QUESTIONS D'ALGÈBUK ÉLÉMKNTAIRE

l'angle droit, comme l'indique la tigure : on demande quelle est la limite vers laquelle tend la somme des perpendiculaires quand Voj^ ration est prolongée indéflniinent.

10. Dans un cône droit on inscrit une sphère, puis on détermine une seconde sphère tangente à la première et au cône, une troisième sphère tangente à la seconde et au cône et ainsi de suite : on demande la limite vers laquelle tend Id somme des sphères qui se succèdent indéfiniment.

11. Démontrer que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n^.

12. Si dans la suite des nombres impairs on forme des groupes, dont le premier contient le nombre 1, le second, les nombres 3 et 5, le troisième, les nombres 7, 9 et 11 et ainsi de suite : on propose de démontrer que la somme; des p nombres du p*'"« groupe est égale à p».

13. Les deux premiers termes d'une suilc sont a et b et Ton forme les autres en prenant toujours la moyenne arithmétique des deux précédents : on propose de démontrer que, si l'opération esl prolongée indéfiniment, les nombres tendent vers la limite

14. Un triangle étant donné, on forme un triangle qui ait pour côtés les médianes du premier, un troisième qui ait pour côtés les médianes du second, et ainsi de suite, indéfiniment : on demande la limite de la somme des aires de tous les triangles.

15. On propose de trouver le volume d'une sphère de la manière suivante : on partage un diamètre de la sphère en parties é.ales, par chacun des points de division, on mène un plan perpendiculaire au diamètre et sur chacune des sections ainsi obtenue, comme base, on construit un cylindre ayant pour hauteur une des parties du diamètre ; enfin, on cherche la limite vers laquelle tend la somme des cylindres lorsque le nombre des divisions du diamètre croit indéfiniment. Celte limite sera le volume de la sphère.