Je vais maintenant donner des exemples

Exemple I, — Trouver 4 rhombres en progression arithmétique connaissant la raison r et le produit a des quatn nombres.

Première méthode. — On prend pour inconnue le premier terme de la progression qu'on appelle x, on a alors l'équation

ou en faisant séparément les produits des extrêmes et des moyens

(x* + irx) (a?« + Zrœ + 2r^) = a.

En po^nt

(1) A?a-f3rx=t/, l'équation piécédènte devient

appli(;ation des méthodes. 275

et l'on est ramené à résoudre successivement les équations (2) et (1) qui soùt du second degré.

Deuxième méthode. -*- Désignons maintenant la raison par 2r et prenons pour inconnue la somme 2x des moyens. Ces deux moyens seront alors x ^ r et x + r, et, par suite, les deux autres termes seront x — 3r et a: + 3r. On aura donc pour équation du problème

{x — 3r) (x — r) (a? + r) {x + 3r) = a ou

etI*on est ramené à résoudre une équation bicarrée. Exemple II. — Résoudre l' équation

(a? + a -I- c) » 4- (^ + * -MF ~ ^ *

On remarque que la différence des quantités élevées à la cinquième puissance est connue dans chacun des termes de la fraction, et que les sommes des mêmes quantités sont égales. Soient alors 2/* et 2g les deux différences données et 2j/ la valeur des deux sommes égales ; on aura

a-f-6 — c — d=2/*, a + c— 6 — d = 2^, d'où

L'équation proposée deviendra donc, par la substitution à œ de la variable auxiliaire y,

et Ton voit bien qu'après avoir développé les cinquièmes puissances et ^upprimé le facteur y commun ^ux deux termes de la fraction, on tombe sur une équation bicarrée.

Exemple III. — Trouver quatre nombres en progression géométriqv,ey connaissant la somme des extrêmes et celle des

fnoyens.

Solution de iVewton. — Soient a et b les sommes données des moyens et des extrêmes, et x le second terme de la progrès-

sion qu*on prend pour inconnue : a — x sera alors le troisième