PERMUTATIONS COMPLÈTES

Remplaçant maintenant, dans la dernière formule, r successivement par r — 1, r — 2, ?' — 3, ... 2 et remarquant que Cm^i est égal à m, on aura

Multipliant enfin, membre à membre, les équations (1) et (2), on obtient la formule demandée

fo\ r — ^(^ + (^ + 2) m + r — 1

On peut remarquer que le nombre des combinaisons complètes de m lettres r à r est égal au nombre des combinaisons ordinaires de m + r — l lettres prises r à r.

i^V* IVombr^^ des permiit«« lions complotes de "ÏÏl

lettres. — On suppose que parmi les m lettres il y en ait ?i égales k a, p égales à b, 7 égales à c, etc, n -\- q -\- r -\- , . , étant égal ou inférieur à m, c'est-à-dire que toutes les lettres peuvent se ranger par groupes de lettres égales, ou qu'il y a un certain nombre de lettres inégales entre elles.

Soit X le nombre demandé de permutations complètes ; on va chercher, par quel nombre il faut multiplier x, pour obtenir le nombre P,» de permutations ordinaires. Considérons d'abord la lettre a dans l'une quelconque des permutations complètes. Cette lettre s'y trouve écrite n fois à différentes places, et si l'on permute les lettres égales à a de toutes les manières possibles sans changer la place des autres, il est évident que la permutation des m lettres ne changera pas. Mais si l'on remplace la lettre a, aux différentes places qu'elle occupe, par des lettres différentes ,a^y a^^ a^ . . . a» et qu'on permnte ces lettres de toutes les manières possibles en conservant la place des autres, on voit qu'à la permutation considérée correspondent Pn permutations dans lesquelles n lettres égales à a deviennent diffférentes. On obtient donc un nombre de permutations x X P„,

quand les n lettres égales à a devieiinent différentes, et qu'en même temps aucun autre changement n'est fait.

Si maintenant on suppose que les q lettres égales à h deviennent différentes, on prouve par le même raisonnement que tout à l'heure, que le nombre des permutations rr X P« doit être remplacée par a? X P„ X Pc, de même, les r lettres égales à c devenant différentes, le nombre des permutations devient or X P« X Pc X Pr et ainsi de suite. Mais quand toutes les lettres égales ont été remplacées par des lettres différentes, on tombe sur le nombre P» des permutations ordinaires ; on a donc régal i té

^ ce X r^n X rq X i r • • • ^~ ^w.^

d'où

i n ^^ MTq ^^ -t r • • •

C'est la formule demandée.

188. Formules pour la somme lotiile «les coerflcleiits, ou pour les sommes portielleto «les coeraclents <le ran§; pair et de rnniç Impair dans le développement

de (a; + af.

Faisant a? et a égaux à i dans les développements de (a?+ a)"* et de (.T -}- àfi on a

et on conclut immédiatement de là que la somme des coefficients daus le développement de [x + coT ^^t égale à 2"*, et que la somme des coefficients de jang pair est égale à celle des coefficients de raag impair.

Si mainteuant on ajoute les égalités, membre à membre, on voit que les deux sommes de coefficients de rang pair et de rang

impair sont égales à 2"*"*.

fl8v. Formule qui donne la somme <les carrés des

coefficients de {x-^af*, — Pour trouver cette formule, nous allons chercher deux expressions différentes du nombre des combinaisons de 2m lettres prises m à wt. On a d'abord, d'après la formule connue, pour première expression