IVombre des combinaisons complètes de

lettres r ik r. — Les combinaisons sont dites complètes ou avec répétition dans les mêmes circonstances que les arrangements. On va d'abord établir une formule générale qui donnera le nombre des combinaisons complétés de m lettres rkr^ quand on connaîtra le nombre des combinaisons complètes de m lettres r — 1 à r — 1. On représentera d'ailleurs les deux nombres de combinaisons par Cm,r , Cm,r-i i comme dans le cas où il s'agit de combinaisons ordinaires.

S^upposons que toutes les combinaisons complètes de m lettres rkr soient écrites, les unes à la suite des autres.- de manière à former un seul groupe de lettres. 11 est évident que, dans ce groupe, toutes les lettres seront écrites un même

nombre de fois, et que ce nombre sera représenté par •

m puisque le nombre total des combinaisons est Gm,r > 6t que dans

chaque combinaisons il y a r lettres.

On peut former une autre expression du nombre de fois qu'une lettre a entre dans toutes les combinaisons r à r. D'abord, d'après le raisonnement qu'on vient de faire, la lettre a, dans l'ensemble des combinaisons ?' — l à r - l, est écrite un

nombre de fois égal à — ' - — . Mais pour obtenir

toutes les combinaisons r à r qui contiennent la lettre a, il est clair qu'il suffit d'écrire cette lettre à la suite de toutes les combinaisons r — 1 à r — I : donc le nombre total de fois que a se trouve écrit dans les combinaisons r à r est représenté par

m On a par conséquent la formule

(r — 1) Cm.r-l , p

ou

(m-l-r— 1)Cw,r-i