CHAPITRE VI

ÉQUATIONS ET SYSTÈMES D^ÉQUATIONS DONT LA RÉSOLUTION SB RAMÈNE A CELLE D'ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A UNE INCONNUE — QUESTIONS QUI SE RATTACHENT A L'ÉQUA- TION DU SECOND DEGRÉ - INÉGALITÉS D'UN DEGRÉ SUPÉ- RIEUR AU PREMIER ET AU SECOND EXERCICES.

t95. On va d'abord rappeler ou^ développer les méthodes déjà indiquées dans la première partie pour ramener certaines équations ou systèmes d'équations à la résolution d'équations du premier ou du second degré à une seule inconnue : quelques méthodes nouvelles seront aussi présentées. En un mot, le but qu on s'est proposé, c'est de mettre les ô'èves en état de résoudre les questions nombreuses et variées qui se trouvent à la fin du chapitre. *-

9M. Équations réciproque* du quatrième tïegré*

— Ces équations sont de deux formes.

Premier cas* — Les Coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de même signe, — Alors Téqualion a la forme

(1) ax* 4" f^^ -{- ex* -{- bx -{- a = 0.

Première méthode. — On groupe les termes à égale distance des extrêmes et on écrit •

(2) a{x* +• I) + b{x^ + x) + cx^ = 0;

divisant ensuite par â?' les deux membres de l'équation précédente, on a

Mais si l'on pose

(4) x + 4-=y' <l'où «» + ^=y»-2,

et qu'on remplace dans Téquation (3) les deux binômes a? -j et rr*-| — - , respectivement, par y et y^ — 2, il vient

(5) ttt/*-f-%+^ — 2a = 0.

L'équation (4) peut d'ailleurs s'écrire sous la forme :

(6) a? — yx-^ 1 = 0.

On voit que l'équation proposée est maintenant résolue ; car l'équation (5) qui est du second degré donne deux valeurs pour y et l'équation (6), après qu'on y a substitué ces deux valeurs, donne deux valeurs de x correspondant à chacune d'elles. On a ainsi quatre valeurs pour l'inconnue x. Deuxième méthode. — On pose

et en substituant dans l'équation (-2). pour x son expression en 2, on a

ou en développant

On voit qu'on déterminera z par une équation bicari'ée ; on aura ensuite les quatre valeui^ de œ qui correspondent aux quatre valeurs de z, au moyen de l'équation (7).

.Remarque. —Quand c est nul, les deux méthodes précédentes sont encore .applicables.

Second ca». — Le terme en x\manque et les coefficients des termes à égale distance des extrêmes soy^t égaux et de signe contraire, — Soit l'équation

(8) ax* + ba* — bx — a =: 0.

On peut l'écrire sous les formes :

a{a*— I) ^bx{x*— 1) = 0, (x»— 1) {ax* + to + a) = ;