EMPLOI DES IMAGINAIRES

tts. Théorème II. — Le produit de deux nombres (/ui sont, chacun, la somme de quatre carrés est lui-même la soïnms de quatre carrés.

On part de Tidentité démontrée par la géométrie (176) savoir :

Posons

a = A4-Ai, * = — / + ^^ ^ = P + Ç^> ^ = — r + 51, a' = / + mi, b' = h — ki, c'=r-\~si, d' = p -- qi^

et remplaçons dans l'identité a^ b, c, a\ b\ d par les valeurs imaginaires qu'on vient d'écrire. On aura, tout ealcul fait

+(/i^ + kr — m'p — ûff 4" {Ir + m^ 4- Ap + A;g)«, ^ \— mr-\-ls-\-hq —kpy.

Cette démonstration est due à M. Hermite.

«M. Théorèsie III. — Le pdynome (x + y)"*— x"* —y™ est divisible par x' -h xy -|- y^ pour toute valeur de m. impaire, supérieure à ^à et non divisible par ce nombre. Soient « et j3 les racines imaginaires de Téquation

Je dis d'abord qu'on a entre ces racines la relation

11 y a deux cas à distinguer

i* m est égal d 3p + 1- On a alors

mais comme a^ et ^^ sont égaux à {oi^f et (^f^ c'est-à-dire à 1, il vient

Mais on vérifie facilement que la somme des racines 1, a et |3

de l'équation (1) est nulle; la relation (2) est donc démontrée.

2° m est égal àZp -\-2. On s'appuie ici sur ce fait facile à

vérifier, que les racines a et |3 sont le carré Tune de l'autre. On

a alors, après avoir remplacé «*' et ^ par 1 ,

Cela posé, indiquons la division à faire, par la fraction

'■((f+'r-ifr-)

Si Ton pose — égal à w, tout revient à faire voir que le

polynôme (i* -(- 1)* — t*"* — . 1 est divisible par u* + «^ + ^ car, la division étant faite, on aura un quotient du degré

m — 2 en w et si Ton remplace u par — et que Ton multiplie

par y , on aura bieu un polynôme entier en x et y. Écrivons maintenant l'équation

Cette équation, au changement près de x en t/, est la même que celle qu'on obtiendrait en divisant a?* — 1 par ar — 1 ; elle admet donc pour racines a et /3 et l'on a identiquement

U^ '\-U-{' \=^{U — OL){u — f).

La question se trouve dès lors ramenée à prouver que le polynôme (t^ + 1)"* — n"* ~ 1 est divisible par u — a et u — p. Démontrons, par exemple que le polynôme est divisible par u — a. Tout revient à faire voir, d'après le théorème III du n* 17 étendu aux imaginaires, qu'on a identiquement

Or, comme d'après une remarque déjà faite, I -}- « est égal à — 13 et que m est impair, l'égalité devient

?*" + «"+ 1=0, et elle est identique, comme on Ta vu plus haut.

La démonstration qui précède est due à Cauchy.

On peut remarquer en passant que le genre de démonstration, qu'on vient d'employer, montre qu'un polynôme entier, rationnel et homogène par rapport à deux lettres x et y est divisible par a? — ay lorsque ?oh obtient zéro pour le résultat de la substitution de ay à x dans le polynôme : a est d'ailleurs réel ou imaginaire.