DE LA TRIGONOMÉTRIE

^40. Résolution p»r la Géométrie. — Je Vais donner

deux exemples.

Exemple I. — TTou'\)er une solution de l'équation

Construisons un triangle dont les côtés soient a, 6, c. (On

suppose d'abord que le plus grand des trois nombres ûf, b, c

soit plus petit que la somme des deux autres). Si l'on suppose

^ que X soit égal au diamètre du cercle circonscrit au triangle,

, les trois radicaux seront respectivement les doubles des dis-

tances du centre du cercle circonscrit, anx trois côtés du triangle, et, par suite, le premier membre sera égal à 4 fois la surface du triangle ou 4S. Si donc on satisfait à Téquation proposée en prenant pour x la valeur du diamètre circonscrit au triangle, on devra avoir

abc

or c'est ce qui a effectivement lieu, d'après la foi-mule connue en Gréométrie.

Mettant maintenant dans la formule précédente pour S sa valeur connue, on voit qu*on a une solution de l'équation proposée en prenant la valeur de or donnée par la formule

abc

2\/p{p~a){p — b){p^c) Dans laquelle on a posé

11 est évident d'ailleurs que la condition relative à la grandeur des quantités a, 6, c peut être écartée, puisqu'il n'eu est tenu aucun compte dans la vérification d'une identité.

Exemple II. — Résoudre par la Géométrie les équations

j;« + y* + wy = c^, a:* + ig* + irz = 6*, 2/« + z*+yz = aV

OQ construit un triangle dont les côtés sont a, 6, c, (même remarque que dans le problènie précédent)/et on détermine un point d'où l'on voie les côtés du tiiangle sous des angles égaux, ou deux des côtés sous des angles de 60* et le troisième sous un angle de 120**. Kn désignant para?, y, z les distances du point cherché aux trois sommets, on reconnaît facilement que ces nombres satisfont aux équations proposées : seulement dans le second cas de figure, il faut donner des signes positifs ou négatifs à œ, y, z. Je renverrai pour le développement de la méthode aux Questions de Géométrie, page 95.

t38. Résoliitl4>ii des équations par la Xrl|$onoiiié«

ipie* — Je donnerai encore deux exemples.

.m QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLIilMENTAÎRE.

Bxi^tfPLB I. — Soit à résoudre le système

Construisons un triangle dont les côtés soient a, 6, c, et soient A, B, G les angles respectivement opposés. Posons

(2) x = d cotg V, t/ = d cotg fA,

V et fA étant des angles que Ton prend pour inconnues auxiliaires et qu'on peut toujours supposer plus petit que 90*. Mettant daûs les équations proposées à la place dex et y les

expressions précédentes; et y remplaçant les rapports — et

— par les rapports des sinus des angles opposés, on aura

sin' B

1 + cotg» V = -^r^j^ (cotg fi + cotg v)«,

. f a siu' G ,

1 + cotg» ^ = g.^,^ (cotg ^ + cotg v)^

En substituant ensuite aux cotangentes les rapports des cosinus au sinus et extrayant lefe racines carrées des deux membres, on pbtieiidrâ

sin fi sin B sin v sin G

sin (fA + v) ~ sin A ' sin (f* + v) ~ siii A *

Mais si Ton appelle 1 un angle supplémentaire de Tangle f* + V, les équations précédentes peuvent s'écrire :

' V sin X sin u sin v

- - ^!II^ .■![■- -^ - ■ - - ^^^ ••*•> ■■■■■■ ■ *■■ Il

• sin A sin B sin G ' .

et <^a concevant un triangle dans lequel les angles soient >, ft, vetleè cotés opposés a\ b\ c\ on aura

a^ 5:l il

Les deux triangles auxiliaires sont donc semblables, et les angles X, pi, v sont respectivement égaux à A, B, G. On peut maintenant remplacer dans les formules (2) •» et fi, par C et B, ejt l'on a . • -

X = d cotg, C y=^d cotg B.

Mais des formules connues eu Trigonométrie

2S c^ = a* + 6* — 2a6 cos C, sin C = —7- .

ao

(S est la surface du triangle.) On déduit

cotgC = —!:__ .

de même ox\ a

cotg B =

4S on arrive donc finalement aux deux formules

dans lesquelles

4S =V(a + fr + c)(6 + (; — a) (a + c — 6) (d-f-6- c) . ExEMPLB II. — Résoudre le système des équations '

les coefficients 9, r , ^ étant assujétis à la relation

Accentuons dans les équations les lettres x^ y, z, a, b, 0, puis remplaçons respectivement j?'*, 1/", 2'*, a", ô'*, c'*par x^y^z^a^bjC. Alors ces dernières lettres pourront être considérées comme représentant des droites.

Cela posé, en admettant que le plus grand des trois nombres a, bj c soit plus petit que la somme des deux autres, on pourra construire un triangle dont les côtés soient mesurés par a, 6, 0. Soient A, B, C les angles du triangle, 2p le périmètre, a, j3, 7 des angles donnés, >, f», v des angles inconnus, ou j(KHirra écrire :

(3) a :=:p sin* a, ft = p sin^ p, c = p sin* 7,

(4) X = p cos* >, y =^p cos* f*, 5 = p cos* v.

Les trois premières équations ont lieu en vertu de l'équation (2), car on en déduit la relation connue

Les équations (3) définissent et permettent de calculer toujours les trois angles «, /3, 7, puisque a, 6 et c sont plus petits que p. Enfin les équations (4} définissent les angles >, fi, v qu'on prend pour inconnues aujisiliaires. Il est clair d'ailleurs qu'on peut, sans restreindre la généralité de la solution, supposer que les six angles «, ^, 7, >, f*, « sont tous aigus.

Ces explications préliminaires étant bien comprises, substituons dans la première des équations (I) modifiée, comme il a été dit, les valeurs des quantités qui y figurent, telles qu'elles sont données par les neuf formules écrites plus haut : on aura

cos' l + cos* f* + 2 I / tg — tg -^ cos > cosft = sin^ 7.

Mais la Trigonométrie donne

et en remplaçant dans l'équation précédente I / *g "ô" *g "9"

par cos 7 et siij' 7 par 1 — cos* 7, on obtient

cos*>-|-cos'/A+cos*7-|-2 cosX cosfA COS7 = 1 , et on a de même 5)cos'X-|-cos'¥+GOS*8-|-2 cosX cosv cos]3 = I,

COS*fA-f^OS'v-j-COs' a-f-2 COS/A cos V cos a = I .

Les six angles qui figurent dans les équations précédentes étant tous aigus, on sait par la Trigonométrie qu'on ne peut satisfaire à ces équations qu'en posant

îi-t-p + 7=l80% X + v + |3=180% p + v-f« = l80S d'où l'on déduit

2X=180*'— (i3+7-«), 2/ii=180M«47— P), 2v=l80M«+P-7)' Maintenant on a

^ = p cosn = -^^— i-^ L = Z.(|cos(p + 7-«),)

et un calcul analogue doane y et z. Ou aura donc la solution tfigonométrique du pit)blème par les formules suivantes :

^ = -|-(l— cos(i3 + v— «), y = -f-(l— cos(a+7— ^), (6) ^ "^

seulement, il ne faut pas oublier qu'on doit y remplacer ar, y, z parx*, 2/*, jï', etc..

Mais, dans la question proposée, la Trigonométrie n*est qu'une intermédiaire ; on veut trouver les valeurs des inconnues en fonction des quantités données a, é, c, ç, r, t. Cherchons, par exemple, la valeur de x ; on a d'abord en faisant les changements de lettres convenables

et si l'on remplace dans la première des formules (6) x par a?*, il vient

x^= — -Ï-— ï— (f— cos{i3 + v — «)).

Heste à trouver la valeur de cos (|3 -}- v — «)• Or en vertu d'une formule connue (Questions de Trigonométrie 24), on a

cos(p + 7 — «) = cos«cos]3 cos7 + sina sin]3 cos 7

* 4" sin a sin 7 cos jS — sin j3 sin 7 cos a,

et il n'y a plus maintenant qu'à remplacer dans le développement précédent les sinus et cosinus des trois angles a, j9, 7 par leui's valeurs tirées des formules (3) où Ton remplace a\ 69 c par a*, 6*, c*.