FORMULES DÉDUITES DU BINOME

Formons-en maintenant une seconde. A cet effet, partageons les 2m lettres en deux groupes d'un égal nombre de lettres, et procédons, ^comme il suit : On a d'abord une combinaison de m lettres en prenant toutes les lettres du premier groupe. On prend ensuite m — t lettres dans le premier groupe et une lettre dans le second, et à chacune des combinaisons m — là m — 1 des lettres du premier groupe correspondent C^ combinaisons des m lettres 1 à 1 du second groupe. (Pour plus de simplicité dans la notation on supprime ici le premier indice m). Le nombre total des combinaisons obtenues ainsi est donc égal à C,n-< X G< ou à 0,2, puisque C,„-, est égal à C^ (27). Si maintenant on prend m — 2 lettres dans le premier groupe et les deux autres dans le second, le nombre des combinaisons correspondant sera G«»j X C^ ou Cj*. On pourra toujours continuer de la même manière ; donc le nombre cherché des combinaisons est

i+c; + c; -).... cL,

c'est-à-dire la somme des carrés des coefficients dans le déve-

loppempnt de {x -\- a)^. Cette somme est par conséquent représentée par l'expression (l).

Je vais encore faire servir la formule du binôme à la démonstration du théorème suivant.

mo. Théorème. — Pour partager un nombre en deux parties dont la somme des m*"®* puissances soit niinima, partagez te nombre en deux parties égales.

Ce théorème est la généralisation de celui qui a été démontré au u** 143. Soient 2a le nombre donné et 2x la différence de s^^s deux parties ; le plus grand nombre sera a -\- x Qi Tautre a — ar. Mais on a

/ , vm m I m— 1 ■ ^?l('" — I) o m— 2

X * 'if

injm — I) (»i — 2) . „,

+ TTïTs '^^ '

(a x)" = a*"- rrixa"^' + """'"'^ a;*o"-*

m{m~ l)(m — 2) . -.j ÎT2T3 ^^ '

et en ajoutant, membre à membre, il vient

les termes précédés de signes contraires disparaissant et les autres étant doublés.

Comme le second membre, dans l'équation précédente, est une somme de termes positifs, il est clair que la quantité (a -{- *^)^ + ('' — ^')^ sera minima, lorsque x sera égal à zéro, c'est-à-dire lorsque les parties du nombre donné seront égales.

flOI • Somme dt^a mômes puissance» des lermea d'une prog^reseiôn a B*lt famélique. — La question Yâ

seulement être traitée pour les carrés et les cubes, mais on verra bien que la méthode est générale. Adoptons les notations ordinaires et posons a égal à br ; alors les termes de la progression seront

br, (6 + J)r, (b + 2)r, . . . (6 + (n - t) )r,

tout revient évidemment à faire les sommations demandées pour les termes d'une progression b, 6+1, o-\-2 .... 6-|-n— 1, c'est à-dire qu'on peut supposer la raison égale à I. Quand la somme sera faite, il suffira de remplacer dans les formules

b par — et de multiplier les sommes des carrés et des cubes,

respectivement par r' et r*.

Pour trouver la somme des carrés, on écrit d'abord les identités

(6+l)>=rr63+36^+36+l [b+2j^=[b-\- 1 )«+3(H- 1 )'+3(^^+ 1 )+ 1 ( I ; (6+3)»=z(H-2)«+3(H-^)*+3(6+2)+ 1

(6+njM6+n-lj«+3(6-fn— lj*+3(6-fn— 1)+1.

Désignant par S^ la somme des termes de la progression 6, 6-|-l, b--\-2 .... b-\-n — 1 et par 83 la somme de leurs carrés, on aura, en ajoutant, membre à membre, les égalités (I),

Mais en remplaçant dans l'égalité précédente S^ par sa valeur

(26 4- n—l)^ connue -^^ ' — — et resolvant par rapport à Sg, on

obtient

TRIANGLE DE PASCAL. , n\

En remplaçant maintenant h par — ^ et multipliant le second membre par r^ dans la formule précédente, on a

g 6?2rt2-f 6nfn— J]^r + (2n> — 3n^ + n)r2 ^

c'est la formule demandée.

Si Ton veut avoir en particulier la formule qui donne la somme des carrés des n pnjmiers nombres entiers, il suffira de faire h égal à 1 dans la formule (2), il viendra ainsi

ou

Pour trouver la somme des cubes, on procédera comme pour le cas des carrés, seulement on remplacera les identités (1) par celles qui donnent les développements des quatrième puissances de Z» -f- 1, ^ + 2, & + n. On trouvera, en particulier, pour la somme des cubes des n premiers nombres entiers représentés par 83, la formule

c'est-à-dire que la somme des cubes des n premiers nombres est égale au carré de leur somme.

\%%, Tr^inn^te Arithmétique <1e Pnecai* — Avant que

Newton eut trouvé sa formule pour le développement, de la puissance m d'un binôme, Pascal avait indiqué i"in moyen trèssimple de former successivement les puissances d'un binôme, et il avait disposé les résultats obtenus, dans un tableau qui présentait la forme d'un triangle comme ci-dessous.

6 15 20 If) 6

m QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Dans la première ligne horizontale, on a écrit le nombre 1 pour former l'un des sommets du triangle ; dans la seconde ligne sont inscrits les coefficients de x -{- a^ dans la troisième, les coefficients de {x -\- a)*, dans la quatrième, les coefficients de {x + a)', et ainsi de suite.

La règle d'après laquelle Pascal a formé le tableau est la suivante :

On commence chaque ligne horizontale par V unité et, à partir de la troisième^ pour trouver les autres nombres de la ligne, on ajoute au nombre qui est ju-dessus dans la précédente celui qui eut à sa gauche.

Dans l'application de la règle, on suppose écrit au-dessus d'un nombre qui n'a pas de correspondant au-dessus de lui.

Ainsi pour la troisième ligne on aura

pour la quatrième ligne,

et ainsi de suite.

Pour justifier la règle énoncée, il suffit évidemment de démontrer que cette règle ost celle qui permet de déduire les

coefficients de (aj + a)*^"*"^ de ceux de (a?+ a)** ; c'est ce qu'il est effectivement très-facile de voir.

En effet, soit

{x + af = a^"* + kax"^'' + Ba^o?""* + Ga^x"^ +•. . .

On aura {x + a)"*"*"* en multipliant le développement précédent t^ar a? + a. Or on obtient ainsi

arp*^ + B

aV + G -i-B

ce qui justifie évidemment la règle.

Nota, Pour la facilité des énoncés, on supprime la première ligne verticale du tableau (1), comme l'indique la barre verticale placée à droite de cette ligne.

tes. Théorème. — Un nombre quelconque du tableau est égal à la somme des nombres contenus dans la ligne verticale qui précède la sienne, jusquà la ligne horizontale, quile contient lui-même^ exclusivement.

At^t^LIGATION DU TRIANGLE DE .PASCAL. m

Ainsi, par exemple, on a

En effet, d'après le mode de formation du table giu, on a

et en ajoutant ces égalités, membre à membre et supprimant les termes communs, on a bien Tégàlité (2).

iréiinitiun»« — Les nombres entiers consécutifs qui sont contenus dans la première colonne veiticale sont dits nombres du premier ordre, les nombres de la seconde colonne sont appelés nombres du second oindre, ceux de la troisième, nombres du troisième ordre et ainsi de suite.

Ces définitions admises, on voit que le théorème peut encore s'énoncer ainsi : la somme des n premiers nombres de l'ordre p est égal au n'*"" nombre de l'ordre p + l.

Enfin, on peut remarquer que les n premiers nombres de Tordre p sont, respectivement, les nombres de combinaisons pàp de p, p+1, P+2, . . . p+n — 1 lettres, et que, de même, le n**""® nombre de l'ordre p+1 est égal au nombre des combinaisons de p + n lettres prises p + 1 à p + 1 : on a donc la , formule

(Ici on a un peu changé la notation ordinaire ^n transportant en haut l'indice qui est ordinairement placé le premier en bas.)