Calculer la somme des n premiers termes de la suite

et trouver la limite vers laquelle tend l'expression trouvée pour n infini et q plus petit que 1 .

— En désignant par S^. la somme des /i premiers termes, on trouve

(I - q)t n - qy 1

Il faut démontrer que la limite de S„ est -r: ^ : toute la diffi-

« (i—qr

cuUé se réduit à prouver que n^" a pour limite zéro pour n égal à rinfini. q étant plus petit que l peut être remplacé par —. — ;

et rexpression dont on demande la limite prend alors la forme

n (l 4- a)** • ^" ^^^^ ®" développant (l -fa) par la lormule de

Newton que la démonstration est intuitive.

Ou peut encore arriver au résultat sans employer ie binôme de Newton. Nous considérerons deux cas suivant que n est pair ou

impair.

1» n est vn nombre pair 2p — L'expression dont on demande la limitôpeut alors s'écrire ainsi :

(1 -4- oLf (l + «/ • Mais, d'après un théorème connu, on a

(!+«)"> 1+pa; donc on a aussi

Mais la dernière expression ayant évidemment pour limite zéro quand p est égal à l'infini, il en est de même de la première.

2o n e5« xin nombre impair 2p -f- 1 — La démonstration est semblable à celle du premier cas.