Application du théoréms préeédcnt ik la déter
mlnalloii de la sointiie des n premiers nombre» des trois premiers ordres.
Pour obtenir la somme des n premiers nombres entiers faisons p égal à 1 dans la formule (3) du numéro précédent, nous aurons
ou („ 1+2 + 3+,. .n=i^^.
En faisant p égal à 2 dans la même formule, pour obtenir la somme des n premiers nombres du second ordre, on a
p'^ j r^ L r* L pM+ï pwi-2
•224 QUESTIONS d'algkbrp: klémp:ntaire.
ou
2x1 ^ 3X2 , (n-\-i)n (n+2)(n + l)n ^' 1.2 "•" 1.2 ■^■" 1.2 TO
On a enfin la somme des n premiers nombres du troisième ordie en faisant p égal à 3 dans la formule 3, (192) :
fl05. IVouvelle méthode |>o;ii* trouver le» sommen des carré» et de» cube» de» U premier» nombre». —
Cherchons d'abord la somme des carrés. Pour cela, dans le premier membre de l'équatioû (2) (194), remplaçons le premier facteur de chaque numérateur par le second augmenté d'une unité : il viendra alors
a+l)Xl , i2+l)><2 , (3+1 )X3 "(n-fl)»
"1.2 "•" i.2~'" 1.2 "^■■■~*"l-.2' ou
on aura donc
d'où
et en remettant pour S^ sa valeur connue, on tombe bien sur
la formule (4), (191).
Pour avoir maintenant la somme des cubes des n premiers nombres, on changera d'abori n en n — 1 dans la formule (3), (Î94), puis on s'appuiera sur l'identité
190. Probabilité». — C'est ici Toccasion de dire un mot du calcul des probabilités dont Pascal est le premier inventeur.
PROBABILITES 225
On appelle probabilité d'un événe-ment le rapport du nombre des cas favorables à l'événement au nombre des cas possibles, tous ces cas étant supposés également possibles. Ainsi, si on jette en l'air un dé à jouer, la probabilité d'amener un nombre
de points désigné sera — - , parce qu'il y a six cas possibles et
que dans un seul on a le nombre de points demandés. Mais si
Ton jette en l'air deux dés, la probabilité d'amener simultané-
ment deux nombres désignés sera -rr- ou -r^ . En effet, il
n'y a que deux cas ifavorables à l'événement l'un des nombres donnés est marqué par le premier dé et l'autre par le second, ou le cas contraire a lieu. D'ailleurs le nombre total des cas favorables est 36, puisque chacun des six numéros du premier dé peut être pris avec chacun des numéros du second.
S'il s'agit d'obtenir un nombre de points déterminés avec les deux dés, la probabilité sera, en général, différente suivant le nombre que l'on voudra amener. Si l'on veut, par exemple, obtenir le point 5. Les cas favorables à l'événement seront représentés par les groupes de nombres : 1 , 4 ; 4, 1 ; 2, 3 ; 3, 2; c'est-à-dire qu'ils seront au nombre de 4. La probabilité
est donc -7. r- ou ~- .
ou 9
On peut remarquer que chaque événement incertain donne lieu à deux probabilités contraires, savoir, celle que cet événement arrivera, et celle qu'il n'arrivera pas, et que la somme de ces probabilités est toujours égale à l'unité. Ainsi, dans .l'exemple précédent, le nombre total des cas possibles étant 36 et le nombre des cas favorables étant 4, le nombre des cas défavorables est 32 ; les deux probabilités contraires sont donc
représentées par les deux fractions -^r^ et -;r^ dont la somme
est égale à 1 .
•07. i»robi<^ine «le la loiefie. — C'est le seul problème que nous voulons résoudre dans cet ouvrage élémentaire. La question peut s'énoncer ainsi : le nombre df'S numéros d'une loterie est n^il en sort r à chaque tirage; on demande la probabilité qu'une combinaison de p numéros sortira au premier tirage, p étant inférieur ou égal à r.
Le nombre total des cas possibles est ici le nombre des combinaisons de n lettres r à r, ou
QUESTIONS D'ALGÈBKE ÉLÉMENTAIRE. 226
Pour avoir mainteuaiit le nombre des cas favorables à l'évènement, il faut trouver, parmi les combiuaisons de w lettres r à t*, celles qui contiennent les p lettres désignant les numéros dont on attend la sortie Or, si dans chacune de ces dernières combinaisons on efface les p lettres dont il est question, il restera une combinaison de n — p lettres r — pà r — p. Le nombre des cas favorables à l'événement est donc le nombre de combinaisons de n — p lettres r — par — p, c'est-à-dire
Divisant maintenant ce dernier nombre par celui qui l'eprésente le nombre des cas possibles et supprimant les facteurs communs, on obtient
r{x — 1) (r — 2| . . . r — p + 1 n{^ — 1 j (n — 2) . . . ;i — p + l ' pour la probabilité demandée.
