ÉQUATIONS RÉCIPROQUES
et l'on est ramené à résoudre les deux équations
op» — 1 = 0, aa*» + te 4- a = 0.
M9^ I>éfliiltlon de» éqfunttoM» réciproqvie* eé e4»n- •équence» qui en résultent. — On dit qu'une équatiOQ
est réciproque lorsqu'elle admet encore les mêmes racines
après qu'on y a changé l'inconnue x en — ; ainsi il est évi-
dent que les équations (I) et (8) sont réciproques, puisque les équations restent les mêmes après qu'on a fait le changement indiqué. En général, les racines des équations réciproques se rangent par couples de deux racines inverses Tune de l'autre,
puisqu'à une racine a/ correspond une racine différente — .
11 faut cependant excepter le cas où x' est égal à 1 ou — 1 , car alors a/ est réciproque de lui-même. C'est ainsi que l'équation (8) admet les deux racines + 1 et — 1 qui ne sont pas réciproques l'une de l'autre mais bien récipi'oques, chacune, d'elle-même.
999. Problème. — Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation du quatrième degré soit réciproque.
Soit Téquation
(1) aœ^ -]-ba^ -\- ex* + dx -{- a = 0, en y changeant x en — , elle devient
(2) ex* -\- dx^ '{' ex* -}- bx -^ a =: i).
Mais pour que deux équations aient les mêmes racines, il faut et il suffît que les coefficients des puissances «égales de rinconnue dans les deux équations soient proportionnels : on a donc
Ou est conduit à distinguer deux cas, suivant que c est nul on non.
Premier CAA. — C est différent de zéro. Alors les équations (3) se réduisent aux deux suivantes :
c'est-à dire que les coefficients à égale distance des extrêmes doivent ét]*e égaux et de même signe.
Deuxième c«». — c est nvL On a maintenant, en vertu des équations (3)
ou
La dernière équation montre que, dans les deux précédentes, on doit prendre les signes supérieurs ensemble, et aussi les signes inférieurs; car il résulte de cette dernière équation que
les quotients — ^^ ~r ®^^^^ toujours de même signe. Ainsi
c CL
quand c est nul, l'équation est réciproque quand on a
e = a, d = ft, ou
En résumé on voit qu'il n'y a pas d*autres équations réciproques que celles qui ont été résolues au n" 217.
On a admis dans la démonstratiOD précédente que deux équations qui avaient les mômes racines avaient rucessairement les coefficients proportionnels. C'est ce qu*on démontre facilement dés qu'on admet qu'une équation à coefficients ri^els ou imaginaires de la formule a-\-bi a autant de racines que d'unités dans son degré. (Le théorème se démontre dans le cours de Mathématiques spéciales.) Je vais ici faire la démonstration seulement pour deux équations du second degré, el l'on verra bien comment elle s'étend à deux équations de degré quel
conque. Soient donc les deux équations
ax^ -f- 6aî -f c = 0, a'x^ + b^x + c' = 0,
qui ont les mêmes racines. Si on multiplie les deux équations données, respectivement, par a' et a et qu'on les retranche ensuite, membre à membre, on obtiendra ainsi une équation
(ab' — ba')x + ad — ca' = 0,
qui devra être satisfaite par les deux racines communes aux deux équations données. Mais une équation du premier degré n'admettant qu'une seule racine ne peut être satisfaite pour deux valeurs différentes de X qu'autant qu'elle est identique : on a donc
ab' — ba^ = 0, ^ac^ — ca' = 0,
