EXERCICES SUR LE CHAPITRE II

1. Combien peut-on former de mots différents avec les lettres du root

anticonstitutionnellement ?

— On s'appuiera sur le n» 187.

2 Les deux mots, révolution franc lise, renferment un anagramme remarquable : on demande combien d'années on devra employer pour le découvrir à coup siir, sachant qu'on peut trouver et écrire en une minute dix permutations des lettres que renferment les deux mots et que Ton consacre dix heures par jour à ce travail. (On admet que les calculateurs se succèdent les uns aux autres dans la suite des siècles)

3. Apollon réunit en un banquet divin les trois Grâces, les Muses Lalliope, Thalie et Melpomène, et les poètes Homère, Sophocle* Aristophane, Racine et Molière, Le dieu à Tare d'argent décide que cliaque poète et lui-même seront placés, chacun, entre Tune des Grâces et l'une des Muses : on demande le nombre de manières dont les cou- ' vives peuvent se placer à la table du dieu. — Que deviendrait ce nombre si chaque poète était placé à côté de sa muse tutélaire?

4. Ûémontrer que le nombre des points intérieurs d'intersection des diagonales d'un polygone convexe est égal au nombre des combinaisons des sommets pris 4 à 4.

— Si on appelle P» et P»..! les nombres des points d'intersection demandés pour des polygones de n et 7i — 1 côtés, tout revient à démontrer la formule

nP^.

5. Démontrer qu'on obtiendralasomme des carrés de tous les nombres renfermés dans une des lignes horizontales du triangle de Pascal (ici par exception on rétablit la première ligne verticale), en formant dans le triangle un carré ayant pour l'un de ses côtés la ligne horizontale donnée, et en prenant, comme nombre demandé, celui qui est écrit au sommet du carré qui est en bas, à droite.

6. Une urne renfermant un certain nombre de boules, on en tire un nombre quelconque : on propose de démontrer qu'il y a toujours une chance de plus pour que le nombre des boules extraites soit impair que pour qu'il soit pair.

7. Une urne renfermant un égal nombre connu de boules blanches et de boules noires : on demande la probabilité qu'en tirant un nombre pair quelconque boules, on amène autant de boules blanches que de boules noires.

En s'appuyant sur les n^ 188 et 189 on trouve pour la probabilité demandée

2nc2n — 1) . . . (n'+ 1)

iti-i

8. On a m urnes renfermant des boules blanches et noires dans le même rapport, et l'on tire une boule de chacune d'elles : on demande quel doit être le rapport pour qu'il soit le moins probable possible que l'on tire toutes boules de môme couleur.

— Si l'on appf'llea? et y les rapports des nombres des boules blanches et noires aux nombres de boules contenues dans les différentes urnes, et qu'on désigne par b la probabilité d'un tirage de boules de même couleur qui corresponde aux rapports x et y, on trouve facilement les deux équations

aî + y = l. aî~ + î/~ = 6,

et Ton est ramené à trouver le minimum de b, c'est-à-dire, à la question (190).

9. Dans un triangle rectangle ABC (tîg. 23) on abaisse des perpendiculaires alternativement sur l'hypoténuse et sur l'un des côtés de