CHAPITRE III
tus. Méfliodo <l*éliniiiiaUon par le* coeflIclenUi In-
déterminé». — Je vais expliquer cette méthode sur un exemple.
Soit proposé de résoudre le système général de trois équations du premier degré à trois inconnues, c'est à-dire le système
ax -f- by + C3 = rf,
a"x -f Vy -{- c"z = dP.
On multiplie les deux membres des deux dernières équations, respectivement, par des indéterminées \ et f*, puis on ajoute, membre à membre, les trois équations : on a ainsi
(2) (a'X + aV + a)œ + (6'X + 6'> + b)y + (c'X + c'V -|- c)z
= d'X + dV+d
Maintenant, pour déterminer la valeur de a?, on égale- à zéro les coefiBcients de y et de z dans l'équation (2), et on résout ensuite cette équation par rapport à a? : on obtient alors les trois équations
Les deux premières servent à calculer les indéterminées > etft, et la troisième donne la valeur de x quand on y a substitué les valeurs des indéterminées Ces dernières valeurs s'obtiennent, d'ailleurs, immédiatement eu remplaçant, dans les formules
générales du !!• 55, a, 6, c, a', 6', c', respectivement, par b\ b", —6, c', o"^ — c : on a de cette manière
cb'' — bc" b& — cV
Continuant ensuite le calcul, comme il a été dit, on obtient
{bV -^ &b^ )d + {cb'* - b&')d' + {b& - cV)d" ^^ ^ ~ {b'c" ^ &b")a + {cb" — bc")a' + {b& — cV)a" *
En déterminant ensuite des valeurs de X et fi qui annulent les coeflQcieuts de j: et 2 dans l'équation (2), puis achevant le calcul comme précédemment, on obtiendra la valeur de «/ ; un calcul analogue donnera aussi z. On arrive ainsi aux formules générales pour la résolution de trois éjuatiousà trois inconnues :
dVd'—ddb"^cd'¥--hd'c"-\'bdd"-cVà" ^ — ab'c"-adb"-\^a'b"-ba'd'-\4)da"-cVa" ' ad'o"—add"^ca'd"^àa'c"^dc'a"—cd'a"
ayd''-adV'-\^a'b"'^a'd'-\'bda"'^cbfa"
aVd"-ad'¥-\-da'y'-^a'd"'\^d'a"'-dVa"
aVd''-adb"'\-ca'b"'^ba'd''\-bda"'-cb'a"
On voit bien que la méthode d'élimination est générale, et que, si Ton avait eu m équations à m inconnues, on aurait employé m — I indéterminés, et ramené la résolution d'un système de in équations à m inconnues à celle d'un système de m ~ 1 équations à m — 1 inconnues
Quand ou connaît la valeur de x^ on peut obtenir sans calcul les valeurs de 1/ et z par un artifice particulier qui sera employé plusieurs fois dans ce chapitre ; mais une définition est d'abord nécessaire.
tfMI. Permutation circulaire de plueleura lettres.
— Des lettres a, 6, c . . . fc, i étant placées sur une circonférence, on les lit en commençant successivement par chacune d'elles : on obtient ainsi les permutations a, 6, c ... A, / ; 6, c . . . A, Z, a ; c, rf . . . fc, /, a, 6, et ainsi de suite. Ces permutations sont appelées circulaires.
Gela posé, on remarque que, si l'on efl'ectue trois permutalions circulaires simultanées pour les lettres a, b, c et les lettres x, y, 2, les équations (l) devienneut
by -{- cz'\'ax = d,
Vy + cf^ + o,'^ = d\ V'y + c"z + a"x = d\
et par conséquent ne changent pas. Il en sera évidemment de même des formules (4) qui sont déduites des é<iuations (t). Si donc on fait dans la valeur de x les permutations circulaires indiquées, on obtiendra les valeurs de y et de z,
!tOO. K^êfple pour retroiivc^r ImnK^tflinlement les
formule» («?)• — Les formules [)Our la résolution de trois équations à trois inconnues s'obtiennent par un procédé tout semblable à celui qu'on a suivi pour deux équations à deux inconnues. On forme d'abord le dénominateur commun de la manière suivante ': on écrit ah et 6a, puis on fait occuper à la: lettre c toutes les places qu'elle peut prendre dans ab et ba en marchant de la droite vers la gauche : on a ainsi les six permutations
aèc, . acby cab, bac^ bca^ cba.
Affectant alors d'un accent la seconde lettre et de deux accents la troisième lettre de chaque permutation , et séparant les termes ainsi obtenus, iilternativement, par les signes — et -|-, on obtient le dénominateur commun.
Les numérateurs se déduisent ensuite du dénominateur commun en y remplaçant les coefficients de l'inconnue qu'on veut déterminer par les termes connus qui leur correspondent dans chaque équation. Ainsi, on aura la valeur de x en remplaçant dans le dénominateur commun a, a', a'', respectivement, par d, d\ d" : c'est dlailleuis ce que montre bien la valeur de x^ telle qu'elle est donnée par la formule (4).
Gé serait ici le lieu de discuter Je système de trois équations du
premier degré à trois inconnues, si la question n'était pas en dehors
du cours. de mathématiques élémentaires. Je dirai seulement que,
laissant de côté le cas tout exceptionnel où les coefficients d'une
même inconnue seraient nuls en même temps, on est ramené au
système
^ __ d-hy - cz
{ab' — 6a)y -j- {ad — cn')z = ad' — da\
{ab" — ba'^yy + (ac" — ca'Os = ad'' - da\
La discussion se réduit donc à celle de deux équations à deux mcounues, et Ton suivra la méthode des n^* 56 et 57.
