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Pour ce qui est des sons addilionnels, M. Helmhollz a fait remarquer déjà qu'on ne les entend facilement que dans des conditions très favorables, notamment à l'aide de l'harmonium et de la sirène polyphone. Or le simple fait que, dans le concours de deux sons d'une sirène ou d'un instrument à anche on entend parfois des notes dont la hauteur est égale à la somme des hauteurs des notes fondamentales des deux sons, ce fait & lui seul ne prouve point encore l'existence des sons additionnels. En effet, ni la sirène ni les instruments à anches ne fournissent des sons simples; ils émettent des sons complexes riches en harmoniques, et il est facile de s'assurer que les sons de battements des harmoniques suffisent à rendre compte de la production des notes dont la hauteur est la somme des hauteurs des notes fondamentales des sons primaires.

Prenons par exemple la quinte (2: 3) avec les deux séries d'harmoniques,

on obtiendra le son 2 + 3 = 5 par les battements des deux harmoniques d'ordre 5 (10 et 15).

La quarte (3; 4] fournit les harmoniques :

et ce sont les deux harmoniques d'ordre 7 (21 et 28) qui donnent un son de battements égal & la somme de 3 -f 4 == 7. Pour la tierce (4:5), ce sont les harmoniques d'ordre 9 (36 et 45) qui donnent un son de battements égal à la somme 4 + 5, et en général pour tous les intervalles de la f*me n : n + 1, le son de battements des deux harmoniques d'ordre 2n -f- 1 est égal à la somme des notes fondamentales.

Pour les intervalles de la forme 7i : n-\' 2, ce sont encore deux harmoniques de même ordre [n+ l) qui donnent un son de battements égal à la somme 2 n + 2. Ainsi la sixte 3 : 5 a les harmoniques :

et le son de battements inférieur de 12 et de 20 est = 8.

Pour les intervalles de la forme n: n + 3, ce sont des harmoniques d'ordre différent, celui d'ordre n -}- 2 du son n, et celui d'or- ,