SUR L'EMPLOI DES IMAGINAIRES

ttl.'On a vu que les identités* qui expriment les règles des quatre opérations élémentaires de l'Algèbre ont lieu, quelles que soient les valeurs positives ou négatives attribuées à une lettre quelconque œ. Il en est encore de même lorsqu'on donne à X une valeur imaginaire a -f- ai. C*est ce que Ton vérifie facilement en procédant, comme on Ta fait au n® 16, lorsqu'on a étendu aux valeurs négatives des lettres les identités démontrées d'abord, seulement pour les valeurs positives.

La remarque qu'on vient de faire permet d'étendre aux imaginaires certains théorèmes démontrés pour les quantités réelles. C'est ainsi qu'il nous a été permis d'appliquer les théorèmes relatifs au diviseur x — a dans le cas où a était imaginaire. On peut aussi admettre comme étendu au cas des facteurs imaginaires ce théorème : Un produit de plusieurs facteurs ne change pas quand on change l'ordre des multiplications.

Je vais maintenant démontrer quelques théorèmes à Taide des imaginaires.

* ««•.Théorème I. — Le produit de deux nombres, qui sont, chacun, la somme de deux carrés^ est lui-même la somme de deux carrés.

Ce théorème a déjà été démontré, mais il s'agit d'en donner une démonstration nouvelle fondée sur l'emploi des imaginaires. Soient les quatre facteuis a-\-bi, a — 6i, a'-|--6'i, a'^ — 6'a; d'après ce qui a été dit précédemment, on a identiquement

(a+ôi) [a—bi] (a'+b^i) {a'—bU)={a'\-bi) (a'-^^b'i) (a—bi) {a'—b'i) .

Mais en faisant dans les deux membres le produit des deux premiers facteurs, puis celui des deux autres, on obtient

(a»+ft>) {a'^^*)={aa'—bb'+{ffb'-^a')t){aa' i-bb'-{ab'-^a')i) Le théorème est donc démontré.