QUESTIONS D'AI^GÈBRE ÉLÉMENTAIRE

OU encore

{x + yy (4a?* -f 42/« — 7xy) = (4a + b){x + «/)«.

On voit bien que le facteur x-^y, et même son carré, est mis en évidence dans le premier membre de l'équation précédente. On est maintenant ramené à résoudre l'un des deux systèmes

x + 2/ = 0, ^2/(^ — y)*=6(^ + y)*, ou

4(x* 4" 2/*) — T^y = a -|- 4fe, xy{or — y)* =: b{x -j- y)*.

Le premier système donne œ et y égaux à zéro. Pour résoudre le second, on pose x -{-y et x — y respectivement égaux kîs et 2t. On obtient ensuite facilement les expiessions de a:*-f ï* et ary en 5 et ^ au moyen des formules (2) et (3) du n® 162, et en les substituant dans les deux équations précédentes^ on a deux équations en * et ^ que l'on résout facilement.

Troisième méthode. — En désignant par t la quantité

±yj xy et changeant b en 6', on pourra écrire la seconde équa* tion sous la forme

et l'on en déduit

En multipliant les deux termes de — successivement par x et

y et remplaçant œy par ^*, on aura (4) ^. = A£L2., y.=J__.

Si maintenant on substitue dans l'équation (li les valeurs de ^*> y*> fit ary tirées des formules précédentes, on arrive à l'équation bicarrée

Exemple IX. — Résoudre le système

(1) i^ + y^) 'x + y)=aix* + y^),

(2) ir* + y* - 3xY = ^(a:* + 2/*).

Multipliant les deux membres des deux équations, respective-

ment, par les indéterminées )i et f* et ajoutant, on a dans le premier membre le polynôme

que nous représenterons pour abréger par P.

On va maintenant disposer des indéterminées > et ft de manière que le polynôme précédent soit divisible par x' + y* : le problème est toujours possible, comme on va le voir.

Considérons x* -}- y^ comme le produit des facteurs imaginaires ar -|- yi, X — yi, et cherchons quelle relation doit exister entre > et pt, pour que le polynôme P soit divisible par X — yi. Pour cela, il faut écrire qu'on obtient un résultat nul en substituant yi à la place de x dans le polynôme (Remarque à la suite du théorème IJI (224)). Or la quantité i disp'araît dans le calcul, et Ton trouve la condition

2X + 5fx = 0.

Si l'on avait substitué x -{- yi^ le résultat eût été le même ; on peut donc être sûr que, si > et fx satisfont à la relation précédente, le polynôme P sera divisible par x* -|- y^. On prendra, par exemple, l égal à 5r et pt égal à — 2.

Cela posé, multiplions respectivement par 5 et 2 les deux membres des équations (1) et (2), et retranchons, membre à membre, nous aurons

{x^ + y') (3(^» + y*) + ^xy) = (5a - 26) {x^ + y'),

et Ton est ramené à résoudre les deux systèmes de deux équations

x* + y* — *3x^y = 6(x* -f y«) , 3{x^ + y") + ^xy = (5a - W).

Le premier donne évidemment x q\, y égaux à zéro. Pour résoudre le second, on pose

œ + y = Uj œy = Vy

et Ton exprime œ^ + y^ et co* + y* en fonction de uetv à l'aide des formules du n° 81. On arrive ainsi aux deux équations

u^ + è^i 2(2 u« — fe)î; - i;« = ,

et en éliminant v entre elles, on obtient une équation bicarrée en u.

286 QUESTIONS D'ALGËBRB ÉLÉMENTAIRE.

Exemple X. — Résoudre le système

Premiéhe méthode. — Posons, comme il a été dit au n^ 232

x = s{t+\), yz=s{i—l).

En substituant les expressions précédentes de x et y dans les équations données, on a

As*t%t* + S) = a, 45^(3^+1) = 6,

et en éliminant s

tout est donc ramené à résoudre une équation bicarrée.

DEUXIÈME MÉTHODE. — Suivaut la méthode du n* 234, on déduit des équations proposées l'équation homogène

et Ton pose x égal à zy. Alors en substituant zy k x dans l'équation précédente, on a pour déterminer z l'équation réciproque

Remplaçant maintenant x par zy dans Téquation (1), on aura

et, par 3uite,

Exemple XI. — Résoudre le système des trois équations

(1) a^+y* + iFy=cS (2) a?« + z« + a?z=6«, (3) y^ + z^ + yz = a\

Première méthode. — En retranchant, membre à membre, les équations (1) et (2) puis les équations (1) et )3), on a

ly—z){x + y-]-z) = c^^b^' {x—z){x + y+ z)=c^^a\

et en divisant ces dernièrçs équations, membre à membre, et ordonnant, ou obtient

(3) (ta — c«)ar + (c« — a^)y + (a« — b^)z = 0.

Si maintenant on tire la valeur de z de cette équation et qu'on la substitue dans les équations [i; et (2), ou aura deux équations du second degré en œ et y qui ne contiendi'ont pas de termes du premier degré, alors en éliminant y entre ces deux équations, on arrivera à une équation bicarrée en x. On achèvera ensuite facilement le calcul.

Deuxième méthode. — On déduit toujours des équations données Téquation (3) ; mais comme cette dernière équation est homogène en a?, y, z, on élimine les termes connus ft* et c* entre les équations (1) et (2) pour obtenir une seconde équation homogène par rapport aux inconnues. On a ainsi

(4) (è« c«) a?« + éY — ^*2« + b*xy — c*œz = 0. . Posons

alors les équations (3) et (4) peuvent être remplacées par les suivantes

(6) (fc« — c«)u + (c* a> 4- a« — 6« = 0.

(7) (62 c«)u« + bHA + b^uv — chi — c« = 0,

et l'on est ramené à résoudre un système de deux équations à deux inconnues, dont Tune est du premier degré, et l'autre du second. On en tirera pour u et v deux systèmes : u\ v' ; w'^ î/, et à cause des équations (5) on aura

x' = w'2, y = v'z ; oc" = u"z^ y^' = v^'z.

En remplaçant enfin dans réquaUoa(l) x' et y' par u'z et t/z, on aura deux valeurs correspondantes de z qui seront données par la formule

on aura de même les valeurs de z qui correspondent à t/''

et v".

Troisième méthode. — par M. Bardey C). — Posant

ar + y + z = 5 , xy + xy-]ryz = tj

(*) Tirée de Touvrage allemand : Équations du second degré, par M. Bardey. Cet ouvrage m*a été utile pour la rédaction du chapitre et sur-, tout pour le choix des exercices qui le terminent.

Oii peut mettre les équations données sous la forme

Mais si l'on ajoute, membre à membre, deux des équations, et qu'on en retranche la troisième, on a

^^ i 2sz = a» + 6« — c* + «.

Si alors on ajoute, membre à membre, les équations (2), on obtient (3) 25« = a* + fc« + c«+3^

Multipliant maintenant les équations (2), deux à deux, ajoutant les trois équations obtenues, membre à membre, et posant

(ftï -f. c» — a«) (a« -f c« — 6«) + (a* + c' — V) (a« + &» — c')

on a

Éliminant enfin % entre les équations (3) et (4), on obtient une équation bicarrée pour déterminera : le calcul s'achève ensuite facilement.

On peut remarquer que la quantité désignée par m* représente seize fois le carré de la surface d'un triangle qui aurait pour côtés a, 6, c.