D après la version latine du texte dePappus, donnée par

Simson lui-même, p. 347, les anciens disaient Porisma

esse quo aliquid propositum est investi gandum ; on peut traduire : Le Porisme eut une proposition dans laquelle ce qu on demande est de chercher quelque chose.

Les H énoncés que j'ai présentés, p, âO-Ô7 de celte Notice^ satisfont de la manière la plus directe à cette définition. Mais Simson la trouve trop générale. 11 en propose une autre, p. 323, Quoniam Pappi definitio Porismatis nimis gênera^ lis est. Tel est l'unique motif qu'il invoque,etil nes'cxpUqi^e pas autrement.

4 0. Je dirai tout à l'heure en quoi consiste cette définition du Porisme, que Simson introduit ainsi. Expliquons d'abord comment cet auteur parait avoir été conduit h regarder comme trop générale la définition ci-dessus.

D'après cette même version latine, p. 347, les anciens Grecs disaieutPro&/ema \esse] quo a liquid propositum est construetir dum; ce qui signifie : Le Problème est une proposition dans laqttetle ce qu'on demande est d'effecttter qwlque construo' lion.

Cette définition su])pose donc (ju'un Problème est une question qui se résout par wie construction. Elle est, par conséquent, moins générale que la définition actuellement admise, d. après laquelle un Problème est une question proposée qui exige une fo/«^t«>n. Cette solution peut, en effets n*étrepasune construction. Voyez la géométrie de Legcndre, livre IV, proposition XUI.

Or Simson définit, p. 323, le Problème en ces termes : Problemik est Propositio in qua aliquid proponitur construendnm, vel inveniendum.

On voit que construendum lui parait insufiisant, puisqu'il ajoute vel inveniendum.

Sans doute Simson a cru faire une chose toute naturelle en donnant cette extension à l'ancienne déimition du Problème. Mais il aura trouvé ensuite que la déûDition du Porîsme ci-de9« siis, n* 9, faisait double emploi avec la définition du Problème ainsi complétée. Il est facile de 8*assurer en efifct que, par exemple, celle-ci s'applique aux 11 énoncés rappelés dans ce môme n° 9. On peut conjecturer, sans trop d'invraisemblance, que c'est là ce qui aura fait croire à Simson que la définition du Porîsme était trop générale.

14. Voici maintenant quelle est la définition proposée par ce géomètre, p. 323 :

Porisma est Propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas ess4j cui^ val quibus^ ut et euilibet ex r^us innumeriSj non quidem datis^ sed qum ad ea qnœdata mut eandem kahent relationem, convenire ostendendum est affectiqnem qitandam communem in Proposilione descripiam.

Un exemple fera mieux comprendre la pensée de l'auteur, que ne pourrait le Retire une traduction. Voici la proposition 1 de Simson :

Étant donné un cercle et une droite, un point À sera donné, lequel fouira de cette propriété que si, par ce- point, on mène comme on voudra une sécante rencontrant la droite enH et ta circonférence en le rectangle AB y^ACsera donné*

Dans cette proposition, il fiiut démontrer que le point A est ' donné. La définition ci-dessus parle de choses en nombre illimité, qui, sans être données, ont une môme relation avec ce point, la droite et le cercle; ici ces chobcs sont les segments AB, Ad. La propriété qu'il faut démontrer appartenir à ces deux segments, quelle que soit la direction de la sécante, consiste en ce que le rectangle A B X A G est donné, et on a à déterminer aussi la grandeur d&la surface à laquelle ce rectangle est toujuais égal.

Telle est^ suivant Simson, la forme Içch/iic^ue. énoncés,

qui caractérise les Porismcs. ii est bien aise de voir en quoi elle diffère de celle que j'ai indiquée. Voyez ci-dessus, p. rénoncé VIIL

^9, On remarquera que cette définition rappelle tout à fait

rénoncé de Lieu Plan qu Eutocius nous a conservé, et que j'ai reproduit ei-dessus, p. 51, en note. Dans cet énoncé, on a à démontrer qu'il est possible, de tracer une cii conférence de cercle^ sur laquelle tous les points qui satisfont à une certaine relation assignée se trouveront situés.

Du reste, Simson lui-même fait observer que les Lieux sont des Poi isuies, comme l'exprime sa version latine du texte de Pappus^p. 347.

On peut penser que cette forme d'énoncé lui a paru réunir le double caractère du Théorème et du Problème, et répondre^ par conséquent, à ce passage de la même version latine, où il est dit, p, 346 : Specie autem hœc omnia ncque Ihcoremata sunt, neque problemata^ sed mediœ quodammodo inler hœc nalurœ.

i 3. Remarquons, toutefois, que cette version continueen ces* termes : ita ut eorumpropositiones possunt velut thecremaiay vel ut probtemata formari; ce qui semble indiquer qu'il

s'agissait, non pas d'une fonuL: unique réunissant le double caractère du Tbéorèino et du Problème, mais de deux formes distinctes, dont chacune présenlait un de ces caractères.

C'est sans doute pour cela que Simson, après avoir défini le Porisme, ajoute, p. 324 : Poristna etiam in forma Pro^ blematis enuntiari potest, si nimirum ea qttm data demonstranda sunt^ invenienda propomm tur.

Or. d'après la déflnition même proposée par Simson, dans les Problèmes auxquels on serait ainsi conduit, on aurait à satisfaire à un nombre illimité de conditions. Il est au moins permis de douter que ce soit là ce (juc Pappus a voulu dire. ^Simson n'est entre dans aucune explication sur ce point.

tlll. — Origine de i'inlroducUon du mot doîiné dans cetlo déGniUon. — Les Données à éléments variables, qui sont des Porismes daus la doctriuo do M. Chasles, n'en sont pan dans celle de Simson.

44. Le mot donné se trouve employé une ou plusieurs fois 'dans chacun des énoncés de Pappus. G*est une conséquence de

la nature do ces énoncés. On comprend que, pour former ces descriptions des 20 genres auxquels appartenaient les 471 propositions d'Euclide, il a fallu se servir d'expressions qui fussent propres à caractériser, d'une manière générale, chaque genre, sans rien conserver de ce qui constituait l'individualité des propositions. Ce mot donné n'est donc employé, dans ces énoncés, que comme n'impliquant aucun mode particulier de détermination des choses auxquelles il se rapporte.

Simson s'est cru obligé de le faire entrer dans sa déûnition du Purisme, ainsi que dans les différentes propositions présen** tées par loi sous ce nom, parce qu'il supposait que les 29 énoncés ne pouvaient être que 29 des M\ propositions d'Euclide.

M. Ghasles, par suite de la même erreur, a été conduit à une conclusion semblable, comme on le verra dans la Note II. Mais il va plus loin que Simson on présentant comme des Porismes

(les propositions qui, dans la doctrine de ce iiéomètre, ne sont (jue des Vunnces. C'est ainsi, par exemple, qu'il dit dans son Happort sur les progrès de la Géométrie, p. 238, que « l'é- « noncé suivant est un Porisme : Dans l'Ellipse, la somme. > des rayons vecteurs est donnée. »

15. Simson, en effet, ne voulait pas que Ton pût confondre si's l'orismes avec les Données où Ton considère des éléments variables, comme dans cet énonce. C'est ce qui i csulte, avec, évidence, de la manière dont il s'exprime, p. 530 de son traité, au sujet de la proposition que voici :

Soit tme circonférence décrite sur A B comme diamètre^

C son centre cl CZ un rayon perpendiculaire à A H. De part et d^autre du centte et à égale distance, prenons à volonté sur ce diamètre, prolongé sHl est nécessaire, de»0 points E, respectivement dans tes directions CAy CB, Déterminons^

dans les mêmes directions, deux autres points /?, 5, tels que l'on ait CD X C/?=r"c7, CJiXCS=~CB^. Menons, enfin,par ces points H, S, des perpendiculaires à liS, d'un même côté de cette droite, et portons sur ces dernières HF-::zHZ, SG=zSZ:

Si l'on mène, des points F, (7, ainsi déterminés^ des droites PU, G II à un même point II de la circonférence, et que K, L soient leurs points de rencontre avec la droite AB, la sommé mF-^^P sera donnée, c^est'àrdire toujours égale àun même espace, quel que soit le point H,

Cet énoncé est la quatrième de cinq propositions que Fermal avait présentées comme étant des exemples de Porisines, d*aprës certaines idées qui lui étaient propres. Simson dit que c'est une Donnée et non un Porisme; Quarta estDatum, Il en fait un Porisme de son système, en l'énonçant sous la fonne suivante (proposition 80) :

Un cercle étant donné, si l'on prend sur un de ses diamèlreSy de part et d'autre du centre et à cfjale disiance, deux points i>, E : deux autres points F, G seront donnés, lesquels jouiront de cette propriété que, si l^on mène les droites F H G H à un même point H de la circonférence ^ et que K, L soient respectivement leurs points de rencontre avec la droite DE,

la somme EK -j- DL sera donnée,

11 fallait à Simson des choses à chercher qui pussent justiûer le mot investigandum^ dont il se sert, p. 347 de son traité, en traduisant Tanclenne définition du Porisme, conservée par Pappus {voyea ci-dessus, n« 9). M. Chasles veut, au contraire, que ces choses à chercher soient de nature à être trouvées « sans invention. » {Les trois livres de Porismes, p. 56.)

I IV. — Seconde déiinition du Porisme.— Nouvelle explication de cette

expression : ïlièortine Local.

.16. Pappus nous apprend qu'il existaitt de son temps, une déGnilton du Porisme plus récente, mais qui n*était que l'expression d'un fait accidentel. Elle se trouvait, d*aineurs, en

désaccord avec l'ancienne défi ni lion et avec ce qui était enseigné, llallcy l'avait traduite en ces iQvmas : Porisma est quod deest in tiypoihesi TheorematisiMseUis (ApolUmii Pergmi de sectiime rationis, p. xxxnr),. et j*al suivi cette version moi. DiAflie, cî-dessus, p. 44 .

Sinifton, p. 347 de son livre, traduit cette môme définition : Porisma est quod déficit hypothesi a Iheoremate Locali; et il donne immédiatement ce commentaire : Hoc est, Porisma est 7%6orema Loeak deficienssive diminuta (lisez dimintUum) in hypothesi ejus.

Pour ce géomètre, un Théorème Local est une proposition qui dérive d'un Lieu, de la manière qui va être indiquée par l'exemple suivant^ donné dans son livre, p* 327. Soit d'abord énoncé de Lieu (1) :

(1) Sinisoo défiait le Lim de la manière suivaDle, p. 324 de soa livre (jo supprime ce qui concerne les surfaces, comme «'êjaiit aocttue application dans ce fr;iilc des Porismcs) :

Locus cU Propositio in qua projmsitutn <?H dalam cssc dtinotistrarc^ vel invenirc lincam cujus quadiibcl pmiclum communem quandam habel ]>i ojn idalern in Propositione descnplam.

li «jjuuie : Viide patet^ quod Pappus affirmai, l.ocos speciem esse Porismatis; et communii affectU) quœ de puticHs hUce demonttramda proponitur, eil omn/a f^ia eue In maquadapi Unea, quœ guiitra» Invenienda et I.

On Toit qve daos la définition ci- dessus trs moto demontirare et tnvetàre se rapportent respecUvement aui deui formes des énoncés de Porismcs dont il est question plus haul, u** 11 et 13. La nature de la ligue qui (s^i Tobjct de la proposition doit 6lrc, dans les deut cas, assiguce par Pcnoucc. En d'autres termes, celui-d doit eiprimcr si celle ligne Cbt droite ou circulaire ^ clc.

Une droite et un point A étant donnés, si autour de ce dernier on fait tourner une droite, sur laquelle deux points, B et C, sont liés par la condition que le rectangle A B \AC soit toujours égal à un ménie espace donné, et que le point B soit assujetti à se trouver sur la droite donnée, le point C se trouvera situé sur une circonférence donnée de position,

Qué cela soit démontré, il reviendra évidemment au mémo de dire :

Elant donné une droite et un cercle, si du centre on abaisse sur la droite une perpendiculaire qui rencontre celle-ci en JJ et la circonférence awp points A, A', et que F on trace à volonté une corde ACy laquelle, prolongée, s'il est nécessaire,rencon-* trera la droite donnée en un point B, on aura AB^AO =zAlIXAk\

Simson dit, p. 327 de son livre» que les anciens appelaient Théorème Local toute proposition ayant cette origine : Quod propterea Theorema Locale diaerunt veteres* D'après cette assertion, j'avais partagé, sur ce point, le sentiment de Simson,

comme on peut le voir ci-dessus, p. Gi, en note. De nouvelles recherches m'ont ensuite conduit à une autre explication que j'exposerai dans un instant, n' 18 ; mais faisons connaître d'abord ce que conclut le géomètre de Glasgow» relativement à la définition dont il s'agit.

17. Que Ton retranche de Vhypothèse, dans Ténoncé qui précède, tout ce qui est relatif à la détermination du point A, et que l'on se borne à attirmer que ce point A sera donné, ainsi que le produit des segments AB, AC, que la droite donnée et la circonférence feront sur toute droite menée par ce point, on retrouvera précisément i*énoncé dé Porisme présenté m H.

Ce Purisme csl donc un Théorème Local de \ hypothèse ô^quai on a retranché quelque chose.

Simson étend cette explication aux Lieux, 11 dit, p. 328: enim hypotkesis prœcedentis Tksoremaiis LocuHs ita di-

fninmtur ul nihil de circulo in ea diceretur,„y et propmU' tur invenire lineam qtuim reliquus terminus [scilicet punctumC] tanget, patet Theoremajam in Locum converti.

Co passage exprime, par les mots dont il se compose, précisément ce que j'ai considéré, dans la présente Notice, comme étant la forme canonique dea énoncés des Porismes. Je me suis fait un devoir de signaler cette circonstance daAs mon mémoire de 4855 (Journal de mathématiques pures et appliquées do TH. Lîouvîlle, l« série, t. XX, p. 260).

48. Parmi les propositions du livre de SFmson qui sont qualifiées Porismes^ il en est qui ne satisfont pas à cette seconde définition ainsi entendue. Telle est la proposition 44 ^ que Ton peut* énoncer de cette manière :

Étant donné deux droites O X, OY et un point P, deux antres points A. 1i seront donnés respectivement sur ces droites, lesguets jouiront de cette propriété que si on fait tourner autour de P une droite qui rencontre O X en M et 0 YenN^ le rectangle AMx BNsera toujours égal à un même espace donné.

Il semble, au premier aboid^ qu*il n'y a point de Uiéorème Local auquel on puisse rattacher cette proposition. Simson suppose, en conséquence, qucc'est là le motif du blâme exprimé par Pappus. Mais un examen plus attentif de la question montre que cette explication doit être abandonnée.

En effet^premièrcment, Simson n'indique point la source où il a puisé ce qu'il dit (ci-dessus, n<* 46) sur Porigine de cette expression Théorème /.oc«/; et secondement Proclus, dans ses commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide (livre IV, commentaire 9), cite plusieurs propositions qui étaient ainsi appelées par les anciens, et dans lesquelles cette dénomination se rapporte, comme il Pexplique d'ailleurs lui-même, à certaines portions de plan.

Dans le Porisme de Simson qui précède, la droite PM a pour lieu Pespacc compris entre 0 X et la parallèle à cette droite menée par le point P. Le lieu do PN est pareillement l'espace

compris entre O Y et la parallèle ù cette droite menée par le même point P. Par conséquent, le lieu du fait géométrique qui dst Tobjet de cette propositiofi se. compose de deux.espacejs plans compris entre ces parallèles ; de sorte qu'il y a en réa-

lité, dans ce cas, un Théorème Local.

/ La portion dû plan dans laquelle a lieu, au même point de vue, le Théorème Local du n« i 6 se compose de l'espace compris entre la droite donnée et la parallèle à cette droite menée par le point A, et de Tespace renfèrmé dans la circonférence

donnée.

Il est facile de voir, d'après cela, qu'un Théorème Local est uu Théorème dans lequel on a à considérer des choses variableSf qu'il dépende ou non d'un Ueu-géométrique.

Ce que Fappus reprochait à la. nouvelle définition, c'était peut-être de supposer à tort que dans tout Porîsme il devait y avoir nécessairement des choses variables^ alors que l'ancienne déhaition oe disait rien de4)areU.

II ressort de là «ne nouvelle éjection contre |a définition dii Farisme pnqpoeée par Sîmsoo.

I V. — Sur divers passages du livre de Siioâou.

49. Ce serait ici le lieu d'aborder rinterprétation de divers passages du livre de Simaon qui. complètent la pensée de cet auteur. Maia^presque tous ont été passés en revue dans la présente Notice, et plusieurs nous serviront, dans la Note suivante, à montrer quelles étaient, aux yeux de mes devanciers, les opinions de Simson sur les énoncés de Pappus.

C'est pourquoi je me bornerai, dans ce paragraphe, à appe-, 1er J'attention sur un fait qui s'est produit récemment,

M. Ghasles a introduit, dans son Bapport sur les procès de la Géométrie^ un exposé de ses idées sur les Porismes. Pour cela, il lui fallait expliquer comment l'idée des genres que formaient les propositions d'Euclidc est présentée par Pappus.

Or, Siinson, en traduisant cet aateur, s*est attaché à effacer

précisément tout ce qui se rapporte à cette idée. M. Ghasles a dû, en conséquence, recourir, p. 234, à la version de Coinniandin, se reconnaissant ainsi dans Timpossibilitè de demander à celle de Simsou cette notion si importante des genres^ qae ce* pendant il prétend avoir été mise en usage dans le Traité des PùHsmes,

J'avais signale cette singularité de la version de Simsoii {Comptes rendus, t. Ll, p. i036), mais ni M. Chasies, ni MlVf . Bertrand et Serret n'avaient cherché à l'expliquer.

Voici, da reste, les deux versions :

VEUSJON DE COMMANDIN.

fif posiHones quidem mmnes inter te differtmt, r«m spennlissimœ sunt, acculentium , vcro et quœsitorum unurnquodque unum, et idem eœistens multis posilionibus differentibus contingil^ eo quod génère sint Mdetn, Ilaqw in primo mbro hœe f «nera guœtUo' mm prapoiiilùàUm êtalMêre opariit^» » {Pappk matlimaiiem eo^iteUmiat p. Siô.)

VEilSlUN 1>£ SIMSON.

Hypoiheteg quidem amnet intet

fe differunt, cnm specialistimm sint : accidcnlium vero et quœsitorum unx(mquodque, cum sit unum idem que muUis diversisque hypotUesibus conHngil. Talia itaque inquirenda offemntur in pHmi lUni pro|M»tllidiiiftti«...* (A. Simnm opéra qwsdam rv Mgitti, p. 819.)

On remarquera que, dans la version de Gommandin, il y a positioms au lieu de hypothèses. C'est peuL-étre là ce qui a été le point de départ de la Géométrie de Position de Carnet.

Simson disposait de deux versions : celle de Commandin et celle de Halley. Ce dernier avait cru devoir refaire, presque totalement, celle de son devancier, tant il la trouvait absurde et plate : adeo absurda et insulsa erat. {De Seclime Hationis; prœfaiio ad lectorem)* Sknson a suivi Halley dans le passage cité. La notion des genres lui paraissait donc absurde.

Jt VI. — Jugements portés par Sinison sur Jes travaux

de SCS devanciers,

20. D*aprè8 la préface du Traité des Porismes^ Pappus est le seul géomètre de Tantiquité qui nous ait transmis quelque

eli(3sc sur cette branche des mathématiques grecques. Proclus y est complètement passé sous silence. Simson avait dû cependant le trouver cité dans l'écrit auquel se rapporte ce passage, p. 348 : ... imael BtUlialdus, in exercitatime sua Geometrica Urtia, qum^una cwm duabùs prioribus^ édita fuit Parisiis anno 1667, conatus est Porismata explicare, ... ea tamen Bullialdus enodarc minime potuit.

Plusieurs années auparavant, un géomètre hollandais» Albert Girard, s'était occupé des Porismes; mais ses recherches n*ont pas été publiées. Voici comment Simson s'exprime à ce sujet, p. 347 : Jnvenio .... de iis explicandis et restituendis cogitasse Albertum Girarduin, qui, in Trigonometria sua, GalUce scripta, et Hagœ Comitum anno 4629 édita, post enumeratas formas figurarum rectilinearum quœ quatoor» ^inque aut sex kUera kabent^ hase addit, « Le tout^ « quand il n'y a que deux lignes qui passent par un point, « comme jadis estoyent les Porismes d Euclid, qui sont perdus « lesquelles j'espcre de mettre bien tost en lumière, les ayant € restituez il y a quelques années en ça. »

D'après cela Simson estime, p. 317 : eum propositiones quasdam de ftgufis qmdrilateris^ aliisque, earumque affeC" iionihus pro Porismatibus habuisse, et propterea earum naiuram non cognovisse.

Il mentionne encore Renaidini : Non opus est referre quœ de hoc re habet Carolus Henaldinus in libro suo de Besolutione et Compasitione MaUtenuUica , nullo enim modo cognitUmi Porismatum inserviunt.

Mais il parle surtout de Fermai duos celte préface. On a de

ce géomètre un petit écrit sur les Porismes [Varia opéra nuH thematica, in-folio, TolosaSt 4679, p. 416), dans lequel il proclame, avec une confiance que ses successeurs n^ont guère

partap;ée, que ces propositions sont dis Lieux, ce que personne encore n'avait soupçonné depuis la publication du recueil de Pappus. Simson admet que les Porismes sont des propositions dans lesquelles figurent des choses variables, mais fl blâme Fermât de vouloir que cés propositions soient exclusî* Yoment des Lieux, Nous avons vu ci-dessus, p. 7, qu'il le traite en quelque sorte de géomètre des bords de la Garonne, pour quelques mots probablement mal compris.

SirnsoUt pour montrer les diffîcultés du sujet, rappelle que Bsvfd Gregory, dans la préface de son édition des œuvres d'Euclîde, avait exprimé la conviction qu'il ne serait pas difiicilc de restituer les Porismes de quelque manière, dès que le texte de Pappus aurait vu le jour; mais que Halley, qui s'était fait ensuite l'éditeur de ce texte, avait confessé n'y rien com«prendre, et n'avoir pu même former aucune conjecture sur ce que Pappus avait voulu dire.