fût pas déjà contenu dans le timbre des sons primaires, et les autres intervalles offrent des relations semblables1.

1. M. Preyer (Akustische Untersuchungen 1879) a émis l'opinion que, avec les sons pourvus d'harmoniques l'existence de sons qui répondent à la somme des sons primaires peut s'expliquer encore plus simplement que je ne l'ai fait. D'après lui, les deux sons a et 6 forment d'abord le son différentiel 6 — a. puis celui-ci avec 2o et 26 encore deux sons différentiels de second ordre la — (6 — a) et 26 — (6 — a), dont le premier :=3a — 6, et le second = a -1-6, c'est-à-dire égal au son d'addition. Mais cette explication n'est pas acceptable parce qu'elle suppose que deux sons donnent toujours un son différentiel, ce qui n'est pas exact. Prenons par exemple deux sons, correspondant aux sons fondamentaux ut3 et mi3 (4 : 5), ils donneront a la vérité le son de battements ut^ (1), mais ce son 1, ne forme nullement avec l'octave de u*3, c'est-à-dire avec utA (8), le son 7, ni avec l'octave de mi'j, c'est-à-dire avec mi, (10;, le son 9, comme on peut s'en assurer en faisant concourir deux sons simples primaires «<i et ult (1 : 8), ou bien uU et mit (1 : 10), même quand ces derniers sont beaucoup plus forts que le son de battements en question et les deux octaves des sons primaires ulz et Jjttj. — M. Preyer cite en faveur de sa manière de voir ce fait, que, en faisant parler ensemble deux anches de 496 et 528 v. d. (31 : 33) il aurait entendu le son 1024 (61), et il croit qu'on ne peut pas supposer que dans les sons des anches il existait les harmoniques 32, de 16,896 et 15,872 v. d. Si réellement le son observé a été le son 64, et non pas l'octave de 31 ou de 33, on pourrait en effet s'étonner que dans ces sons les harmoniques 32 eussent encore été assez forts pour le produire, mais l'expli-

Dans tous ces cas, les sons de battements correspondent à la différence des sons qui leur donnent naissance, et coïncident par conséquent avec les sons différentiels; mais lorsqu'on réfléchit quelle intensilé considérable doivent avoir deux sons primaires pour qu'ils puissent donner un son diférentiel perceptible, il sera permis de supposer que l'intensité des sons différentiels des harmoniques doit être négligeable à côté de celle des sons de battement avec lesquels ils coïncident.

Il faut enfin faire remarquer qu'avec la sirène et l'harmonium, non-seulement les sons isolés sont accompagnés d'harmoniques, mais deux sons émis simultanément ne peuvent plus être considérés comme produits par une série d'impulsions successives de même intensité. En effet, au moment où les orifices sont ouverts à la fois sur les deux cercles concentriques de la sirène, l'intensité de l'émission n'est point double de celle qu'on obtient lorsqu'une seule des deux séries d'orifices est ouverte, et cette dimiminution d'intensité au moment de la coïncidence des deux impulsions, diminution duc à la disposition spéciale de l'instrument employé, suffit à faire naître des phénomènes étrangers à ceux qui dépendent du concours .de sons simples, émis par deux sources isolées l'une de l'autre '. Lorsqu'on veut être sûr d'avoir affaire à des sons additionnels de sons primaires simples, il faut donc renoncer à se servir de la sirène polyphone comme des tuyaux à anches, et revenir à l'emploi des diapasons.

(Des diapasons accordés pour les notes ut-, mi-, sol-, utk, avec

cation proposée par M. Preyer est absolument inadmissible, car 496 et 528 v. d. donnent, même lorsqu'elles ont une force considérable, 32 battements qui ne laissent pas encore entendre le son grave ut-,, de sorte que en tout cas il doit être très faible. L'octave de 528 est ensuite l'harmonique 33 de ce son si excessivement faible, or deux sons primaires, de 32 et de 1056 v. d. môme très forts ne produisent jamais un son de 1024 v. d.

La seconde manière dont le son de 1024 v. d. aurait pu être produit d'après M. l'rcycr, est également en contradiction avec tout ce qu'on observe directement dans le concours de deux sons primaires. En effet c'est l'octave de 528 (1056) qui doit produire avec le son de 496 v. d. un son différentiel de 560 v. d., puis ce dernier un nouveau son différentiel de 1024 v. d. avec la douzième de 528, c'est-à-dire avec 1584. Ces deux sons 496 et 1056 v. d. (c^st-à-dire 496 et 2 X 496 + 64) donnent le son de battements 64 et non pas 560, et si le son 560 existait réellement, il donnerait avec 1584 (c'est-à-dire avec 2 X 560 + 464, ou bien avec 3x560 — 96), le son 96, puis encore beaucoup plus faiblement 464, et non pas 1024.

1. Ilelmholtz, Tonempfindungen, 3° éd.. p. 627. — Terquem, Élude sur le timbre des sons produits par des chocs discontinus et en particulier par la sirène. (Ami. scientif. de VÈc. norm. sup., Vil, 1870.)

des branches de 6 millimètres d'épaisseur et montés sur des caisses, comme on les emploie d'habitude dans les cabinets de physique, donnent déjà des sons d'une intensité relativement considérable ; néanmoins, les sons additionnels sont si faibles qu'il faut recourir à des diapasons auxiliaires pour en constater l'existence au moyen des battements qui se produisent. Lorsqu'on possède une série de diapasons pour les harmoniques du son fondamental ut.2, on pourra particulièrement se servir des intervalles ut.: sol- et sois'. utt [2: 3 et 3: 4) pour l'observation des sons additionnels au moyen de leurs battements , car, pour avoir les diapasons auxiliaires, il suffira de désaccorder légèrement deux diapasons de la même série (le mik et l'harmonique 7). en les lestant d'un peu de cire.

Avec les gros diapasons dont j'ai fait usage, les sons additionnels ont une intensité suffisante pour être perçus directement, sans qu'on ait besoin d'employer des diapasons auxiliaires. La combinaison ut- : sol- (2:3) donne distinctement le m% (5), qui à son tour forme, avec l'ut- et le sol5, les sons additionnels de second ordre 7 et 8 [uts), lesquels se révèlent par des battements énergiques avec les diapasons auxiliaires convenablement choisis; d'autres diapasons auxiliaires permettent même de constater, par des battements très faibles, il est vrai, l'existence des sons additionnels de troisième ordre 2 + 7 = 9 (ré.), 2 + 8 et 3-f-7= 10 (mis) et 3 -|- 8 = 11. De même avec ut^\ mi- (4:5) on entend le son9=ré4, et l'on peut en outre constater parles diapasons auxiliaires l'existence des sons 9+ 4=13, 9 + 5 = 14, et les sons additionnels de troisième ordre 17, 18, 19.

Ce sont généralement les intervalles comprenant le son fondamental t</5=512 v.s. qui conviennent le mieux pour l'observation des sons différentiels et additionnels, parce que, d'une part, le ronflement des battements discontinus ne vient plus guère ici troubler la perception, et que, d'autre part, les sons de battements sont ici très graves, et n'ont alors qu'une intensité très faible.

Les observations qui viennent d'être rapportées prouvent donc que l'existence des sons différentiels et additionnels peut être constatée aussi dans le concours de sons simples, émis par des sources isolées, quand ces derniers sont suffisamment forts, mais qu'ils ont une intensité infiniment moindre que les sons de battements. 11 s'ensuit que, lorsqu'en produisant simultanément

deux sons musicaux pourvus d'harmoniques un peu prononcés, on entend des sons dont la hauteur est égale à la somme des hauteurs des notes fondamentales, ce sont très probablement dans la plupart des cas des sons de battement des harmoniques et non des sons additionnels des sons primaires.

Ces sons de combinaison ne sont point renforcés par les résonnaleurs, pas plus que les sons de battements dont il a été question plus haut1.

1. J'ai une observation importante à faire sur toutes ces remarques concernant les sons différentiels et les sons d'addition, que j'ai voulu reproduire ici exactement, telles qu'on les trouve dans la première publication de ce mémoire dans les Annales, mais que j'ai placées entre parenthèses.

De nouvelles recherches sur les battements des intervalles harmoniques, que j'ai faites depuis la publication de ce mémoire, m'ont démontré que même en formant des intervalles harmoniques altérés très larges, des sons primaires d'une faiblesse excessive peuvent faire entendre des battements distincts ; or, les diapasons auxiliaires employés pour reconnaître l'existence de sons différentiels et de sons d'addition trop faibles pour être entendus, étaient tous des harmoniques du son de battements inférieur de l'intervalle des deux sons primaires, et quelques-uns même en outre des harmoniques d'un des sons primaires ; ils devaient alors nécessairement produire des battements avec ces sons, dont ils étaient des harmoniques, et les battements observés par moi ne prouvaient dès lors nullement l'existence de sons à l'unisson altéré avec ces diapasons, comme je l'avais admis. Une seule exception doit être faite pour le diapason de 440 v. s., qui avec les notes primaires îi/5 (8) et [si- (15), démontrait par des battements l'existence d'un son faible, 7, mais qui du reste n'était que le son de battements inférieur de 8 et l.">. En effet les tableaux donnés plus haut font voir que les battemen'.s aussi bien que les sons de battements inférieurs de la première période peuvent souvent être entendus directement jusque dans le voisinage des rapports 4:7, et on conçoit qu'à l'aide de diapasons auxiliaires on puisse les découvrir encore un degré plus loin (14 : 15).

D'après ces considérations il ne reste que les deux sons mi'i (5), donné par l'intervalle u(5 (2), solz (3), et ré4, donné par l'intervalle u/3 (4), miz (ô), dont l'existence peut être regardée comme réellement prouvée, parce qu'ils étaient observés directement par l'oreille. Ces sons, n'ayant montré aucune action sur des résonateurs, comme je l'avais déjà indiqué, ne pouvaient avoir l'origine que M. Ilelmhollz attribue aux sons différentiels et d'addition, mais étant très faibles, tandis que les sons primaires des intervalles qui les formaient, avaient une intensité formidable, on peut les expliquer par l'action des faibles harmoniques, produits dans l'oreille par les sons primaires, comme selon M. Ilclniholtz, chaque son très fort, même simple, doit en produire dans l'organe de l'ouïe, principalement par suite de la structure asymétrique de la membrane du tympan et de l'articulation lâche du marteau avec l'enclume.

L'après ce qui précède, je ne connais jusqu'à présent aucune expérience par laquelle on pourrait prouver avec quelque certitude l'existence de sons différentiels et de sons d'addition, et la rédaclion primitive du paragraphe III, 6 des conclusions de ce mémoire (page 147), doit alors être modiliée comme je l'ai fait en son lieu.

PERCEPTIBILITÉ DES BATTEMENTS. 131

De la nature des battements et de leurs effets comparés à ceux d'une série de chocs.

Comme la hauteur des sons additionnels n'est point égale au nombre des battements des sons primaires, et qu'ainsi on ne peut les expliquer par ces battements, M. Helmholtz ' a vu là un argument en faveur de sa thèse que les battements en général ne sauraient faire naître un son. Mais si, d'un côté, les sons additionnels ne coïncident point avec les battements des sons primaires, nous avons vu, d'un autre côté, que les sons de battements,

sauf le cas de n:n+ m, m <— , ne s'expriment ni par la somme,

ni par la différence des sons primaires; il s'ensuit que les sons résultants ne s'expliquent pas plus par la cause qui produit les sons de combinaison, que ces derniers ne s'expliquent par les battements, et qu'il faut assigner cà chacun de ces deux phénomènes une origine différente.

Il s'agit maintenant de savoir si la nature des battements permet de supposer qu'ils peuvent donner naissance à un son. Il est clair tout d'abord que le fait de la production des sons différentiels et additionnels dans le cas où les amplitudes ne sont point infiniment petites, ne prouverait en lui-même rien ni pour ni contre l'ancienne théorie de Young; mais M. Helmholtz présente contre cette théorie d'autres objections qui, pour être écartées, demandent un examen approfondi.

C'est avant tout la manière dont l'oreille perçoit les battements des sons ordinaires, sons généralement assez faibles, surtout dans les régions basses de l'échelle, qui a fait dire àM. Helmholtz2 que des battements de sons simples, sans intervention d'harmoniques ou de sons résultants, se produisent seulement lorsque les deux sons primaires sont séparés par un intervalle relativement petit, et que les battements perdent leur netteté dès que l'intervalle approche d'une tierce mineure. — Or, si l'on fait usage de sonsgra-