X. J*entre immédiatement dans la discussion proprement

dite, sans m'arréter aux inexacLiludes que je remarque dans Texposé (jui la précède.

commissions est proposé de faire déclarer par l'Académie que R, Sitnson a cmsidéré les â9 énoncés de Pappus comme n'étant autre chose que les cmeluswns des 171 propositions qui formaient les trois livres d*Euclide et comme résumant ainsi la substance de cet ouvrage.

Pour obtenir ce résultat, elle coiiHiience par oublier de s expliquer devant l'Académie sur les objections que j'avais présentées le d8 mai 1860, et que j'ai rappelées dans TarUcle précédent. {Voir aussi les art. V et Xlll.)

La commission invoque, en premier lieu, les deux passages du livre de H. Simson qui forment l'objet de 1 arliclc Vlll. Elle ])retend y trouver la plus forte preuve que ce géomètre a considéré chacun des énoncés de Pappus comme appartenant à plusieurs des Porismes d*Euclide. J*ai fait voir, dans Tarticle cité, que ces mêmes passages avaient été interprétés tout autrement par M. Chaslcs duiis ï Aperçu historique, et (pie la nouvelle interprétation, fondée sur une équivoque, est d ailleurs absol ument inadmissible.

XI. Après ros plissages, la commission m'oppose, comme exprimant les idées dont je réclame la priorité et l'honneur, une partie de la traduction du texte do Pappus donnée par Simson,

bien que cette traduction ne soit pas faite de manière à autoriser uoe telle interprétation.

On a vu, en elTel, dans l'art. VllI, que la description du contenu des trois livres d Euclide est entièrement appropriée, dans cette traduction, à l'idée que les 29 énoncés ne sont autre chose que 29 des M\ propositions d'Ëuclide. J'avais, d'ailleurs, appelé expressément Tattention sur la manière dont Simson traduit la première phrase de cette description ( I ; . Voici le mot à mot qu'eu donne Commandin : Itaque in primo libro hœc gênera quœsitorum inpropositionibus slatuere oportet (â). Ualley avait cru devoir refaire, en grande partie, la version de son devancier, tant elle était, àitAl^ absurde et plate {adeo absurda et insulsa erat) [3), et traduire Talia ita^ inquirenda offeruntur inprimi îibri propositionihus (4), en évitant d'employer )e mot gênera, qui est si important. Simson a choisi cette dernière traduction, ce qui est assez significatif.

« Il importe peu, ici, répond la commission, que cette tra- « duction soit plus ou moins exacte; elle sert de base aux

« recherches de Simson, et les idées qu elle exprime sontpar- « faitement claires , sans la moindre ambiguïté (5). »

Nous savons (art. VII) qu't/ nest pas vrai que ces idées servent de base aux recherches de Simson, Nous allons voir (ju'il n'est pas vrai non plus qu'elles soient exprimées dans la traduction dont il s'agit.

Suivant la coiiiinission, ces idées, dont la priorité est en discussion , sont exprimées dans ce passage oùPappus est censé dire d'Ëuclide : Per omnia Porismata non nisi prima princi*

(1) Comptes reèidus,,l. Li, p. 1030.

(2) Pappi Àlisandrini mathematicœ coHectiones, iu praf. lib. vit.

(3) ApollonU Pergœi 4e Seclione rationis, la praf, ad leetorm p. penultima.

(4) B, Simtan opéra qmdam reliquat p. 350.

(3) Comptes rendus , t. LUI, p. 703.

pia^ et semina tmtum muitarum et magnarum rerum spar^ sisse videlur. Ilaec autem jujota hypothesitmi differeniias minime distinguenda mnl ; sed secundum différentiel acci' dentium et quoesitorum» Hypothèses quidem omnes inter se differunt^ cum specialissimae sint: accidentium vero et ^tioesitorum ummquodque, cum sit mum idemque multis divers sisque hypothesibus contingit (1).

ÎC! on trouve, sous forme de note, ce commentaire : Ex, gr. Multa sunt Porismata qiiae diversas hypothèses habent^ sed quae omnia cmcludunt punetum aliquod tangere rectam pantione datam; vel rectam aliquam vergeté ad punetum àatum, etc. (2).

Pour savoir ce que R. Simson a compris, il suffit de rétablir le mot à mot qu'il a dû faire sur le texte grec, en conservant autant que possible les termes employés dans sa traduction, et en particulier rerum^ qui devrait être remplacé par multitthdinum ou par un équivalent dans une traduction exacte. Voici ce mot à mot : Ppr omnia Porismata videtitr prima principia et semina {anluin rerum muitarum et magnarum sparsisse, quarnm unamquamque minime juxta hypothesium différent tias distinguere oportet, sed, etc* La phrase grecque, qui est très-longue, va jusqu'au mot contingit^ le dernier du passage cité. On voit que Simson, dand sa rédaction déflniti^'e, a partagé cette phrase en plusieurs autres : et que le pronom haec^ au (•otiuiieiiLeriienl de Ui seconde, rorri'Spund à quarum^ et qu'il désigne les i\ombreuses et grandes choses dont Ëuclide a répandu les germes dans tous les Porismes. Ces nombreuses et grandes choses, dont le grand énoncé de Pappus est un exemple, sont , pour Simson, de nouveaux Porismes ^ et c*e8t pour cela qu'il met au pluriel neutre ce pronom haec.

Le passage cité sappUquc donc tout entier à ces noi^-

(1) A. Simion opcra qwedam reHtua, p. Zi9, (*i) itndm»

veaux Porismes, et par conséqueDt il eo est de même de la note de Simson qui en est le commentaire. En effet, dans cette note, après avoir dît Multa mnt Pùrimata^ il n'ajoute pas Fuclidis^ tandis que dans tout le reste de son livre, lorsqu'il parle des Porismes d'Euclide, il ne manque jamais de le spécifier, comme on l'a vu notamment dans les art* IV et VIII. Il est évident que ce qu'il comprend, c'est tout simplement qu'en développant les germes déposés dans Touvrage d'Euclide on pourra rencontrer, par exemple, beaucoup de Porismesqui, avec des hypothèses différentes, auront tous pour çmclusi<m que quelque point est situé sur une droite donnée de position ; ou bien que qwlque droite passe par un point donné, etc. En d'autres termes, parmi les Porismes que Ton trouvera ainsi, il y en aura beaucoup qui auront même conclusion que telle ou telle des propositions de l'ouvrage d'Euclide. On voit quc; dans ces textes, Simson n'exprime en aucune fiiçon les idées dont la priorité m'est contestée.

La commission trouve le moyen d'interpréter tout autrement ces mêmes textes, et voici de quelle manière. Elle ne cite le passage ci-dessus qu'à partir du pronom haec. De sa certaine science, pleine puissance'et autorité académique, elle décide que ce mot doit se rapporter au contenu de Touvrage d'Euclide, parce qu'on trouve auparavant le terme Porismata, Elle ne daigne pas s'inquiéter du mot à mot, bien qu'elle ne puisse ignorer que dans la phrase grecque le sens commence avant la seconde phrase latine et se continue dans celle-ci (1).

Elle décide également, avec la môme autorité, qu'après le mot Porismata, dans la note, on doit sous^ntendre £uclidis (2).

De là elle passe à la signification du mot inquirenda, qu'elle fixe, comme on l a vu dans 1 art. Yil, de manière à faire pen-

(t) Comptes rmdu$,i,h\fp,iO^, (2) Comptes renim^ t. LUI, p. 706.

ser qu'elle parle du livre de R. Simson sans en connaître le

contenu.

Parvenue à ce point do la discussion, la commission déclare qu'elle regarde son opiDÎon sur la valeur de mes réclamations comme « suffisamment justifiée.» Elle ajoute que cependant elle va soumettre à un « examen sérieax » les passages du livre de R. Simson que j'ai cités à l'appui de ces réclamations.

XII. Elle propose, en premier lieu, une interprétation de ce pasi^age dans lequel Simson exprime de la manière la plus formelle la pensée que Fci mat n'aurait pu rétablir les M\ pro^ positions d'£uclide, attendu qail ne reste aucun vestige^ abso' lumentrien d'un grand nombre de ces propositions On a vu (art. VI) que cette interprétation imaginée par la commission n'a rien de sérieux.

Elle m'oppose ensuite ces mots qu'ajoute le géomètre de Glasgow : At Fermatius ne vel primum primi enwteavit^ quod unicum integrum servamt Pappus (2). Ce dernier passage, où le mot Porima est sous-entendu, signifie que lèpre-

(1) Fermai est te seal des devanciers de Slmsoa qui ait aDooncé une restitution desPorismes dans des termes tels que Too ait pu supposer qu'il promettait ooe restitution complète; naturfllemeol il est le seul à qni Simson dénie. \a possibilité de teuir uue telle promcssc. (Voyex Comptes rendus, t. LUI, p. 708.1

(2) R. Simson opéra quœdam reliquo, p. 318. — Dans l'écrit que nous avons de Fermai sur les Porisnies, ce géomètre donne ( inq exemples de Porismes. Ces eiempies sont deâ proposilionâ oiiâos i»GUi> la lurme de tbéorAnes. La première a pour coiiriQsion Ténoncé SI de Pappus, la seconde réooDcé 3, et la troisième Ténoncé 32. Il est éfident que Simson n'aurait pas dit : ^1 FernuUiutne vel primum primi libri «nticleavil, s*il aiait regardé les énoncés de Pappus comme étant les eAotes à cherelur dans les P«rismes. et la restitution de Tonfragc d'Eudide comme se réduisant à trouver des proportions ayant pour conclusions ces énoncés. Fermât fait conoatlre dans son cinqui^mo nemplpce qu'il entend par la cho!fe rhrrchre. C'est la valeur d'un ccriam rappori, et, \):\v cnnsrqupnl, une inconnue de problème ordinaire. 11 ru csl de niemc daui> le livre de Simson, ainsi que nous l avons explique dans l'art. Vii.

mier Porisme du premier livre est le seul que I on trouve otmservé entier dans Pappus. C'est ce qae Simson explique luimême quelques ligues plus loio en ces termes : le premier Porisme du premier livre, lequel^ comme il a été dit, seul de tous dans les trois livres, reste encore entier {primum lih. i. Porisma, quod^ ut dictum fuit, soium ea; omnibus in tribus libris integriim.adhuc manet) (I).

La commission prétend que, dans ces mots quod unicum integrum servavit Pappus, non-seulement Simson exprime ce fait matériel, mais encore il attribue à Pappus un rôle actif, et veut dire que ce fféouu ii e n u conservé qu'un seul Porisme à l'état de proposition ; ou, ce qui est la même chose, que les 29 énoncés nous sont parvenus tels que Pappus les a écrits. La commission fait remarquer; à ce sujet, que ces mots Pappus serwvoit se rencontrent en plusieurs endroits du Traité des Poi ismcSj et, suivant elle, Simson, en employant cette locution, attribue à Pappus un rùle actif (2).

Il est parfaitement vrai que Simson fait usage de cette locution plusieurs fois dans son Traité des Porismes; on peut ajouter qu'on la rencontre pareillement dans d*autres écrits de cet auteur; d'où il suit qu'elle doit avoir pour lui une signification bien déterminée et toujours la même. Mais cette signification ne peut pas être celle que la commission prétend avoir été dans la pensée de Simson. Gela résulte notaomient du passage que voici (la commission elle-même le cite) : $olus enim Pappus nomina et ar^menta librorumquos de ea seripserunt Veteres servavit{(i]. 11 s agit des titres et de rindication du contenu des ouvrages que les anciens ont écrits sur Panalyse. Si l'on admet, avec la commission, que les mois Pappus serva' vit doivent s'entendre ici d'une action accomplie par Pappus

U) R- Simson opéra quœdam retiqua, p. 310.

(2) Compif<i rendue', t. LUI, p. 709.

^3) R, Simson opéra quœdam reliqm, p. 513.

porsonnellemeoty Sirnson se trouvera avoir voulu dire que,

parmi tous les géomètres de l'antiquité qui ont pu avoir connaissance de ces ouvrages, Pappus était le seul qui en avait conservé les titres et Tindication de leur contenu; que, par conséquent, sdr tant d'écrits dont nous regrettons la perte, il n'y en avait aucun qui aurait pu nous procprer ces renseignements, et qu'on ne les aurait même pas trouvés dans les six livres que Geminus avait consacrés à l'histoire de la Géométrie I Telles sont les opinions « absurdes et niaises (4)» qu'il faut prêter à Sirnson pour attribuer, dans ce passage, un rôle personnel à Pappus.

Il est évident que le passage en question doit être traduit de cette manière : Car c'est dans Pappus seul que les titres et l'indication du contenu des livres que les a?icteus avaient écrits sur cette analyse nous ont été conservés, Kn d autres termes, dans cette locution Papptts servavit^ le mot Pappus représente, pour Sirnson, les écrits de Pappus, eomme quand nous disons traduire Pappus, et non pas ce géomètre luimême. Les conscqiieru es qac la commission prétend tirer de ces mots qnod u/iicum mlegmim servavit Pappus ne sauraient donc être admises.

XUÏ. La cx)mmission aborde avec la mémo o iitiance dans son autorité, les preuves qui établissent que Sirnson a considéré les 29 énoncés comme n'étant autre chose que 29 des ni propositions d'Eudide,

4* Sirnson dît du 27* énoncé : Quod guident Porisma vide-tur antepenultimum esse Lih, 3. Euclidis , puis du 28* : Paris- ■ ma penultimum Lib. 3. Euclidis ; puis du : Porisma ultimumLib. 3. Porismatum Euclidis (2). Voici donc trois de ces énoncés auxquels il applique le nom de Porisme; qui sont, par conséquent, pour lui, des propositions individuelles.

(1) Comptes rendutt t. LI, p. 1046, aocommeDceneitetà la fin. (*2) a. SimtoH opéra quœdam reliqua, p, 4^5, 4S3 et 471.

La commission confesse ne pouvoir expliquer ce fait qu'en supposant que Simson a pu laisser dans son ouvrage une

expression impropre, qu'il en aurait ftiît disparaître s'il Tavait publié lui-môme. KUe dit ; ^ Siiiisuii a déclaié nettement qu'il « y a beaucoup de Porismcs dans lesquels les hypothèses sont « différentes et qui ont cette même conclusion que quelque « droite passe pour un point donné, oti, e^c, et il est impos-

• sible d'admettre que cette affirmation , si nettement exprimée,

• soit contredite et réduite à néant par le seul fait de Temploi « du mot Porismet pour désigner trois des énonces de Pappus. » Hais c'est tout à fait gratuitement que la commission prête cette déclaration à R. Simson (art. XI)« 11 ne reste sur ce point que Taveu de son impuissance à expliquer les passages cités, tels que ce géom^tre les a écrits.

N'oublions pas que les énoncés 6 et 15 sont aussi desPorismes pour Simson, comme on l'a vu dans l'art. VIII.

Au surplus, cet auteur n'est pas le seul qui ait appelé, dans ce sens, les énoncés de Pappus des énoncés de Porismes. C'est ce que fait, par exemple, M. Chasles, en annonçant quMI a trouve une interprétation assez naturelle des 24 énoncés de Porismes que n'a pas établis Siinsuiij et en considérant ensuite les 15 premiers énoncés comme les Porismes du premier livre (4 ).

SS* Ce que Simson dit en particulier de ces énoncés 6, 45, 27, 28 et 29, il le dît des 29 énoncés, eu ces termes : Perspi-

cuum est propositiones has oînnes, prima excepta, 07nni?w mancas et imperfectas esse. Ce passage exprime deux jugements successifs. L'un porte sur la nature des 29 énoncés ; Simson commence par dire : Il est manifeste que toutes ces propositions; ce qui signifie que pour lui ces 29 énoncés sont 29 des 471 propositions que renfermait l'ouvrage d Euclide. C'est ainsi que quand M. Chasles dit ' Pappus, il est vrai,

(I) ÀptrçvL kiiioriqWj oote Ml» p. 279.

nous a transmis les énoncés de trente propositions appartenant à ces Pori8mes{\) ; ou bien, en parlant de Touvrage de Sîmson : Nom n'y trouvons de rétablis que six des trente propositions énoncées par Pappus (2), ou bien encore, en parlant des 29 énoncés, ces propositions obscures (3) . il est parfaitement clair pour tout le inonde qu'il regarde ces i9 énoncés comme n'étant autre chose que 29 des Mi propositions d'Euclide, et qu'il donne au mot proposition le seul sens qu'on lui connaisse en géométrie.

La commission oublie des'expliquer surce premier jugement, lequel n'est autre chose que la première objection que j'ai faite le 28 mai 4860, dès qu il a été question de la prétendue priorité de R. Simson (art. IX).

Le second jugement porte sur Vétat dans lequel Sîmson croit que toutes ces propositions ^ la première exceptée, nous sont parvenues ; ce qui doit être l'objet de l'article suivant.

En définitive, la commission est demeurée impuissante en > présence des témoignages qui prouvent que dans la pensée de Simson les 29 énoncés n'étaient autre chose que 29 des 474 propositions que renfermait Fouvrage d*£uclîde.

XIV. Je réunis dans le présent article tout ce qui se rapporte

à l'état dans lequel Simson croyait que les énoncés de Papous nous étaient parvenus.

4 'Après avoir exprimé dans les premiers mots de ce passage : Perspicuum est propositioneshas omnes^prima excepta, omnino mancas et imper fec tas esse^ que les 29 énoncés de Pappus sont des propositions, Simson ajoate que toutes ces pro])osîtions, la première exceptée, absolument tronquées et défectueuses. Suivant la commission, ce qu'il veut exprimer, c'est que toutes ces propositiotis sont incomplètes et imparfaites par le manque

(I) Aperçu hiitori^, p. 13.

v'i) Aperçu hi$torique, p. tlù.

(3) Traifé de iféométrie tupérieure» p. ilit.

d hypothèses (1 ). Mais, eu premier lieu, <les/»ro|Mtftiùm« inconil»lèieset iaipurfûMptT le muMioe d*hypeâièses ne sont que ileB prùp09iHmi9 indiviêmUes, Le maipi'ùpoiition a*admet pas d*autre sens en géométrie ; et, d^ailleurs, lors même que Sim-

son aurait signalé le manque d'hypothèses (ce qui n est pas) il ne pourrait être censé, sans autre preuve, avoir compris que chacun des i9 énoncés répondait à plusieurs propositions de Touvrage d'ËucUde (art. IV). En seoond lieu, la commission TMiblie de traduire l'adverbe omnino, dont j'avais cependant signalé l'importance. Cette interprétation n'est donc pas sérieuse.

2» La pensée de Simson, sur l etat dans lequel ces eiioncés nous sont parvenus, se manifeste encore avec évidence dans œ qu'il dit de quelques-uns en particulier. Voici, par exemple, t»mment il s'exprime au sujet du 27' : Cette de$eriptwn certainement mutilée , et peut-être corrompue, ptmiit devoir être rétablie et expliquée comme on la fait dans la proposi* tionsuivaîite {Descriptiohasc mutila certe, et jorsan corrupta^ ita suppknda et expiicanda videlur, ut in propositione eequente) (2). On voit que Simson considère le texte de cet énoncé comme mutilé ^ c'est à-dire comme ne nous étant pas parvenu tel que Pappus l'a écrit, et qu'il espère l'avoir remis dans l'état où il était primitivement dans les manuscrits.

Suivant la commission, le mot mutila se rapporte à l'absence d'hypothèse (S). Mais Simson ne parle aucunement d'hypothèse. 11 s'agit d'un texte qui lui semble être certainement mutiléf et peut-être corrompu, et qui, lorsqu'on connaît la pensée de Pappus, se trouve n'être ni mutilé ni corrompu. La commission n'a pas encore répondu sérieuserfient.

S* Enfin Simson, après avoir donné la proposition LXVII, la dernière de celles qu'il regarde coimne ayant dû appartenir à

(1) Compta rendui, t. UTl, p. 712.

(2) R. Simson opéra quœdam reliqua^ p, 455.

(3) Complet rendais t. LUI, p. 712.

rr- 35 —

l'ouvrage d'EucUde (à ), remercie Dieu de lui avoir accordé le courage et les forces sans lesquels il n'aurait pu venir à liout de rétablir ces pi upositions, tant la description que donne Pap-

pus est laconique et obscure et altérée par l'injure du temps ou par d'autres causes {adeo brevis est et obscura, et injuria temporis aut aliter mliata) (i). Par ces derniers mots il fait allusion, évidemment, à la disparition des hypothèses des 28 énoncés autres que le premier, à 50 lacunes &ont il figure 48 . par des séries de points consécutife et 2 par des astérisques, et enfiii a la corruption du texte en divers endroits.

Ici encore la commission me contredit. Elle trouve l'explication de ces altérations par l injure du temps ou par d'autres causes • dans le fait de dix lacunes signalées par Simson, savoir

• trois par des astérisques et auxquelles le géomètre de Glas-

• cow ne cherche pas à suppléer, et sept autres auxquelles il « supplée par des mots écrits en italiques (3). •

Cette explication, j ai le regret de le constater, n'est pas plus sérieuse que les précédentes. Les mots écrits en italique, dont parle la commission, ne répondent point à des lacunes. Ce sont des explications incidentes, ajoutées par Simson à sa traduction des 29 énoncés. La première se i a p pur Le au premier énoncé, que Simson lui-niénie dit être complet, et dans lequel, par con8é(]uent, il ne peut supposer une lacune. Cette explication est, d'ailleurs, précédée des initiales t. e, qui signifient & est' à-dire j et les guillemets qui accompagnent les énoncés sont interrompus dans toute son étendue. De sorte que, sur les dix lacunes comptées par la commission, il faut d'abord en re-

d} A (que haec sunt Loca et Porismata, ea scilicet quae habentur in ter PropomlioMS praccedentes a septima usqueadhanc,qune Euclidit; esse digna&cere valebam... {fi. Siinson opéra quœdam reliqua, p. 513.) Tarini ces propositions, cellrsqui portent Ivf ooméros 47, 48, 66 et 67 fiAntdétfgiiétfl pir Simsoii sous le uom de Pinitmes^ et ccpctidiiit IcarecoochMiettt m figurenl peinl paml ict ^ éMeée.

(t; A. SiMMMi ojpera qmulam têUqw, p. 619* Compl0$ rmdut, t. LUI, p« 713.

trancher sept. Sur les trois qui restent, il faut en retrancher encore une ; il s'agit d*un astérisque simple que la commission

a pris pour l'indication d'uno lacune, ot qui n'est qu'un renvoi de note, comme on en trouve de nomiireux exemples dans le volume mémo dont le Traité des Porismes fait partie, et comme c'est d'ailleurs l'usage dans la typographie anglaise. La note, bien entendu, est au bas de la page. Il reste, en défini-

tive, deux lacunes indiquées par des astérisques doubles, d'après Halley. dan!=; les énoncés 9 et 11. Or Sirnson n'a pas présenté de restitutions pour ces deux énoncés. Ce n'est donc pas à ces lacunes qu'il fait allusion dans le passage cité. £a définitive, il ne reste, de toute cette explication, que les bévues vraiment incroyables dans lesquelles la commission est tombée.

XV. La commission, après cette « explication, » déclare ne vouloir pas me suivre plus loin en ce qui concerne les idées

que R. Sirnson s'était faîtes sur les 29 énoncés de Pappus. Elle regarde tout ce que j'ai pu dire à ce sujet comme complètement réfuté par « ce qui précède. »

Quant à ma réclamation vis à-vls de M. Ghasles, la commission y répond en ces termes : « Cette question de priorité étant « résolue, d'après nous, en faveur du géomètre Simson, comme « Ta toujours dit M. Chasles, il n y a pas lieu de prendre en

• considéi ation les critiques que M. Breton dirige contre notre

• confrère. »

Dans ces mots, comvie l'a toujours dit M. Chastes f il y a un fait supposé* Avant que j'eusse réclamé, H. Ghàsles avait toujours attribué à R. Simson des idées qui excluent cette

priorité (art. III).

Tel est le prétexte (pie la commission a mis en avant pour ne pas vouloir examiner, dans son rapport, la question de savoir si M. Chasles est fondé à prétendre que dès l'année 4835 il a considéré les 29 énoncés de Pappm comme résumant les

171 propositions d'Euclide. Cette question était dans l'orij^iiie la seule que j'eusse soulevée en présence des asseitions de M. Cbasles. Le public géomètre De prendra pas le change» et se chargera de la résoudre.

Vient enfin la conclusion da rapport, laquelle exprime un fait matMellement faux (art. Y).

Ici se termine ce que j'avais à dire sur cette question de

priorité et sur ce rapport que MM. Bertrand et SerreL ii oaL pas craint de présenter à la sanction de l'Aradémie.

Cependant je n'ai pas fini encore. En elfet , d'une part M. Chasles ne s'est pas borné à travestir la vérité historique. . 11 a traité de la même manière les idées que j'ai émises sur les Porismes(l), comme s'il eût craint de les voir se répandre. D'autre part ses assertions (2), répétées avec complaisance par M. Bertrand et Serret (3), tendent à faire croire que mes publications ne fournissent aucun moyen de restituer conjecturalement les propositions qui formaient les trois livres perdus. Il m'importe donc de rétablir la vérité sur tous ces points. Tel est l'objet des pages suivantes.

(i) Comptes rendus, t. U, p. 10i8, 105*, 1060. (?) Les trois livres de Poritmet^ eic, p 9 a 10, ou oole. — Comptes rendus, l. Il, p. 105u.

{i) Comptes rendus^ t Liii, (>. 7U2.

CE QUE C liSï QL UN PORISME.

llf QUOI COmMTB PRàCISÉMlIlT LA QUB8TI0H A KÉflOOftaS.

Afin de faire bien comprendre la nature de la question, je rappellerai d aboid dans quels ternies elle était posée par mes devanciers, et ce qui, à leurs yeux, en faisait la difticulté. Voici comment s'exprimait M. Ghasles, en 4837, dans son exposédes travaux de tous les géomètres depuis les temps les plus an* ciens jusqu'à nos jours :

« Pappus etProelus sont les seuls i;éornètres de l'antiquité

• qui aient fait menLion des porismes; mais déjà, au temps

• du premier, la signification de ce mot s était altérée, et les

• définitions qu'il nous en donne sont obscures. Celles de « Proclus n*est pas propre à éclaircir les premières. Aussi, ça

• été une grande question parmi les Modernes, de savoir la « nuance précise que les Anciens avaient établieentreles théo-

• rèmes et les problèmes d'une part, et ce troisième genre de « propositions, appelées porismes^ qui participaient, à ce qu'il « parait, des uns et des autres, et de savoir particulièrement

• ce qu'étaient les porismes d'Euclide (1). »

(I) Aperçu historique, p. 12, M. Chaslrs continue en ces termes : V Pappuâ, il est vrai, nous a Irauauiiâ les éiioucéâ de trente propositions « apparlenaal à ces porUmett mais ces éooacés soot si sacciocts, et soot <t deveoQS si d^fectneut par des lacanes et Tabsenve des figures qai « s*| rapportaieot» que le célèbre Halley, si profondément versé daos la « Géométrie ancienne» a confessé n*y rien comprendre, et que, jusque vers « le milieu du siècle dernier, btea que des géomètres d'un grand mérite m (voyei la Ilote Itl ) aieut Sut de cette matière Tobjet de leurs méditations, « aucun énoncé D*avait encore été rétabli. »

M. Chastes donne « suite, » dans ectle note III à laqncHo il renvoie, an paragraphe do son exposé hisforiqtie qui est spécialcracnt consacré à la qucbdon des Ponsm s. ^^Ai^erçu lnsloriquet p. 14-15.)

Je vais placer sous les yeux du lecteur ces définitions du Porisnie que Pappus et Procius nous ont transmises, avec les ez|>UcatioDS dont elles sont accompagnées dans les écrits de ces deux géomètres. Redonnerai ensuite plusieurs exemples qui murent en évidence le caractère propre des propositions ftin^ appelées par left anoiens , et d'après lesquels on pourra se former une idée exacte de ce que.devait être rouvraji;e perdu

MOTICB DS PAPPUS SUR LIS PORISMBS d'bUCLIDB (1).

Cette Notice fait partie de la préface du VII* livre des Col^ lections mathématiques. Dans cette préface, Tun des morceaux les plus précieux qui nous soient parvenus sur la géométrie des Grecs, Pappus donne la liste de divers ouvrages d'Ëuclide, d'Apollonius et d*Âristée rÂncien (S), dont on avait formé une collection destinée spécialement aux études de ceux qui voulaient se mettre à même d'entreprendre des recherches géométriques. Il décrit dans la même préface 9 de ces traités, Sur ce nombre, 3 sont arrivés Jusqu à nous, en tout ou en partie. Parmi les 6 autres se trouvent les Porismes d'Ëuclide.

(1) Pappi Alexandrini matkematicœ collectiones^ lib. Vil, ia praef. — Pour le texte grec, voyez ApoUonii Fergœi de Seclione ralionis ia prœr., et le Journal de mathématiques pures et appliquées^ publié par M. UiNifille, 1** série, I.XX, p. 211, eu noie.

I*ai déjà dooQé deux tridoctioas de celte Ifotice, dm ce même Jcurnal de mathémaUquêt, 1» série, t. JOL^ p. ttt ; S* série, t. III, p. 91. Celle qoe je donne aiijourd*hoi esl donc la troisCème. Elle dilSfcre du précédentes dsos certaios passages dont je M)te les plus imporlaols. tes ri'sulrats essentiels de mes recherches restent d'ailleurs les mêmeâ

(2) Ces trois géomètres, les premiers qui aient illustré l'école d'Aletandrie, florissaient dans le troisième siècle nvant .fésus-(^hrist. Pappus, qui appartenait à la môme école, vivait vers Tau iOO de notre ère.

• Apr^ les Contacts viennent les Porismeg cl*Boclide en

• trois livies, recueil dans lequel un a-t nui riioiiv a réuni

• beaucoup de choses utiles pour In resolution des |)robl^mes « les plus compliqués et pour les recherches de tout genre.

« Ces choses, de leur nature, s^offrent en abondance illimitée. ^ « Cependant il n'en a été ajouté aucune à celles que renferme « Touvrage primitif d'Euclide ; seulement certains d'entre nos

• devanciers ont formé, pour quelque:?-uiies,de seconds énon-

• ces, mais bien mal à pro[)os ; car chacune d'elles est l objet « de plusieurs démonstrations, comme nous I expliquons; mais « £uclide n'en donne, chaque fois, qu'un énoncé unique, qui en < est Texpression la plus claire. >

On verra plus loin que ces choses sont des faits géométriques ; c itaient probablement ceux que 1 on rencontiait le plus souvent dans 1 étude des propriétés ou des événements des figures, comme disait Desargues il y a deux siècles. On peut penser aussi que le choix d'Euclide s'était porté plus particulièrement sur ceux de cjes faits géométriques pour lesquels il possédait des méthodes générales propres à les reconnaître et à les mettre en évidence dans tous les cas. En elïet, Pappus continue en ces termes :

< La théorie mise en usage dans ces trois livres est à la fois « fine, naturelle, nécessaire et très-générale, et propre à faire « les délices de ceux qui sont en état de voir et de trouver. »

11 ne nous reste aucune indication certaine sur ces théories dont Pappus fait ainsi l eloge. Cet auteur, il est vrai, donne 38 Lemmes relatifs à ces Porismes ; mais il est évident que ces Lemmes n'ont pu appartenir à l'ouvrage d'Euclide. Pappus n*a dû introduire dans son recueil que des propositions qui pouvaient servir à faciliter certaines démonstrations, et que Ton ne trouvait pas dans les trois livres. Ces Lemmes, dont Pappus est peut-être l'auteur, appartiennent a une géométrie plus récente que celle d'Euclide , et rien n' autorise à croire que certains principes qu'on y remarque, par exemple ceux de la

géométrie des transversales, étaient en usage dans les Porismes.

Pappus reprend :

« Les diverses espèces des Porismes oe sont , quant à la

• forme, ni des théorèmes, ni des problèmes, mais tiennent, en

< quelquesorte, le milieu entre les deux ; de telle façon qu*il est « facultatif d*en mettre les énoncés sous la forme qui convient « aux théorèmes aussi bien que sous celle qui convient aux « problèmes : d'où il est résulté que, parmi beaucoup de séo- « mètres , les uns estiment qu'ils appartiennent au genre

• des théorèmes, tandis que d'autres, ne tenant compte que « de la forme des énoncés, les considèrent comme apparte- « nant au genre des problèmes.

« Mais les différences entre ces trois genres ont été mieux « connues des Anciens, ainsi qu'on le voit par leurs défini-

< tions; car ils disaient que U théorème est ce qui est proposé

• comme étant à démontrer; le problème, ce qui est proposé « comme étant à construire ; le Porisme, ce qui est proposé « comme étant à trouver.

• Cette délinition du Porisme a été changée par les Mo- « dernes qui n'étaient pouit en état de trouver. Se prévalant « de ce qu'ils voyaient dans ces livres qui renferment les « éléments de la doctrine des Porismes, et se bornant à y « montrer la chose seule qui est demandée, sans passer par « les raisonnements qui la font trouver, et se mettant, d*aîl-

• leurs, en contradiction avec la définition et avec ce qui est « enseigné, ils ont écrit d après ce qui arrive accidentellement

• dans ces Porismes : le Porisme est ce qui manque à une « hifpothèse de théorème local.

« Dans le genre des Porismes, les Lieux sont compris comme

• espèce, et ils abondent dans la collection dont l'ouvrage « d'Euclide fait partie. On en a formé, en dehors des Porismes,

< des recueils qui ont été donnés sous des titres particuliers, « à cause que c^tte espèce est beaucoup plus nombreuse que

• les autres. On compte, en effets dix sortes de Lieux ; les uns

« sont plant f d'autres tolideSf d'émret/iWÉ n'nw ; el il y «a

« outre, ceux at«r moyennes (4).

• 11 ai ris 0 encore aux Porismes ceci, de présenter des éoon- « ces t^^s-peu explicites, où plusieurs choses sont ordinaire- « meut fious^nteadues, ce qui est une cause d'incertitude ; de « sorteque beaucoupde géomètres ne saisissent cpi^en partie ce M dont il s*agit, et que ce qu'il y a de plus essentiel leur

• échappe.

• Ouant à réunir beaucoup de propositions dans un seul « énoncé, cela n'est guère possible dans les Porismes, parce « qu'£uclide lui-même n'en donne pas beaucoup de chaque « espèce, mais seulement un ou peu comme échantillons pris « dans un grand nombre. Cependant il en a donné d'analogues « entre elles au eonimencemcnt de son premier livre. Elles « appartiennent à celle espèce des Lieux qui sont tellement « nombreux que l'on en compte jusqu'à dix sortes. C'est pour* « quoi nous trouvons possible de les comprendre dans un seul « énoncé, que nous écrivons comme il suit :

« Si dans une figure formée par quatre droites qui se « coupent deux à deux corné cutivemmty les trois points d'in- « tersectton de l'une d'elles avec les trois autres^ou les deux « quand elle est parallète à Vune de celles^, sont donnés^ et « que chacun des points d^interseetion restants, excepté un, « se trouve situé sur une droite donnée déposition, le dernier « se trouvera situé aussi sur une droite donnée de posi*

• tion.

« 11 s'agit ici de quatre droites seulement, dont pas plus de « deux ne passent par un même point. Mais ce que l'on ne sait

• paS| c'est que la même chose se trouve être vraie pour tel < nombre de droites qu'on voudra, étant énoncée de cette ma-

(1) DtiiB cet alinéa j'ai abaodoDoé le teite de lalley, que j'avais d*abord «ilvt ; et je rais meoo à celai des deot minaacrits de la Bîbliothèqne impériale de Parie» qui parait ivoir eern de base à Ja Tersioo de Conmandia.

Digiti/ca by Guv

• nîère r Si tani de droites qu'un vundra se coupent les uties

• les ualt es , mais poiir plus de deux en un in&ine point , et « que tom Us points où l'une d'elUi esi rencontrée par les m autres soient donnés f qu'en même temps chacun des points

• où fune de ces dernières est coupée par les droites reS" m tantes se- trouve situé sur une droite donnée de position ;

• ou plus généralement : Si tant de droites qu'on mtidra se m coupent les unes les autres, mais pas plus de deux en un « même point f et que tous les points où l'une d'elles est ren- « contrée par les autres soient dùnnés, qu'en même temps « parmi les points intersection de ces dernières, lesquels « forment un nombre triangulaire, il s'en trouve autant

• qui soient situés chacun sur une droite donnée de posi-

• tion qu'il y a d'unités dans le côté de ce nombre, de « telle sorte que trois de ces points ne puissent être les « sommets d'un espace triangulaire ^compris entre trois « des droités varitAles], Chacun des points d^intersection « restants se trouvera situé aussi sur une droite donnée de

• position.

« Il n'est pas vraisemblable que Fauteur des Éléments ait

• ignoré cette proposition, mais il n'aura voulu en poser que le « principe. Et il parait, dans tous ses Porismes, n'avoir fait

• autre chose que répandre les principes et les semences de « nombreuses et grandes foules de propositions ; foules qu'il « faut distinguer les unes des autres, non pas par les ditlé* « renées des hypothèses, mais par celles des choses qui « arrivent ou qui sont cherchées. Car, tandis que toutes les

• hypothèses diffèrent entre elles et sont tout à fait particu- « lières, chacune des choses qui arrivent ou qui sont cherchées

• se présente unique et la même dans plusieurs hypothèses

• différentes; et c'est en cela que ces Porismes sont les mêmes « pftr le genre (4). »

(1) Ce dernier membre de phrase se trouve dans les manuscrits o" 2366

Nous arrivons maintenant à' la description du contenu des irois livres d'Euclide; description qui en résume la substance • sous une forme dont il n'existe aucun autre exemple dans Ja géométrie :

< 11 faut, en conséquence, continue Pappus, foire des choses « qui sont l'objet des propositions du premier livre les genres « ci-après. Âu commencement du § 7, il y a cet énoncé (1) :

« [4] Si de deux points donnés on mène deux droites se € coupant sur une droite donnée de position, et que Vune

* d'elles retranche d'une droite donnée de position un segment « à partir d'un point donné sur cette dernière, la seconde « retranchera amsi d'une autre droite un segment ayant « avec le premier une raison donnée,-

« Et dans les suivants :

« [â] Que tel point est situé sur une droite donnée de « position,

« [3] Que la raison de telle droite à telle autre est

« donnée.

> [4] Que la raison de telle droite à une certaine abscisse

« est donnée.

• [5] Que telle droite est donnée de direction, « [6] Que telle droite passe par un point donné, « [7] Que la raison de telle droite à certain segment me-

« suré depuis tel point Jusqu'à un point donné, est donnée.

H 2440 de la Bibliothèque inipt^riale de Paris et d«ns la version de Couimoadio. R Stmson m> l a pas reproduit.

(1) I.c mot grec que je traduis par énoncé a été traduit jusqu'à proseul par figure. Dans rua première ptiblication sur les Porismes [Comptes rendus, t. XXIX, p. 482), j avais exprimé la pensée qu'il u elait uullelueoi question dL> ligures dans ce texte; mais j'ai tradnil ensuite comme tout le monde, en me voyant seul de mon avis. Depuis lors j'ai appris que ma première interprétation s*est offerte aussi k i*espri( du savant M. Bienaymé, et je n'hésite plus à y revenir.

< [8] Que la raison de tell^ droite à certaine autre menée « de tel point, est donnée,

• [9] Que la raison de tel espace au rectangle qui a pour

• côtés telle droite et une droite donnée, est donnée.

• [1 0] Qu'une portion de tel espace est donnée^ tandis que « l'autre est en raison donnée avec certaine abscisse.

« [41] Que tel espace est en raison donnée avec certaine « abscisse, ou bien qw cet espace se trouve joint à certain « espace donné, et que le tout est en raison donnée avec cer-

• tai/ie abscisse (1 ).

« [42] Que telle droite^ plus une autre avec laquelle telle < autre droite a une raison donnée, est dans une raison don- « née avec certain segment compris entre tel point et un m point donné.

« [13] Que le trianxjle qui a pour sommet un point donné

• et pour base telle droite, est égal au triangle qui a pour « sommet un autre point donné et pour base la droite comprise « entre tel point et un point donné,

m [\ 4] Que la raison de telle droite^ plus telle autre droite « à certain segment compris entre tel point et unpoint donné, « est donnée.

• [45] Que telle droite intercepte^ sur des droites données

• de position, des segments qui comprennent un rectangle « donné,

« Daos le second livre, les hypothèses sont autres que dans « le premier, mais le plus grand nombre des choses cherchées « sont les mêmes; il y a, en outre, celles-ci :

« [1G] Que tel espace on bien est en raison donnée avec

• certaine abscisse, ou bien^ lorsqu'on y Joint certain espace « donné, est en raison donnée avec certaine abscisse,

(1) Dans le texte grec, il parait iuar)(;uer quelque chose à la régularité grammaticale, ce qui a Tait supposer qu il était incomplet : je crois ea avoir donné le véritable sens.

t [47J Que le rectangle qtii a pour ç6té$ telle droite et telle « autre droite^ est en raison donnée aveçeeriainé {laisse*

« [IS] Que le rectangle dont un des eûtés est la somme de m telle droite et de telle autre, et Vautre côté la somme de

« deuw autres droites, est en rui:iun donnée avec certaine « abscisse.

« [49] Que le rectangle qui a pour côtés telle droite et telle « autre droite, plus une troisième qui est en raison dmméa « aneç une quatrièmet et le rectangle qui a pour côtés telle

« droite et la droite qui est en 7'aison donnée avec une autre

• droite, forment une somme qui est en raison Uontiée avec

• certaine abscisse,

« [âO] Que ia somme de tel rectangle et de tel autre eH en m r€nson donnée avec la droite comprise entre tef point et un « point donné.

• [21] Que le rectangle de telle droite et de telle autre « droite est donné,

« Dans le troisième livre, le plus grand nombre des hypo- « thèses sont relatives au demi-cercle. Dans quelqucâ-uiies ii

• ^s'agit du cercle entier et de segments. Quant aux choses qui « soDt l'objet de propositions, la plupart sont à peu près sem<^

• blables aux précédentes. Il y a, en outre, celles-ci :

> [22] Que la raison du rectangle de telles droites au rec* « tahgle de telles autres droites est donnée.

« [23] Que le quarrë construit sur telle droite est en raison

€ donnée avec certaine abscisse.

• [24] Que le reciiutgie de telles droites est égal au rec-

• tangle qui a pour côtés une droit? donnée et le segment « compris entre tel point et un point donné,

« [25] Que le quarré construit sur telle droite est égal au « triangle qui a pour sommet un point donné, et pour base la

• droite interceptée par une perpendiculaire, à partir d'un > point donné.

■ [S6] Que le rectangle qui a pour côté* la somme de telle « droite et de telle autre^ et la droite qui est én raison donnée « avec telle autre droite, est en raison donnée avec certaine

« abscisse,

« [27] Qu'un certain point est donné, qui jouit de cette m propriété que les droites menées à ce point embrasseront « un triangle donné d*espèoe.

m [Sq Qu'un certain pmnt est donné, qui jouit de cette

• propriété que les droites menées à ce point interceptent des

• arcs égaux.

« [29] Que telle droite ou bien sera parallèle à certaine « droite passant par le point donné, ou bien fera avec elle un .

• angle donné.

« 11 y a pour les trois livres des Porismes d8 Lemmes. Ces

• livres reniérment 471 Théorèmes.»

Avant la jDublication des premiers résultats de mes recherches, on avait toujours pris les 29 énoncés qui précèdent pour â9 de ces47i propositions que renfermaientles trois livres d*Euclide, et on les avait traduits eu conséquence (art I, U, 111 et lY). Jusqu'au moment où j*aî signalé cette erreur, la question des Porismes n'a été qu'une énigme impénétrable.

INDICATIONS DK PROCLUS SUR LES PORISMES.

Les Porismes d'Euclide sont mentionnés en deux endroits du Commentaire eu quatre livres qua composé le célèbre philoso)phe néoplatonicien Proclus sur le premier livre des Élé' ments d'Euclide (I). 11 s*exprime d'abord en ces termes^ à propos de la proposition 4 de ces Éléments :

(1) Le leitc grec de ce commentaire se trouve à la suite dos Élément» d'Euclide, publiés eu grec à BAie j iii-fulio, 1633. U « été traduit en laiia

■ Porisme, se dit de certains problèmes, tels qu§ les Po- « rismes d'Ëuclide. » D'où Ton voit que les 471 propositions du Traité des Parismes avaient, en effet, la forme de problèmes. Proclus continue : • Mais il se dit plus particulièrement

• lorsque des choses que nous avons démontrées, il en ap-

• parait en même temps quelque autre, qui est un théorème « que nous n'avons pas énoncé, et que pour cela on a appelé « Porisme^ comme étant, en quelque sorte, un gain qui

• s'ajoute, par aventure, à la démonstration qui répond à

• Tobjct qu'on avait en vue. » Ceci est une définition du CoroUah^e. Le mot grec n-î>::7ixu svvt, pu effet, à désigner .et les corollaires des Éléinents et 1rs Porismes.

Cette définition du Corollaire a été prise quelquefois pour une définition du Porisme. Cela est arrivé à Bouillaud (I) et à M. Chasles (2).

Plus loin, à j)ropos d un t urollaire qui accompagne la pi iposition 15 du premier livre des Éléments^ mais que l'on ne trouve pas dans tous lés manuscrits, ni dans toutes les éditions, Proclus dit : < le mot Porisme est un des termes

• employés en géométrie* Il a deux significations différentes. « On appelle en effet Porismes tous les théorèmes qui se

• trouvent dénioiiii t's dans des propos! tious dont ils ne sont « pas l'objet, et qui sont comme des présents de Mercure et

• des gains dont on profite chemin faisant; et tous ceux qui « sont expressément l'objet de propositions^ mais qu*il faut « trouver^ de sorte qu'il ne s'agit pas seulement de faire

• quelque construction, ou de donner simplement une dé-

par Barocfus [Procli Diadochiin firimum EwHdis EUmeniorum tibrum eommenUtriorum iibri IV; ia^folioï Patavii, 1560). (1) Itmaeliê BuHialdi ExerHfatimes geomeirirœ tres^ in-i*; Parts»

(*2) » Proclus a donc raison dédire qu'il s'agit, dans les Porisiues, de " Viurmlion d'une chose que l'on ne recherche et que Voti, ne ro;i#|- « dtre point pour eUe'inéme, » {Aperçu historique, Piole III, ^70.)

« monstration. Que Ton énonce que les angles à la base d'un « triangle isocèle sont égaux^ c*est là une chose dont on de-

« mande la di'nionstration, et il en est ainsi de toutes les choses « qui xont. Qu ii s agisse de partager un angle donné en deux

• parties égales, ou bien de construire un triangle, ou bien « de retrancher une droite d'une autre, ou bien encore de « placer une droite {égale à une droite donnée de manière

• que tune de ses extrémités soit en tin point donné) (I), dans « ciiacun de ces énoncés, ce que 1 un demande est de faire

• quelque opération. Mais que l'on propose de trouver le « centre d'un cercle donné, ou bien de trouver la plus grande « commune mesure de deux grandeurs commensurables (SI),

• ces questions et toutes celles du même genre tiennent en « quelque sorte le milieu entre les problèmes et les théorèmes. « hn effet, dans de tels énonces, ce qui est proposé, ce n'est « pas de faire telle ou telle opération, mais de trouver l'objet « de la question, et cet objet n'est pas offert simplement à la « contemplation du géomètre ; on demande , au contraire, à

• celui-ci de Vamener à la vue, de le placer devant les yeux. « Tels sont les Porismes que l'on doit à Euclide et qui forment « ses livres de Problèmes. •

Tout ce discours se rapporte à la forme des énoncés des Porismes (3), par suite de laquelle les géomètres étaient

(1) Eueîide, liv. I, prop. 9. 1, 3, S.

i%) Eaclide, liv. lU, prop. 1 ; et Kv. X, prop. 3. '

\3) Tontes les fois que Ton a voulu faire porter ce discours sur les démonstrations ou solutions qui sniveot les énoncés cités par Proclus, on a été fort embarrassé d'y trouvpr en quoi no Porisrae diffère précisément d'un problème proprement dit. Je me suis livré snr cette question à quelques conjectures que Ton peut voir daus mou mémoire d(^ 1855. Depuis lors, M. Vinrent {Journal de malhcmatiques pures et appliquées, publié par M. LioiiviUe, 2« série, t. IV, p. 29, 42 et 43) et M. Chasies (/.M troi& livres de Porismes, etc., p. 46) se sont arrêtés h l'idée que, dans les deui questions dont Proclus cUe les énoDcés connue ayaot la forme des énooeés des PorismeSp la chose demandée est une eonséi^iunce imptieite de Vkypothèse. Ainsi, U coDStruelioo d'un iriaogle dont les cAtés sont donnés

— jO —

divisés sur la question de savoir si l'on devait considérer les propositions d*Eaclide comme des théorèmes ou comme des

problèmes [voyez ci-dessus, p. 4< ). Dans les deux passages que

nous \ fiions de citer, ï'roilus les appelle des problèmes: tandis que Pappus, à la fm de sa Notice, semble vouloir expnoier que ce sont des théorèmes.

EXEMPLES DE FORISMES.

(Le lecteur est prié de faire les ligures.)

L Sur une droite AX donnée de position, on prend, à partir d*un point donné A, et d'un même côté de ce point, des Ion-

yiieura AE, A F qui soient entre elles dajis une raison donnée (1) ; par les puints E, F, on mène des droites EM, FM respectivement parallèles à detAX droites données déposition: qu*arrive-l-il, relativement au point d'intersection M des

«le prauiieur, scrail un problème, tandis que la déterminât un du centre d'uu cercle donné serait un Porisme ; par la raison que dans le premier cas OD crée ud iriaugle qui n'e&iâie pas, et que édna le second le centre da cercle existe, et il s'agit seulement de le mettre en évidence. Tel est da moins Vvris de M. Vioceot ; je présame que c*e8t aussi celui de Gliasies, bien que ce deroier oe soit pas aussi explicite. Mais cette distÎDCtton est eu défaut dans bien des cas. Par exemple, lorsqu^un angle est donné, sa bissectrice est donnée iropitctteroent, et cependant Proclns lui-même dte comme un problème proprement dit cette question : partager un angte donné en deux parties égales. Celle autre question : partager une droite donnée en ffeur jHirlies égaler e^-t dp niAmn pour lui un problème proprenieot dit, quoique le milieu de la droite soil donné implicitemeut.

Ces difficultés d'interprétation disparaissent lorsqu'on fait alleuliou que Proclas ne parle que des énoncés,

(Ij Une roMon ddiinée, dans la géométrie des Grecs, est Varaism qu'uni entre elUi deux droiUi donnéei de grandeur. On doit entendre que deux droites e, f sont données de grandeur, et que Ton a AE : AP • » e •

droites ainsi menées, lorsque les longueurs AE, AF passent par tous les états de grandeur (1)?

Ce que l'oa trouve ea réponse à cette question (par des raisonnements que je supprime et que je supprimerai de même dans les exemples suivants), c'est que le point M est situé sur une droite donnée déposition, G est l'énoncé â de Pappus : qiie tel point est situé sur une droite donnée de position (2).

Ce Porisme est tiré (îo Touvrage de Simson Apolloniî Pergœi Loca Plana , livre I, prop. 30. On retrouve celte proposition dans le Porisme 33 de M, Ghasies (3).

11. Une parabole étant donnée de position, ainsi que trois points AyByG sur cette courbe, de ces deux derniers on mène des droites qui se coupent sur la courbe et qui rencontrent en

bj c le diamètre passant par le point A : quelle est la relation qui existe entité les segments Ab, Ac?

Cette relation, qu'il faut trouver, consiste en ceci : que la

[l) En langage midcrcjc : quel est le lieu géomélruiuc du point M? . Remarquons eu passant que maioteDaiil les auteurs des traités de géométrie élémentaire préi>eiiteQt volontiers les propositioos de celle espèce sous It rorme de problèmes,

(*i} C*eBl bien âiosi que s*e«prime Pappus. 11 vent dire par lè qu*on peut tracer wne droite foifo que le point eonsitléré §§ trouve toujours iur ceitê droUe, Cette interprétattoo est coofirmée par an ënoocé de Lieu Plan qu'Eutocius nous a conservé dans sou commentaire des Coniques d'Apollonius. Voici cet énoncé : Deux points étant donné t dan t un plan, ainsi qu'une raison représentée par deux droites iné^ gales il est possible de tracer dans ce plan un cercle tel que les droites menées des points donnés à la circonférence de ce cercle aient entre elles une raison qui soit la même que celle qui est donnée Celle manière de concevoir le lieu d'un point n'est plus en usage; cependant elle présente rivantage de mettre mieui eu éTideuce la conUmiUé du tieu.

(3) Quand je cite des Porismei de M. Cbasles ou d'autres auteurs, cela siguifie simplpiuent que ce soot des proposUions appelées aintii par ces auteurs, et Don pas que je les reeonnaiMse comone étant des Porismes dans le sens de Pappus.

raison de la droite Abàla droite A c est donnée ; o\k, en termes

plus explicites, que l'on peut assigner deux droites Ç>, 7, telles que 1 ou aura toujours : A c : : ^ : C'est l'énoncé 3 de Ptippus : que La raison de telle droite à telle autre est donnée.

de Porisme est tiré du second des exemples de Porismes proposés par Fermât [\).

ÎIT. Sur le diamètre A B d'un cercle donné et sur son prolongement, on prend deux points C, tels que l'on ait A C : C B : : A D : DB* De ces deux points on mène à un point

(!) M. Cha^lcs co;.tfsle qu'il nit pu y avoir, dans l'ouvrage d Euclide des pro|iositions rolalivcs à d autres iî>WT que la droifi; el le cercle (/e« trois livres de l'ormincs, etc., p. 60). II invoque à celcfiard le li^moii:Dap;(î de Pappus, mais sans dire en quoi ronsisto, suivant lui, ce témo i^na^'t*. ni faire l onnaitre l'endroit où i on on pourrait preurirt! connaissance. Il ajuulc que cela csl prouvé par les 38 lumnies laisses par ce géomètre, lesquels ne se rapporieiil qu'à des Ggares recti lignes et au cercle. $*îl était fiernsis de raisoooer ainsi, comme Pappus doooe pour lea livres t. II, 111, des Coniquçi d*ApoHoDiu8 des lemmes qui ne se rapportent pareillement qii*à des figures rectilignes et au cercle, on devrait concliire de là qn^ancttii de ces trois premie rs li\ros ne peut renfermer de propositions relatives aui coniques, ce qui serait parfaitement faux.

Du reste, M. Cbasles tire de ces 38 lemmes d'autres coDS(^qnences non moins hasardées. Ainsi, il suppose qu'Euclide, qui florissait près de sept siècles a\ant Pappus, a fait usage des principes que Ton trouve dans ces Irmmes, quoique Ton ue trouve aucune trace de l'eniploi ou de la connaissance des principes qu'ils renl'cruieut dans ccu\ des écrits d'Eiiclidc et d'Apollonius qui nous sont parvenus. Et il lui suf6t qu*un de ces leromns trouve son application dans la démonstration d*nne proposition ayant pour objet l'un drs faiis géométriques eiprimés par les énoncés de Pappus, pour que cette proposition ait dû Taire partie de Tonvrage d^Euclide {Comptes rendus, t. Ll, p. 1051) Ce sont là des illusions que ne partagera aucun géomètre qui voudra tenir compte de la différence des temps, et qui aura examiné, dans les cas où les propositions et les lemmes qui leur servent d'auxiliaires sont connus, quels rapports peuvent ciister entre ceux-ci et ce lles-là. M. Chasies veut encore que chacun de ces 38 lemmes de Pappus ait servi à démontrer plusieurs des 171 propositions d'Euclide ; ce qui n'a lieu, a ce qu'il me semble, pour aucun des lemmes dont nous coniiaissous l'emploi dans la géométrie grecque.

quelconque M de la circonférence les droites CM, DM : quelle est la relation qui existe entre ces droites ? Cette relation, qu'il faut trouver, consiste en ceci; que ta

raison de la droite C M a la droite DM est donnée. C'est encore 1 énoncé 3 de Pappus (voir l'exemple précédent».

Ce Porisme est tiré de l'ouvrage de Siinson, Apollonii Pergœi Loca Ptona, livre II, prop. S. Ce géomètre en a déduit la proposition 2 de son Traité des Porismes; il la présente comme un exemple de Porisme, sans s'apercevoir qu'elle répond à l'énoncé 3 de Pappus. On retrouve ces deux propositions dans les Porismes 16t> et 467 de M. Chasies.

iV. Même hypothèse. Les droites GM^ DM, prolongées au besoin^ rencontrent de nouveau la circonférence en Q : qu^arrive't'il relativement à la droite PQt

Ce que Ton trouve en réponse à cètte question, c'est que la droite PQ est donnée de direction. C'est l'énoncé 5 de Pappus que telle droite est donnée de direction (1).

Ce Porisme est tiré de la proposition 58 du Traité des Porismes de Simson, laquelle est présentée , à tort , par ce géomètre , comme répoiidant au premier des deux cas de

(1) Daiig le langage d'fiaelide, cet énoncé derrait être traduit : 9110 telte droite eit donnée de position. Mais le terme qui, dans Torigine, sigoifiait position a été employé en géométrie, postérieurement à Euclide et antérieurement à Pappus, dans le sens de direction. Par excrapîe, on trouve^ d.ms Trailc de la Dioptre du géomètre Héron d'Alexandrie, dcui pro- Llèiiies dont voici Ic;. ciioiici's :

tlani donne deux poinls vus de loin^ trouver la longueur de la droite qui va de l'un à l'autre, réduite à l'horizon, ainsi que sa position.

Étant donné deux points^ d^erminer^ tant en apjprœheri la potition de la droite qui va de Vun à f autre.

Dans ces denx cas, la potition qne Ton obtient est celle d*ane parallèle k la droite considérée. G*est donc, À proprement parler, sa direction, (Voy. Notieet et extraits des mnutcrits, t. XIX, 2* partie, p. 214 et 226.)

Avant de connatire Tonvragc que je viens de citer (il a été publié en

l'énoncé 29. La véritable interprétation de cet énoncé est donnée ci-aprte dans Texemple XI.

V. On mène la corde PQ perpendiculaire nient au diamètre A B d'un cercle donné, et une autre corde PM par im point G donné sur ce diamètre : qu'arrive-t'il relativement à la droite QyLJ

Ce qu'il faut trouver, c'est que la droite Q M passe pur un point donné. Cesl l'énoncé 6 dePappus : que telle droite passe par un point donné.

Ce Forisme est tiré du Lemme 30 de Pappus, ou plutôt d'un corollaire de ce Lemme, que Simson énonce à la suite de la proposition 54 de son Traité des Porismes, sans s'apercevoir qu'il répond à rénoiico () de. Pappiis. On retrouve ce coruliaire dans le Porisme i73 de M. Chaslcs.

VI. Un quarré ABQD étant donné, d'un point M pris sur le prolongement de la diagonale DB, on abaisse des perpendiculaires MP, MO sur les côtés AB^ DÂ prolongés: on

joint, par une droite VQ, les pieds P, Q de ces perpendiculaires^ et du point M on abaisse une perpendiculaire sur

185H), j*av«i8 été détermioé .à tr«4aire comme je le fais par des coo$îdéralioDS qai» saos avoir Taulorité d*eieiiiples formels, me semblent cependant mériter quelque «Uenftion.

Quand les géomètres grecs parlent d*une questioo où il s'agit de droites

concouranlf's, qui p.'uveiii devenir parallèle.^, ils ne manquent pour nlnsi dire jamaid de mcutiouiicr h part ce cas particulier. Ca^ ce qu'un peut voird.'insla Notice môme de Papous sur les Potisnies. L'énoncé de la proposiliuu au\ quatre droites mcuiiuaue les deui cas. Il eq est de même de l'énoncé 29.

Or renoncé 6 est conçn en cep termes : que telle droite poste par un point dmné : îl se rapporte donc h des droilos conconrautes. J*ai dO penser, en conséquence t que Ténoncé 5, qui le précède immédiatement, devait se rapporter à des droites parallèles. La cliose me paraissait même tellement uccessatre, que j*ai cru qu*il fallait rectifier le texte de Pappus. iUaiMieoaot je puis conserver mon interprétation sans toucher à ce teiie.

cetie droite PQ : qu'arrive't'il relativement à cette perpen^ diculaire ?

On trouve 1* qm cette droite passe par le sommet C. C'est encore l'énoncé 6 de Pappus (voir l'exemple précédent) ; 2" qu elle intercepte sur deux droites données de position, qui sont AB AD^ des segments Bb^Dd comprenant un rectangle donné, Cest Ténoncé 15 de Pappus ique telle droite intercepte, sur des droites données, des segments comprenant un rectangle donné.

VII. Un trapèze ABCD étant donné, ainsi qu'une droite parallèle aux deux bases BA, CD de ce trapèze, appelons Ë, F les points d'interaction de cette droite avec les diagonales DB, GA prolongées au besoin. D*un point H pris à volonté sur la droite D A, menons les droites M B, M G : quelle est la relation qui existe entre les segments E6, F c que ces der^ nières déterminent sur la droite EF?

Cette relation qu'il s'agit de trouver, c'est que le rectangle EbyC^fcest donné» C'est Ténoncé %\ de Pappus : que le rectangle de telle droite et de telle autre est donné.

Ce Porisme est tiré dii premier des exemples de Porisincs proposés par Fermai. Simsou en a fait la proposition 80 de son Traité des Porismes, sans s'apercevoir qu'elle répondait à Ténoncé 21 de Pappus. On le retrouve dans le Porisme 96 de M. Ghasles.

VIII. Étant donné un cercle et une droite^ de l'une des extrémités A du diamètre perpendiculaire à cette droite, on mène une sécante qui rencontre celle-ci en B et la circonférence en C : quelle est la relation qui existe entre A B etACf

Cette relation qu'il s'agit de trouver est, que le rectangle A B X A (' est donne. C est encore Ténoncé 21 de Pappus(voyez 1 exemple précédent}.

Ce Porisme est tiré de l'ouvrage de Simson : Apolionii Pergœi Loca Plana, livre I, proposition 8. Lui-même a tiré de cette proposition un exemple de Porîsme^ qui est la proposition I de son Traité des Porismes, sans s'apercevoir tju elle répondait à l'énoncé 21 de Pappus. On la retrouve dans le Porisme 20:2 de M. Chasles*

IX. Dp deux points (1,1) pris sur la circonférence d'un cercle donné, on *mène deux droites qui se coupent sur la même circonférence et rencontrent un diamètre Ah en c, d : quelle est la relation qui existe entre les segments Ac, Ad, tic, H r/, formés sur ce diamètre ?

Cette relation, qu'il faut trorwer, consiste en ceci : que la raison du rectangle Âc X Bc^ au rectangle Ad X Bc est donnée. C'est Ténoncé 2S de Pappus, que laraison du rectangle de telles droites au rectangle de telles autres droites est donnée.

Ce Porisme est tire de la propusilion 81 du Traité des Porismes de Simson, laquelle est elle-même une généralisation du troisième des exemples de Porismes donnés par Fermât. Simson ne s*est pas aperçu que cette proposition répondait à rénoncé 22 de Pappus. On la retrouve dans le Porisme 426 de M. Chasles. qui lui a donne un nouveau degré de généralité en remplaçant le diamètre ABpar une corde quelconque.

X. Autour d'un point A piis sur la circonférence d'un cercle donnée on fait tourner une droite AB. Sur la partie Ah de cette droite comprise dans le cercle, on construit un triangle MBA semblable à un triangle donné, soit N le point

où le côté AM de ce triangle ABM^ prolongé s il est nécessaire , rencontre la circonférence : quarrive-t-il relativement aux deux points M, N ?

Ce. qu'il faut trouver, c'est qu'un certain point P est donné

qui jouit de cette propriété, que les rfroï/e^ M P,N P, menées à ce points entasseront un triangle donné d'espèce (un triangle donné d'espèce, dans la géométrie grecque , est un triangle semblable à un triangle donné). C'est l'énoncé 27 de Pappus : qu'un certain point est donné, qui jouit de cette propriété que (mot à mot par l'effet duquel) les droites menées à ce point embrasseront un triangle donné d'espèce.

Sîmson n*a pas compris les deux mots dont je donne le sens entre parenthèses, ce qui lui a fait croire que le texte de Pappus pouvait être curioiiipu en cet endroit (voir ci-dessus, p. 34).

XI. Même hypothèse d'un triangle ABM donné d'espèce tournant autour du point donné A. Soit, en outre^ P le point où le côté BM de ce triangle prolongé, s'il est nécessaire,

rencontre la circonférence : quarrive-t-il relativement à la droite N P ?

Ce qu'il faut trouver, c'est que cette droite, ou bien sera parallèle à une certaine droite passant par le point donné A, ou bien fera avec elle un angle donné. C'est Ténoncé S9 de Pappus, que telle droite, ou bien sera en parallélisme, ou bien

fera un angle donné avec certaine droite passant par le point donné (}e me sers de cette cxpi cssion inusitée être en parallélisme pour reproduire plus fidèlement la construction de la phrase grecque). Il s'agit là de deux droites qui changent ensemble de direction en restant parallèles Tune h l'autre, ou bien en faisant toujours le même angle. Sinison a cru que, dans le cas du parallélisme, elles ne devaient pas changer de direction, et devaient, au contraire, en changer dans le cas du nonparallélisme; en quoi il s*est assurément trompé.

Ces exemples, que j'ai choisis de manière à pouvoir présenter quelques observations utiles, me paraissent devoir suffire

pour faire bien comprendre ce que je crois être la iui ino canonique des énoncés des Porismes.

DANS QUEL SENS LES EXEMPLES QUI PRtCftDENT SONT

DES FOE18|l?8.

Tous ces exemples sont des propositions dans lesquelles ce qu'on demande est à trouver^ et non pas à construire, comme dans le problème tel que les Anciens l*entendaient (1 ), ni simplement à démontrer, commv dnns le théorèrae; et qui satisfont ainsi la définition ancienne du Porisnie.

Cependant ce n'est pas encore là le sens précis de cette définition. Nous le donnerons un peu plus loin. Il ne s'agit, quant à présent, que de fairo apercevoir en quoi les propositions appelées Porismes par les anciens se distinguaient des théorèmes et dos problèmes ; ce qui est la première partie de la question générale posée en i837 dans VAperçti historique.

Ces exemples de Porismes sont des problèmes par la forme des énoncés, et des théorèmes par la nature des choses qu'il 8*agit de trouver. Ils participent donc de ces deux genres de propositions sans appartenir tout à fait ni à Fun ni à l'autre, comme le dit Pa|)|)us.

Il est, d'ailleurs, extrêmement facile d'en faire des théorèmes. En effet, dans chacun de ces exemples, la question ou Ténoncé d'une part , et la réponse ou solution d'autre part, nous offrent les deux parties essentielles dont se compose un énoncé de tliéorouie, savoir une hypothèse sur un certain

(1) Le problème, tel qu'oo le déGnit dans la géométrie moderne» €8t une question qui exige une «oluNdfi; ce qui comprend nos exemples de Porisme». Il feut ne pas perdre de Yoe qne, àm la géométrie des Grecs, rebjet do problème est sealemei|t une eomirwiUm à faire.

sujet, et un fiait géométrique qui est la conséqueace de .cette hypothèse, et qui peut deveoîr immédiatement la ccnch*9ich

d'un tel énoncé.

Cette transformation est m(^nio si naturelle que, si 1 on avait à citer quelques-uns de ces exemples pour en faire connaître la substance, on les énoncerait évidemment comme des théurèmes. Telle est, sans doute, l'explication de ce qui arrivait aux propositions d'Euclide; beaucoup de géomètres les regardaient conunc a})partenant au genre des théorèmes, tandis que d'autres, n'ayant t^gard qu'à la forme des énonces, coivinie le dit Pappus, les regardaient comme appartenant au genre des problèmes. Parmi ces derniers* il faut ranger Proclus; nous avons vu, en effet, qu'il appelle les Porismes d*£uclide certains problèmes (ci-dessus, p. 48).

On s'explique ainsi dans quel sens Pappus dit que les trois livres d Kuclide renfermaient 171 théorèmes ^ et comment il se fait que le premier des â9 énoncés et la proposition aux quatre droites soient présentés dans sa Notice comme des théorèmes. De même, lorsque Diophante cite, en leur donnant la forme de théorèmes, des propositions qui paraissentempruntpcs à un recueil de Porismes, il ne s'ensuit nullement qu'elles étaient énoncées sous cette forme dans ce recueil. Diophante ne dit pas que telle propriété des nombres est un Porisme ; il dit nous avons dans les Porismes cette propriété.

A peine estr^il besoin d'ajouter que les Porismes, ainsi transformés en théorèmes, ne sont plus des Porismes, mais des théorèmes proprement dits (i).

(1) Ces théorèmes appartieuueut toutefois plus spécialeiucul a la ciaase des Donnée$; car» de même que dans les proposi'Uoiia d*E«elido afiiti appelées, OD j propose de démontrer que certaines choses, telles que des points, des ratsoiw, des (frandeùrs, etc., sont données en vertu des hypothèses faites dans tes énoncés. A la Térilé nous supposons ici «ipressé* meut, à cause de la seconde définition da Porisme, que ces choses ont des relations assignées avec d^autres cboacs mriabteê, circonstance qui ne se

On reconnaît dans nos exemples toutes les particularités

signalées par Proclus. Ainsi, ce que l'on demande est de trouver une vérité géométri(]uc ou un thrort'me dont l'énoncé n'est pas donné. La question à laquelle il faut répondre n'exprime ni une vérité à démontrer, ni une construaion à exécuter.

Enfin DOS énoncés , peu explicites en comparaison de ceux, des théorèmes et des problèmes ordinaires , feront peut-être comprendre la remarque dePappus sur l'incerlitiide uù I on se trouvait en présence des questions posées par Euclide.

CE QU'ÊTâIBNT Bjr PARTICULIER LES PORISHBS d'bUGLIDB.

La réponse à celte seconde partie de la question générale

reocoDlre pas dans tontes les propositions du livre des Dûnnéei, mais elle se rencontre dans plusieurs ; teUes sont celles qui portent les n** 90, 02,

93, 94 et 95 dans TEucIide de Peyrard, t. III. Elles sont an nombre des huit propositions sur le cercle mentionnées par Pappus dans sa Police sur ces Données. Ainsi, les théorèmes dont nous parlons ne se distingucot des Vonnpps par aucun caractère spi-cial. 11 en est dn mêmp des propositions qu<> l(. Siiiihon dans le siècle dernier, et M. Cliasics tout récomnicnt, ont preaeiit(''cs commLr étant des Porismos. Ce sont sinnili ment des Données.

11 arrive même que les Porisraeb 175 ct20(i de H. ( liasles ne sont autre chose que les deux parties dont se compose Ténoncé de la proposition 95 dn livre d*Enclide.

Les ùonnun géoméfriqwi du géomètre arabe Hassan ben Hassan ben Haïthem, dans lesquelles M. Cbasles a cru trouver des Poritmeê, ne sont pareillement que des Donnéei.

On ne saurail admettre que la forme des énoncés était la même pour les Porismcs que pour les Donn^e^. Nous avons vu, en effet (ci-dessus, p. 41), que Ic^ -Vomèlres étaient ilivisrs sur la question de savoir si les Pnri^fnes devaient être considérés comme des throrèmes ou comme des problèmes. Or la Notice de Pappus sur les Données (c ostîa première que l'on trouve daîis la préface de son VII» livre) ne renferme absolument rien qui implique un semblable désaccord. Far cooséquent les Ponsmcïi devaieut avoir dans leurs énonces une tout autre forme.

(ci- dessus, p. 38) se trouve dans plusieurs passages de la Notice de Pappus, et surtout dans la manière dont cet auteur présente les faits géométriques qu'il s^agissait de mettre en

évidence (kuis les tTl propositions d'Euclide. Ces faits géométriques sont eeu\ qu'expriment les 29 énoncés. Or. Pappus nous transmet ces énoncés, ie premier excepté, sans y joindre les hypothèses qui leur étaient associées dans les trois livres perdus^ ce qui est déjà très-remarquable; et, ce qui Test bien plus encore, il regarde chacun de ces faits géométriques comme constituant un genre de Porismes.

De sorte que toute question qui sera présentée sous la forme canonique des propositions appelées Porismes, et dans laquelle on aura à mettre en évidence l'un de ces faits géométriques, se trouvera par cela seul appartenir au genre corres[)ondant, quelle que soit l'hypothèse. C*est ce qui arrive dans tous nos exemples: en effet, rlans chacune de ces propositions, ce qui esta trouver est toujours l'un des faits géométriques qu'expri> ment les â9 énoncés de Pappus ; par conséquent, elles appar* tiennent aux genres caractérisés par ces énoncés.

D*où Ton est conduit à conclure que les trois livres d'Eu« clide devaient avoir pour ohjcl ces faits géométriques considères en eux-mêmes, et que les hypothèses n'étaient qu'un accessoire que Pappus a pu négliger ; de même qu'un auteur qui voudrait récapituler les règles données dans un traité du calcul infinitésimal pour obtenir les points d'inflexion des courbes, les rayons de courbure, etc., pourrait se dispenser de rapporter des evemples.

Je sortirais des limites que je me suis imposées, si j'entreprenais d'entrer ici dans quelques détails sur ce que devait être un tel ouvrage. Il me suffira de remarquer, en premier lieu, que sans doute Euclide s'était pro{)Osé de faire connaître et fie formuler d une manif^re précise les énoncés des faits gcunietriques qui se présentaient le plus ordinairement dans les recherches des géomètres, ce qui explique le blâme que

Pappus adresse à ceux ùv ses devanciers qui avaient cru devoir donner, dans certains cas, de seconds énoncés, au lieu de s'en tenir à l'énoncé unique adopté par Euclide; et en second Heu que, pour des questions telles que nous les concevons, il fallait des méthodes en quelque sorte indrjiendantes des hypothèses. Pappus nous apprend, on efTet, que la théorie mise en usage par Euciide joignait à d'autres mérites celui d'être nécessaire et très-fénérale, c'est-à-dire de dépendre de la nature du foît géométrique à mettre en évidence, et de pouvoir être appliquée dans tous les cas.

Le rétablissement de Touvraire d' Euclide, d après ces indications, serait digne des elToi is des ^oomètres. Quant à réunir un grand nombre de Porismes appartenant aux genres décrits par Pappus, on a pu s'apercevoir par nos exemples que ce n'est là qu'un jeu ; en efiet, d'une part, il existe une foule de propositions de géométrie que Ion peut transformer en Porismes, comme nous l'avons fait pour obtenir la plupart de ces exemples, et de l'autre aucun géomètre ne trouvera qu'il soit difficile de s'en procurer sans recourir à ce procédé.

DANS QUEL SENS ON DOIT EMTKNDRE LA HÊFINITION DU FOllSHB.

11 est certain que le terme Porisme a dù être le nom que les Grecs donnaient aux propositions de l'ouvrage d'Euclide, et à toutes celles de la même classe. C'est en me plaçant à ce point de vue que j'ai présenté les exemples ci-dessus comme étant des Porismes.

Mais, dans la définition que donne Pappus,le Porisme n'est pas une proposition, c'est seulement ce qui est proposé comme étant à trouver. De sorte que les faits géométriques qu'expriment les 29 énoncés de Pappus doivent être considérés comme étant les Porismes qui donnaient leur nom aux propositions d'Eu-

clide. C'est ainsi que Ton a appelé Données les propositions dans lesquelles il s'agît de démontrer que certaines choses telles que des points, des grandeurs» des raisons, etc., sont

données en vertu des hypothèses ailniises dans les énoncés de ces propositions (i). C'est ainsi encore que l'on a appelé Lieux les propositions ayant pour objet la droite, le cercle et d'au-, très lieuse* Il semble même que Pappus, dans les définitions qu'il donne parallèlement à celle du PoHsme , ait en vue quelque chose de semblable pour le théorème et le problème {%).

Cette distinction entre les Porismes proprement dits et 1^ pn^positions auxquelles ils donnent leur nom est importante. Elle lait comprendre clairement pourquoi Pappus a réduit' son résumé du contenu des trois livres perdus à la description

des faits géométriques qui étaient l'objet des 171 pro})ositions que renfermait cet ouvrage, tandis que dans ses notices sur d'autres ouvrages des mathématiciens Grecs il ne procède jamais de cette façon. ^

On retrouve, dans nos exemples, la circonstance particu* lière aux Porismes d'Euclide, qui avait fait définir impro})rement le Porisme : ce qui manque à une hypothèse de théo^

11) Pappus appelle Donnée, aa commeneenieai de la préface de aon Tll* livre : 9«od figri comparant foUsU

(S) DixerwU mm ( Vetêres) theorema nu, quod proponilur m Ipriiif propotiti demonttrationm* Problema^ quod affertur in comlruetiO'

nem proposili. Porisma vero, quod proponiUir in porismum, hoc est in iîirrnfionem, et investionfionpm proposilL {Pappi Alexandrini ma- UiemaUcœ collertiones, in jua l. Iib. VU*.

Omne prohleina appeilari eœiitimanl in qw> al}(/m(i faciendum,

et ronstruendum proponilur. Theorema vero, m quo aliquibus positis consequens ad jea^ et omnino contingens consideratur [ibidem^ lib. 111, ad ioit.).

Les mois in quo qui se trouTeiil daos les défiolUoDS du théorème et dn problème données au commencement du livre III, ne sont pas reproduits dans les deHnitions eorrespondaotes données ensuite dans le livre VII , ce qui fait ressortir rinleotion de Pappus.

rème local [^ ). £n effet, si l'on réunit dans un même énoncé le fait gôomAriquo qu'il s^agît de trouver et Thypothèse correspondante, on exprime un théorème local.

[1) On appelle théorème local toule proposiftioii qui exprime \n\p propriété coramnfîf h tous les poiuts d'une ligne (ionnée, droite ou ((jiii lje. Lorsque la {h oik -i i ion a pour objet d'exprimei que tous l( > poiuts qui satisfont à un* riii rue t'oiidition, se Ironvent siluos sur uoe droite, uu cercle, ou toule autre ligne, elle prend le nom de Lim.

Les aociens o'aTaieiil pas de problème local répondant au théorèmt /oeal tel que nous venons de le définir. Car une question dans laquelle on propose de trouver la nature d*an lieu défini par uoe eonstruetion, n^est pas on problème» puisqu'il 8*agit, dans ce eas, de tout autre chose que d*eiécuter des opérations, comme Teiige Taiicienue définition du problème eonservée par Pappus. El, en effet, ce géomètre ne parle nullement de problème local. Une question de ce genre est un Porisme.

R. Sim<o!i ne se sert jamais Me celte expression de problème loraldans son Traite des Porismes. Bien loin de là, il lui arrive d'énoncer, h la suite de sa proposition 1, une question qui semble pouvoir être rapportée à ce genre, cl il eu fait uuc des espèces du Porisnie. Eu quoi M.ChasIes Irouve que ce géomètre a commis une inadvertance [Les troU livres de Poris- MM, etc., p. 872). Ce qui précède fait voir que le géomètre de Glasgow, tout en se trompant sur la nature du Porisme/comprenait autrement et plus sainement qoe H. Chasies la Géométrie des anciens.

riK.

Paris. IflRfpriwarie «ItSIa* V* SsonMD-RvBâi», nia 4e IM^peron, S*

Digiti/cû by Goo

Les Notes qui suivent étaient en grande partie

écrites dès ramice 1607. J'allais les livrer à 1 impression (1), lorsque survinrent les discussions relatives aux fameux autographes de M. Chasles. Je pris le parti de différer jusqu'à ce qu on sût à quoi s'en tenir à ce sujet.

Personne n'ignore iju'après avoir, pendant vingtsept mois, prétendu réfuter victorieusement toutes les objections élevées contre l'authenticité de ces Documents, M. Chasles se vit forcé de reconnaître qu*ils étaient l'œuvre d'un faussaire (2).

(1) Nouvelles annales de mathématiques, année 1H(>7. p. 525.

(2) M. Chasles avait acheté de ce faussaire plus de \iugt-sept mille pièces. On en peut von la iisle du us le curieux, ouvrage de MM. Ilenn Bordicr et Émilc Mabille, iotitalé : Une fabrique de faux autoffraphes^QiCi 1 volume grand ia-4, Paris, 1870. Poor les discassioos autqoelies une partie de ces pièces a donné lieu dans le sein de rAcadéonie des sciences, voir les cinq volumes des Complet reiidtff, LXV à UUX.

La crainte de paraître manquer de générosité envers un adversaire devenu ainsi la risée du monde entier, fit que je ne me hâtai point de reprendre la publication de ces Notes. Mais, depuis cette aventure, M. Chasles m'a attaqué de nouveau dans son Rapport mr les progrès de la Géométrie, 1 volume grand in-8. Imprimerie nationale, 1870 (oe Rapport n a été mis en vente qu'à partir du 3 août 1871).

On verra ci-après (Notes II et III) quelles sont les accusations auxquelles je suis en butte de sa part, el quel en est le caractère. Eu y répondant ici, je ne fais qu'user du droit de légitime défense , et cela était d'autant plus indispensable, que le Rapport dont il s agit est une publication laite sous les auspices du Minisire de Vlnslruciion publique.

Paris, 22 novembre 1872.