CL I

sera — — — .On voit maintenant, comme dans la solution a — z

Newton, que les quatre termes de la progression ont pour expression

(g - zf , (a-|-2)«

0, -f- Z Of ^ z

Écrivant maintenant que la somme des extrêmes est égale à 26, on a

ou

{a ^ zf 4- (a + zf t= 2&(a« ^ z«).

Si Ton développe le premier membre, il vient

d'où Ton tire

La méthode de M. Sturm s'étend sans difficulté à une progression de six termes ; on tombe alors sur une équation^

bicarrée en z.

Exemple IV. — Trouver 3 nombres en progression géométrique, connaissant leur somme et celle de leurs carrés.

Première méthode. — En prenant pour inconnue le premier terme et la raison, on trouve immédiatement, pour déterminer cette dernière inconnue, une équation réciproque du quatrième degré. On a ensuite facilement le premier terme.

Deuxième méthode. — Soient a et ft* los deux sommes données. On prend pour inconnues le terme du milieu et la raison qu'on appelle respectivement x et y. On a alors

— + X + xy = a^ —Y + x* + x*j/* = 6*.

if %f

Elevant les deux membres de la première au carré et retranchant, membre à membre, avec la seconde, on a

2ar/— + X + arj/j = a« — 6«.

Mais la quantité entre parenthèses étant égale à a, d'après la première équation, il vient

a* — fc« X ^— — — .

substituant maintenant dans la première équation à x la valeur précédente, on obtient pour déterminer y l'équation du second degré

Los racines de cette équation étant réciproques, on voit qu'aux deux valeurs de y correspond toujours la même progression dont les termes sont rangés dans les deux ordres inverses, l'un de l'autre : le problème n'a donc qu'une solution.

Troisième méthodk. — «oiutio» <ie ivo^nrton. — On prend toujours pour inconnue le second terme x, mais on y adjoint comme ^seconde inconnue le premier terme qu'on appelle z. Alors on a les deux équations

z-^- x-] = a, 2* + x* H — —= fr*.

En éliminant z entre les deux équations on trouve d'abord la même valeur de x que par la méthode précédente. Substituant ensuite cette valeur dans la première équation, on a

4aV — 2a(a« + b^)z + (a« — 6«)« = 0.

Cette dernière équation donne deux valeurs de z dont le pro-

duit est égal à -i — ^ ^ , c'est-à-dire à x*. Le premier et le

dernier terme de la progression ne font donc que s'échanger l'un avec l'autre , lorsqu'on prend successivement les deux valeurs de 2, et on voit encore que le problème n'a qu'une solution.

Exemple V. — Trouver 4 nombres en progression géométrique, connaissant leur somme 2a et la somme de leurs carrés 4b«.

Première méthode. •— Solution de iVetvCott, — Soient 2a: la somme des moyens et y leur produit : le premier moyen

sera x — Va?* — y et l'autre x + ^ x* ^y , Quant aux deux extrêmes, comnle leur demi-somMe est égale ha — x, ils seront

a — a: — }J {a — xy — y ^ a — x + yj{a — a:)* — y .

Ecrivant maintenant que la soioime des carrés des 4 termes est égale à 46*, on arrive à l'équation

ar* + (û^ — -ar)* — y :i= 6*, et l'on en tire

y = 2x(ar — a) + a* — 6*.

Substituant ensuite cette valeur de y dans les expressions des 4 termes, posant

v/ 6« — jr« = 2, V fe« — (a — xy = u,

et écrivant qtié le second et le troisième tenfte de la progres- ^on sôni respectivement moyens proportionnels entre le premier et le troisième terme, et le second et le quatrième^ on obtient les deux équations ^

. (a — X — z){x+u)={x—uy^ (a^x+z)(ir— i^)=(â:4-tt)*,

en les retranchant^ membre à membre, on a

zx = {a + x)u.

Si enfin on élève au carré les deux membres de l'équation précédente, qu'on remplace z* et u* par leurs expressions en a?, on obtient

2a7« + 2bx + b* — a* = 0.

b* étant évidemment plus petit que a*, Téquatian a toujours deux racines réelles » Tune positive et l'autre négative qui doit être rejetée.

DfitJxièMB MÉTHODE. — On prend pour inconnues le premier terme et la raison qu'on appelle x et y. On a ator6 las deux équations

^(1 + y +y* +!/") = 2a, x^H + V« + y^ + î/«) = ib\ si Ton y remplace les sommes entre parenthèses par leurs expressions connues , qu'on élève les deux membres de la première au carré, puis qu'on divise, membre à membre, on obtient

(y4 i)t(yt l) gt

Supprimant maintenant les facteurs communs, et chassant les dénominateurs, on arrive à l'équation réciproque

(On a posé — égal à cj.

Troisiémb méthode. — On prend pour inconnues les deux

termes du milieu qu'on appelle :r et y, alors la raison est

— et les quatre termes sont — ,«?, y, -^— . On a donc les X * y X

deux équations

ou encore

(0 (^+y) (^*+î/*)=2«^2/, ('^) (x»-f y«) (jpM-9*)=***a^2/*- Élevant la première au carré, la retranchant, membre à membre avec là seconde, puis supprimant le facteur xy qui est commun aux deux membres et auquel ne oonjespond aucune solution, on obtient

(3) {x^ + y«) {x^ + y« + j?y) = 2xy{a^ - fe»).

En divisant ensuite, membre à membre, les équations (1) et (3), on a

(4) a(a:« + y* + xy) = (flt« — V) (a? + y) ,

et toute la question se trouve ramenée à résoudre le système ' des équations (1) et (4).

A cet effet, posons a? + 2/ et ^y respectivement égaux à 2w et V : en déduisant des formules du n« 81 les expressions de ^« + y* et x^ + 2/* en t^ et t; et substituant dans les équations (1) et (4), on a

2w(2u* — v) = av, a[\u^ — v) = 2(a* — 6*)w.

Si enfin on élimine v entre les deux dernières équations, on tombe sur une équation qui ne diffère de l'équation en x dans la solution de Newton que par le changement de j? en i/ : c'est ce qui devait effectivement arriver, puisque a? et w désignent respectivement le produit des moyens dans les deux solutions.

Quand u est déterminé, on a u par une équation du premier degré, puis x Qi y par une équation du second degré.

Exemple VI. — Trouver des nombres en progression géométrique, connaissant leur somme, la som,me de leurs cairés et la somme de leurs quatrièmes puissances.

Soient x^ y^ z le premier terme, la raison, et le nombre des termes : on posera d'abord

y* = w, d ou z = -r-^ — ,

logt/

et la question sera ramenée à trouver les trois inconnues x, y et u. Soient a, ft^, c* les sommes données : les équations du problème seront

en élevant la première au carré et divisant, membre à membre, avec la seconde, puis faisant les mêmes opérations sur les deux dernières, on a

(\\ ^+* y— ^ ^' /ox ^'+^ y'— t c*

Posant maintenant (3)

y -j- 1 at

on a, à cause de l'éi^uâtion (1) (4) 1±1=1L.

En élevant au carré les deux membres de l'équation (3) et remplaçant dans chaque fraction le numérateur par la somme des deux termes, on a

multipliant ensuite par y — 1 les deux termes de la fraction qui est dans le premier membre de Téquation (3), on a

y* — t at

et en divisant membre à membre avec Téquation précédente, on obtient

y» -^ 1 2abt

y» + 1 "" aH^ + b^ '

on a de même

u* — {~ 2abt

L*équation (4) faisait voir, d'ailleurs, immédiatement que la dernière équation se déduit de la précédente en renversant la fraction et permutant les lettres a et b.

Enfin, si l'on multiplie, membre à membre, les deux dernières équations et que l'on tienne compte de Téquation (2), on arrive à l'équation

bH^ + g» c^

qui est du premier degié en f*. La valeur de t étant connue,

on a les valeurs de y et m par les équations (3; et (4), et celle

de X par l'équation

Exemple VII. — Trouver 4 nombres en pro;:ortio/i, connaissant leur somme a, la sonme de leurs carrés b^, et la somme de leurs quatrièmes puissances c*.

Soient a?, y, z, u les quatre termes de la progression écrits

dans Tordre où ils figurent dans cette proportion : on a les quatre équations

irw = i/s, . X'\'y-\-Z'^u = a^

Planons pour inconnues auxiliaires le produit q et les sommes ^ et t; des extrêmes çt des moyens. On a immédiatement, en vertu des formules (81)

(3) e* + V* — 4g(/« + v«) 4- kg^ = c*.

Tirant ensuite q de Téquation (2) et substituant dans l'équation (3), on obtient

4(i» + i;*) — 4(^+ v») (f« + 1;« — 6«) + {fi + v* — 6«)« = 4c*,

ou

— SvH^ + 46»(t» + v») + (f« + v* - 6«)« = 4c^

Mais si Ton substitue dans la dernière équation, à la place de fi -|" ^*> sa valeur a* — 2t;t déduite de Téquation (1), et qu'on représente vt pas 5, on a pour déterminer s l'équation

Les deux valeurs de s que donne cette équation étant désignées par s' et s^\ v et ^ seront les racines de deux équations du second degré

X* - aX + ^' = 0, X« - aX + s'' = 0,

dans lesquelles X désigne l'inconnue. La première donnera pour t; et ^ un système v\ t\ et la seconde un autre système v" et t" ; l'équation (2) donnera ensuite deux valeurs correspondantes de q: q' et 'q^\ On aura enfin deux systèmes de valeurs pour ar et u en résolvant les deux équations

X«— ^'X-f 9' =0, X« --FX + g'' = 0,

et deux systèmes de valeurs pour y et z en résolvant les équations

Oii attrait pu encore Tésoudre le problème en prenant pour inconnue auxiliaire la diJOTérence 2r entre la somme des extrêmes et celle des moyens. Alors, si 2a représente la somme des quatre termes, a+r et a — r seroùt la somme de^ extrêmes

et celle des moyens, et en adjoignant à r, l'inconnue auxiliaire ^, comme dans la solution pfécédente, on aura deux équations entre q et r. Je ne développe pas les calculs qui sont semblables à ceux de la première méthode.

Exemple VIII. — Résoudre le système

(2) xy{x — yYz=b{x-\-yY.

Première méthode. — Pour mettre en évideiîce les termes du développement de {x + y)*> multiplions par 4 les deux membres de Téquation (2) et ajoutons, membre à membre, avec TéT^àtion (1), nous aurons

(3 (a? + y)4 - \^x^yt = (a + 46) {x + y)\

Posons maintenant

X'\- y'=zUy xy =:v ;

*les équatioiis (2) et (3) deviendront

et en éliminant u* entre ces deux dernières équations, on a une équation du second degré en v.

Deuxième méthode. — Par remploi des coeffiaèent^ indéterminés. — Multiplions les équations (1) et (2) respectivement par des coefficients indéterminés X et p, puis cherchons à déterminer X et /A de manière que le premier membre de la nouvelle équation, qui est homogène par rapport à a? et y, soit, comme le second, divisible par x ^y. Ce premier membre est

>(x* + y* — x^y*) +i»xy{x — j/)« ;

en appliquant la remarque du n* (224), on voit que le polynôme précédent doit être nul quand on y remplace œ par — y, et on trouve ainsi la condition

l — 4ft = 0.

On peut îjj^reùdre ^ égal à 1 et X égal à 4, c'est-à-dire que, pour mettre en évidence le facteur a? + y dans le premier membre de la nouvelle équation, on multipliera par 4 les deux membres de Téi^uation (I) et oh ajoutera, membre à membre, avec l'équation (2^ On obtiendra de cette manière l'équation

4(^ + 2/«) (x + y) - 3xy{x + yf = (4a + 6) (a: + y^