CHAP[TRE II

THÉORÈMES SUR LES ARRANGEMENTS, LES COMBINAISONS LES PERMUTATIONS ET LE DÉVELOPPEMENT DE LA PUISSANCE m D'UN BINOME -TRIANGLE ARITHMÉTIQUE DE PASCAL. - SOM- MATIONS RELATIVES AUX PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES.-- NOTIONS SUR LES PROBABILITÉS. - EXERCICES PROPOSÉS,

Ce chapitre peut être considéré comme le complément du chapitre III (première partie).

On va d'abord chercher les nombres d'arrangements de combinaisons et de permutations, lorsque les lettres peuvent être répétées plusieurs fois.

IM. IVombre des nrrangpemeiit.» complets de V%

lettres r À r. — On dit que les arrangements sont complets ou avec répétition, lorsque les lettres peuvent être répétées plusieurs fois dans les arrangements. Cherchons d'abord le nombre des arrangements de m lettres 2 à 2. Pour cela, il suffit évidemment d'écrire, à la suite de chacune des lettres a, 6, c, toutes les lettres sans exception. Ainsi, à la lettre a correspondent les arrangements aa^ aby ac..,y à, la lettre b les arrangements ba, bb, bc.,., et ainsi de suite. On prouve, par le raisonnement ordinaire, que le procédé mis- en usage donne tons arrangements différents, et qu'on n'a pas deux fois le même, m arrangements correspondant à chacune des m lettres, le nombre total des arrangements est donc mxm ou m*.

On prouverait de même que le nombre des arrangements de m lettres 3 à 3 est m*. Mais je vais immédiatement démontrer que le nombre des arrangements de m lettres r à r est ni". Tout revient à faire voir que, si le nombre des arrangements de

m lettres r — 1 à r — 1 est )n*"'\ le nombre des arrangements

de m lettres r à r est m*". Or cela est évident, car on a les derniers arrangements en écrivant, à la suite de cliacun des premiers, toutes les m lettres : le nombre des arrangements de

m lettres r à r est donc m*^* X w ou m*^.